数学分析 CALCULUS - 深圳大学

一元微积分Calculousinonevariable,授课教师：胡鹏彦授课对象：05本科,第十一章反常积分,1反常积分概念,2无穷积分的性质与收敛判别,3瑕积分的性质与收敛判别,第十一章反常积分,1反常积分概念,一问题提出,二两类反常积分的定义,第十一章反常积分,2无穷积分的性质与收敛判别,一无穷积分的性质,二比较判别法,三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法,1反常积分概念,例1,(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射,火箭,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?,圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一,半径为r的小孔.试问从盛满水开始打开小孔,直至流完桶中的水,共需多少时间?,一问题提出,例2,定义,(1),设函数f定义在无穷区间a,)上,且在任何,有限区间a,u上可积.如果存在极限,则称极限J为函数f在a,)上的无穷限反常积分,(简称无穷积分),记作,并称收敛.,二两类反常积分的定义,1反常积分概念,如果极限(1)不存在,亦称发散.,(1),(2),函数f在(,b上的无穷积分:,其中a为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都,1反常积分概念,(3),函数f在(,)上的无穷积分:,收敛时它才是收敛的.,1反常积分概念,无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值都和实数,a的选取无关.,注1,对于无穷积分(3)的定义首先必须有f在有限,v,u(,)上可积.,注2,若f为a,)上的非负连续函数,则介于yf(x),注3,无穷积分收敛的几何意义:,和直线xa以及x轴之间向右无限延伸的阴影区,域有面积.,例3,讨论无穷积分,的收敛性.,例4,讨论下列无穷积分的收敛性:,1反常积分概念,(4),定义,(5),则称此极限为无界函数f在(a,b上的反常积分,并称反常积分收敛.如果极限(5)不存在,设函数f定义在区间(a,b上,在点a的任一右,界且可积.如果存在极限,点a称为f的瑕点.无,1反常积分概念,记作,(5),亦称反常积分发散.,界函数的反常积分称为瑕积分.,邻域内无界,但在任何内闭区间u,b(a,b上有,瑕点为b时的瑕积分:,1反常积分概念,其中f在a,b)有定义,在点b的任何左邻域内无界,在任何a,ua,b)可积.,若瑕点为b(a,b),则定义瑕积分,当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的,1反常积分概念,其中f在a,c)(c,b有定义,在点c的任一邻域内,瑕积分才是收敛的.,无界,在任何a,ua,c)和v,b(c,b上都可积.,(6),例5,计算瑕积分,的值.,例6,讨论瑕积分,的收敛性.,1反常积分概念,(8),2无穷积分的性质与收敛判别,定理11.1,无穷积分收敛的充要条件是:,任给0,存在Ga,只要u1,u2G,便有,一无穷积分的性质,2无穷积分的性质与收敛判别,性质1,若与都收敛,k1,k2为任意,常数,则也收敛,且,性质2,若f在任何有限区间a,u上可积,ab,则,与同敛态(即同时收敛或同时,发散),且有,性质3,若f在任何有限区间a,u上可积,且有,绝对收敛一定收敛.,2无穷积分的性质与收敛判别,收敛,则亦收敛,并有,当收敛时,称为绝对收敛.,收敛而不绝对收敛者称为条件收敛.,定理11.2(比较法则),设定义在a,)上的两个函数,f和g都在任何有限区间a,u上可积,且满足,例1,讨论,2无穷积分的性质与收敛判别,二比较判别法,则当收敛时,必收敛(或者,当发散时,必发散).,的收敛性.,推论1,若f和g都在a,u上可积,g(x)0,且,则有:,2无穷积分的性质与收敛判别,(i)当0c时,与同敛态;,(ii)当c0时,由收敛可得收敛;,(iii)当c时,由发散可推知,也发散.,xa,),且p1时,收敛;,xa,),且p1时,发散.,推论2(Cauchy判别法),设f定义于a,)(a0),且在,任何有限区间a,u上可积,则,(i)当,2无穷积分的性质与收敛判别,(ii)当,推论3(Cauchy判别法),设f定义于a,),在任何,有限区间a,u上可积,且,2无穷积分的性质与收敛判别,(i)当p1,0时,收敛;,(ii)当p1,0时,发散.,则有,例2,讨论下列无穷限积分的收敛性:,2无穷积分的性质与收敛判别,定理11.3(Dirichlet判别法),上有界,g(x)在a,)当x时单调趋于0,则收敛.,2无穷积分的性质与收敛判别,三Dirichlet判别法与Abel判别法,若在a,),例3,定理11.4(Abel判别法),上单调有界,则收敛.,讨论,例4,证明下列无穷积分都是收敛:,2无穷积分的性质与收敛判别,若收敛,g(x)在a,),与,p0的收敛性.,3瑕积分的性质与收敛判别,定理11.5,是:任给0,存在0,只要u1,u2(a,a),总有,性质1,当瑕积分与都收敛时,瑕积分,也收敛,且,瑕积分(瑕点为a)收敛的充要条件,设函数f1与f2的瑕点同为a,k1,k2为常数,则,(1),性质2,设f的瑕点为a,c(a,b)为任一常数,则瑕积,分与同敛态,并有,3瑕积分的性质与收敛判别,(2),其中为定积分.,性质3,上可积.则当收敛时,也必收敛,并有,当收敛时,称为绝对收敛.收敛而不,绝对收敛者称为条件收敛.,设f的瑕点为a,f在(a,b的任一内闭区间u,b,3瑕积分的性质与收敛判别,(3),定理11.6(比较法则),设定义在(a,b上的两个函数f和,则当收敛时,必收敛(或者,当,发散时,必发散).,g,瑕点同为xa,在任何u,b(a,b上都可积,且满足,3瑕积分的性质与收敛判别,推论1,若g(x)0,且,(i)当0c时,与同敛态;,(ii)当c0时,由收敛可推知也收敛;,(iii)当c时,由发散可推知也发散.,3瑕积分的性质与收敛判别,则有:,推论2(Cauchy判别法),且在任何u,b(a,b上可积,则,(i)当,设f定义于(a,b,a为其瑕点,3瑕积分的性质与收敛判别,且0p1时,收敛;,(ii)当,且p1时,发散.,推论