曾五一 应用统计学 第11章

第十一章时间序列分析,1,主要内容,第一节时间序列的概念及其水平第二节时间序列的速度指标第三节长期趋势的测定第四节季节变动、循环波动和随机变动的测定第五节时间序列预测,2,第一节时间序列的概念及其水平,一、时间序列的的概念和种类（一）时间序列的概念将一项反映现象数量方面的统计指标在各个不同时间上的数值按时间先后顺序排列就形成了时间序列。时间序列由两个基本要素构成：一个是现象所属的时间；另一个是反映该现象在一定时间条件下数量特征的指标值。表11-1列举了四个时间序列，分别反映我国19912008年期间各年居民储蓄存款的年底余额、年增加额、人均消费水平和城乡居民消费水平对比的情况。,表11-1我国1991-2008年居民储蓄和消费水平资料,资料来源：中国统计年鉴2009,（二）时间序列的种类时间序列按其统计指标的形式不同，可分为总量指标时间序列、相对指标时间序列和平均指标时间序列三种类型。其中总量指标时间序列是基础序列，相对指标和平均指标时间序列是派生序列。1总量指标时间序列总量指标时间序列反映的是被研究现象总水平（或总规模）的发展变化过程。总量指标时间序列根据总量指标反映现象的时间状况不同，又可分为时期指标时间序列和时点指标时间序列。,（1）时期指标时间序列时期指标时间序列是由一系列时期指标形成的，序列中的每个指标数值都是反映某种社会现象在一段时期内发展过程的总量，简称时期序列。例如，表11-1中各年的“全国居民储蓄存款年增加额”就是时期序列，各时期的长度为1年，反映一年内居民存款增加的总和。,（2）时点指标时间序列时点指标时间序列是一系列时点指标形成的，序列中每个指标数值都是反映现象在某一时点（刻）上所达到的状态或水平，简称时点序列。例如，表11-1中各年的“全国居民储蓄存款年底余额”就是一个时点序列，它反映了在各年年底这一时刻上存款的总额。时点序列没有时期，只有间隔，该时点序列的间隔为一年。,（3）时期序列与时点序列的不同特点第一，时期序列中的每个指标数值，都反映现象在一定时期内发展过程的总量；时点序列中的每个指标数值，则反映现象在某一时点上的总量。第二，时期序列各时期指标数值可以相加，因为相加的结果有实际的意义；时点序列中的各指标数值除非计算过程需要相加外，一般不能相加，因为相加的结果并无实际意义。第三，时期序列中每个指标数值的大小与时期的长短有关；时点序列中，每个指标数值的大小与时间的间隔长短无直接关系。第四，时期序列的每个指标数值，是跟随现象发展过程作连续登记得到的；时点序列中的每个指标数值，是对现象做一次性调查确定的。,2相对指标时间序列将一项相对指标在不同时间的数值按时间先后顺序排列形成的序列，称为相对指标时间序列，它反映所研究现象数量对比关系的发展变化过程。如城乡居民人均消费水平对比，就是一个相对指标时间序列，它反映近几年来城乡居民人均消费水平对比的变化。相对指标时间序列中各时间的指标值不能加总。3平均指标时间序列将一项平均指标在不同时间的数值按时间先后顺序排列形成的序列，称为平均指标时间序列，它反映现象平均水平的发展趋势。如全国居民人均消费水平，就是一个平均指标时间序列，它反映近几年来全国居民人均消费水平发展变化的过程。平均指标时间序列中各时间上的指标值也是不能加总的。,二、时间序列的水平（一）发展水平发展水平是时间序列中与其所属时间相对应的反映某种现象发展变化所达到的规模、程度和水平的指标数值。通常指总量指标的数值，也可指相对指标和平均指标的数值。时间序列各时间的发展水平一般用y1,y2,yn表示所要研究的那个时期的发展水平，称为报告期水平，又称为计算期水平；用做对比基础的时期的发展水平，称为基期水平。,（二）平均发展水平将一个时间序列各期发展水平加以平均而得的平均数，叫平均发展水平，又称为动态平均数或序时平均数。虽然各种时间序列的序时平均数计算方法不尽相同，但总量指标时间序列序时平均数的计算方法是其它时间序列序时平均数计算方法的基础。,1总量指标时间序列序时平均数的计算（1）时期序列时期序列具有可加件，其计算序时平均数的方法就比较简单，常用简单算术平均法，序列各期水平直接加总除以序列项数即得。用公式表示为：,【例11-1】根据表11-1中我国近几年来全国居民储蓄存款年增加额的资料计算平均每年储蓄存在增加额。依公式11.1计算得：,（2）时点序列时点序列序时平均数的计算方法，因掌握资料的情况不同而异。时点序列中一般以“天”作为最小的时间单位，若掌握的是以天为间隔的时点序列，则称连续时点序列；以其它时间单位为间隔的时点序列则称间断时点序列，如以星期、月、年等为时间单位的时点序列就称间断时点序列。连续时点情况下。又分为两种情形：a若掌握的资料是间隔相等的连续时点(如每日的时点)序列，则用简单算术平均数计算序时平均数即用。,b若掌握的资料是间隔不等的连续时点序列，则要以各时点之间的间隔期为权数，用加权平均法来计算。如有些时点现象并不连续发生变化，因而只要在它发生变动时，作变动记录即可。这种序时平均数其计算公式如下，其中f为每次变动之间间隔期的长度:,【例11-2】某商店某种商品库存数量变动登记如下：1月1日库存120件，1月11日出库10件，1月16日入库6件，1月25日又入库8件，2月1日出库4件。求1月份该商店该种商品的平均库存量?根据公式，得：,间断时点情况下。间断时点也分两种情况：a若掌握的资料是间隔相等的间断时点，则序时平均数的计算方法，需先计算各相邻两时点发展水平的平均数，然后再将这些平均数进行简单算术平均求得序时平均数.计算公式为：,上式是直接将序列中的首未两项折半加上中间各项之和，除以项数减1进行计算的，因此，该方法也称为首末折半法。【例11-3】根据表11-1中我国各年年底存款余额的资料，计算1996-2000年间平均每年的存款余额。根据间断时点时间序列序时平均数的计算思路，要先计算各年内的平均存款余额，再对各年内的平均存款余额进行算术平均求得平均每年的存款余额。由于资料给定的是各年年底的余额，所以1996年的平均存款余额要用年末与年初的存款余额进行平均，即需要用到1995年末的资料。同样的，其余年份的年底资料即为下一年份的年初资料。,则1996-2000年间平均年存款余额为：,b若掌握的资料是间隔不等的间断时点序列，则同样先计算各相邻时点的平均数，再以各间隔长度为权数，应用加权平均法计算序时平均数。【例11-4】如果例11-3中只给出了1995年、1998年和2000年三年年底存款余额，同样求1996-2000年间平均每年存在余额。则有：,2相对指标时间序列序时平均数的计算相对指标是两个总量指标的对比，用来对比的总量指标可以是时期指标也可以是时点指标，相应地，相对指标时间序列可以是两个时期序列或两个时点序列的对应项对比的结果，也可以是时期序列和时点序列对应项对比的结果。因此，要计算相对指标时间序列的序时平均数，不能就序列中的相对数直接进行平均计算，而必须分别求出用来对比的分子指标和分母指标时间序列的序时平均数，然后再进行对比。,若相对指标，则有：根据这个公式计算相对指标时间序列序时平均数时，应当分清分子、分母的时间序列是时期序列还是时点序列，间断相等还是不相等，然后分别根据不同情况运用前面介绍的不同方法进行计算。,【例11-5】根据下表资料分别计算甲、乙、丙三个企业第一季度月平均计划完成程度。,甲企业第一季度月平均计划完成程度：乙企业第一季度月平均计划完成程度：丙企业第一季度月平均计划完成程度：,（2）由两个时点序列对应项对比得到的相对指标时间序列，其序时平均数同样是由作为分子的时点序列的序时平均数和作为分母的时点序列的序时平均数对比得到，只要根据时点序列的特点不同采用不同的计算方法即可。,【例11-6】根据下表中我国就业人员的相关资料，计算1996-2000年平均每年第一产业就业人数所占的比重,由于年底第一产业就业人员所占的比重是由两个间隔相等的间断时点指标对比得来的，因此，1996-2000年第一产业就业人员所占比重的平均数为：,（3）由时期序列和时点序列相应项对比形成的相对指标时间序列，则分别按时期序列和时点序列序时平均数的计算方法求得分子或分母的序时平均数，再对比得到相对指标时间序列的序时平均数。3平均指标时间序列序时平均数的计算平均指标是由两个总量指标对比得到的，因此其时间序列序时平均数的计算方法同相对指标时间序列序时平均数的计算方法是一致的，也有三种情况，关键还是区分分子指标和分母指标是时期指标还是时点指标，再分别按不同的方法进行计算。,（三）增长量指标增长量是表明某种现象在一段时期内增长的绝对量，它等于报告期水平减其基期水平。即：增长量报告期水平基期水平增长量有正负之分，若为正值，表明增加，若为负值，说明减少，故又称为“增减量”指标。根据基期的不同确定方法，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。1逐期增长量逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，用公式表示为：逐期增长量=报告期水平前一期水平,2累计增长量累计增长量是报告期水平与某一固定时期水平（通常是时间序列最初水平）之差，用公式表示为：累计增长量=,易于看出，同一时间序列中，累计增长量等于相应时期逐期增长量之和，即：同样可以看出，相邻的两个累计增长量之差等于相应的逐期增长量，即：,3年距增长量对于按月（季）编制的时间序列，为了消除季节变动的影响，还可以计算年距增长量，它等于本期发展水平比上年同期发展水平增加（减少）的数量。即年距增长量报告期水平上年同期水平,（四）平均增长量指标平均增长量是时间序列中逐期增长量的序时平均数，它表明该现象在一定时段内平均每期增加（减少）的数量。其计算公式为：平均增长量=式中，表示逐期增长量的项数。根据逐期增长量与累计增长量之间的数量关系，平均增长量还可以表示为：平均增长量=,第二节时间序列的速度指标,一、发展速度发展速度是将现象报告期水平除以基期水平求得的表明某种现象发展程度的相对指标。即：发展速度通常用百分数表示，当比值较大时，也可用倍数和翻番数表示，它说明现象报告期水平为基期水平的百分之几或若干倍。当它大于100（或1）时，表明现象的发展水平是提高的，若小于100（或1）时，表明现象的发展水平是降低的。,由于采用的基期不同，发展速度可分为环比发展速度和定基发展速度。1环比发展速度环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比，它表明报告期水平为前一期水平的百分之几或若干倍，从一个环比发展速度时间序列来说，它表现现象逐期的发展程度。用公式表示为：,2定基发展速度定基发展速度是报告期水平与其一固定基期水平（通常是最初水平）之比。它表明报告期水平为某固定基期水平的百分之几或若干倍，定基发展速度时间序列的各期数值，分别说明现象在一较长时期内发展的总速度。,3环比发展速度与定基发展速度的关系上述两种发展速度使用的基期和它们说明的问题不同，但这两种发展速度之间却存在一定的关系：（1）同一时间序列各期环比发展速度的连乘积，等于其相应时期的定基发展速度。（2）两个相邻定基发展速度之比，等于相应报告期的环比发展速度。,4年距发展速度类似于年距发展水平指标，对于按月（季）编制的时间序列，可计算年距发展速度，用公式表示为：它消除了季节变动的影响，表明本期水平相对于上年同期水平发展变化的方向与程度，是实际统计分析中经常应用的指标。,二、增长速度增长速度是某种现象报告期的增长量与基期水平之比，表明该现象增长程度的相对指标。其一般公式是：,由于增长量有逐期增长量和累计增长量之分，增长速度因所采用基期不同，分为环比增长速度和定基增长速度。1环比增长速度环比增长速度是逐期增长量与其前一期发展水平之比，表明现象逐期增长程度。其计算公式为：,2定基增长速度定基增长速度是累计增长量与某一固定基期水平之比，表明现象在一段时期内总的增长程度。其计算公式为：,3年距增长速度年距增长速度表明本期比上年同期增长（降低）了百分之几或若干倍。其计算公式为：4增长1%的绝对值,三、平均发展速度和平均增长速度平均速度指标有平均发展速度和平均增长速度两种。前者说明某种现象在一段较长时间内逐期变化发展的一般程度，后者说明某现象在一段较长时间内逐期增长或降低的一般程度。平均增长速度与平均发展速度有密切联系，两者仅相差一个基数，即：平均增长速度平均发展速度1因此，掌握了平均发展速度的计算方法，平均增长速度就可以求出来。平均发展速度是一定时期内各期环比发展速度的序时平均数，常用的计算方法有几何平均法和高次方程法。,1几何平均法几何平均法也称水平法。采用这一方法的原理是：一定时期内现象发展的总速度（即定基发展速度）等于各期环比发展速度的连乘积，则根据平均数的性质，以平均发展速度代替各期的环比发展速度计算出来的总发展速度应等于实际的总发展速度，即：解得：,2高次方程法高次方程法也称累计法。采用这一方法的原理是：以时间序列的最初水平为基期水平，用平均发展速度代替各期的环比发展速度推算的各期理论水平应等于各期的实际水平，即,相应的，各期理论水平之各应等于各期实际水平之和，即：用高次方程法计算平均发展速度，等式两边分别是各期理论水平与实际水平累计之和，所以它也称为累计法。,几何平均法和高次方程法是计算平均发展速度的基本方法，但二者的侧重点不同，也各有优劣：前者是从最末水平出发来进行研究，直接根据期末与期初水平就能求得，方法简便，但忽略了中间各期水平，当各期水平波动较大，各期环比发展速度变化很大时，用几何平均法计算的平均发展速度就不能准确反映实际的发展过程；后者则是从各期水平累计总和出发，计算过程综合考虑了各期的发展水平，但仅适用于满足“可加性”的时期序列。,第三节长期趋势的测定,一、时间序列的构成与分析模型（一）时间序列的构成现象的发展变化受许多因素的影响，各因素共同作用的结果形成了该现象时间序列各期的指标值。由于社会经济现象是错综复杂的，在统计分析中一般按作用特点和影响效果将影响时间序列变动的因素归为四大类，即趋势变动（T）、季节变动(S)、循环波动(C)和随机变动(I)。,1趋势变动。指现象在发展变化过程中由于受到某种固定的、起根本性作用的因素的影响而在较长时间内展现出来的总态势。它具体表现为不断增加或减少的基本趋势，也可以表现为只围绕某一常数值波动而无明显增减变化的水平趋势。如受改革开放政策的影响，中国的经济持续增长，国内生产总值逐年递增。2季节变动。指现象在一年内由于受社会、政治、经济、自然等因素的影响，形成的以一定时期为周期的有规律的重复变动。季节变动是一种极为普遍的现象，在农业生产、交通运输、建筑业、旅游业、商品销售以及工业生产中都有明显的季节变动规律。如啤酒的销售量夏季大、冬季小；春运期间客流量剧增等。3循环波动。指现象围绕长期趋势出现的，有涨有落的周期性运动。循环波动与季节变动有着本质的区别：季节变动的周期小于一年并且有固定的周期，而循环波动的周期大于一年并且规律性较低，通常较难识别。循环波动的一个重要例子就是经济增长中出现的繁荣衰退萧条复苏繁荣的周而复始的运动。4随机变动。指现象由于各种偶然因素的影响而呈现的不规则运动，它们是时间序列分析中无法由以上三种变动解释的部分。,（二）时间序列的分析模型图11-3（c）所示的时间序列就是以上四种变动综合作用的结果，时间序列分析的主要任务就是将各种变动对时间序列指标值的影响状况分别测定出来；在进行时间序列分析时，通常以长期趋势值（T）为绝对量基础，再根据各类变动对时间序列的影响是否独立，建立两种组合模型，即加法模型和乘法模型。,1加法模型：此模型假定四类变动是相互独立的，对时间序列的影响程度以绝对数表示，时间序列各期的指标值是各类变动对时间序列影响的绝对量之和。其中：Y表示时间序列各期的指标值；T表示时间序列各期的长期趋势值，这是时间序列各期指标值的主要构成部分；S表示加入了季节变动后各期指标值与长期趋势值之差，称作季节变差；C表示加入了循环变动后各期指标值与长期趋势值之差，称作循环变差；I表示加入了随机变动后各期指标值与长期趋势值之差。,2乘法模型：乘法模型中仍以长期趋势值T作为各期指标值的绝对量基础，但假定四类变动之间存在着交互作用，其它各类变动对时间序列各期指标值的影响程度是以相对数的形式表示出来。其中：T表示时间序列各期的长期趋势值，以绝对数表示；S表示加入了季节变动后的各期指标值与长期趋势值的比率，称作季节指数；C表示加入了循环波动后的各期指标值与长期趋势值的比率，称作循环指数，反映循环波动对时间序列的影响程度；I表示加入了随机变动后的各期指标值与长期趋势值的比率。因此，时间序列各期指标值是长期趋势值T与其它变动的影响比率的乘积。,在实际中，各种变动对现象的影响一般都是相互的，因此应用较多的是乘法模型，而且根据乘法模型，可以较容易地将各种变动对时间序列的影响状况分别测定出来。如要求出循环波动对各期指标值的影响，只要用其余变动的数值去除时间序列即可，即：上式剔除了长期趋势（T）、季节变动（S）和随机变动（I）的影响，得出的时间序列资料仅包含循环波动产生的影响，根据乘法模型的定义，即得出了加入循环波动后的指标值与长期趋势值的比率。,二、长期趋势的测定（一）移动平均法移动平均法是测定时间序列趋势变动的基本方法，其基本思想是：随机因素的影响是相互独立的，因此，短期数据由于随机因素而形成的差异，在加总平均的过程中会相互抵消，其平均数就显示了现象由于其本质因素所决定的趋势值。,1奇数项移动平均法设时间序列有期，各期指标值依次为：，若所平均的项数是奇数，则其中间项的趋势测定值经过一次移动平均就可得到，用表示一次移动平均数，计算公式为：,其中：N为奇数，是移动平均的项数；t为每次移动平均中间项所对应的时期，（）为第期的中心化移动平均数。以N=5为例，由上式可计算出各期的中心化移动平均数，如：,2偶数项移动平均数法若所移动平均的项数为偶数，则计算出来的移动平均数对应的中间项是在两个时期之间，则不能代表任一时期的趋势值。以=4为例，,（二）趋势模型法趋势模型法是根据时间序列长期趋势的表现形态，建立一个合适的趋势方程来描述现象各期指标值随时间变动的趋势规律性，并据此进行各期趋势值的测定。基本步骤如下：第一，选取合适的模型。时间序列中长期趋势的表现形态是多种多样的。在实际应用中，如何选择时间序列所要配合的趋势模型是一个十分重要的问题。趋势模型选择得不当，不仅不能正确描述现象的发展的规律性，有时还会得出与事实相反的结论。,第二，估计模型参数。趋势方程中的自变量是时间t，t一般按时期的先后顺序取值为（n为时间序列的时期数）；因变量是时间序列期的指标值第三，计算趋势变动测定值。将各期时间t的取值代入已估计出参数的趋势模型，得出的因变量数值就是相应时期的趋势变动测定值。,例11-12根据表11-9中第栏我国社会消费品零售总额的资料计算测定各年的长期趋势值。从图11-4中零售额的散点图可以看出1978-2001年间我国消费品零售额的走势类似指数曲线，因此用指数曲线模型进行趋势值的测定。,表11-91978-2001年我国社会消费品零售总额及其趋势值单位：亿元,资料来源：中国统计年鉴2003,图11-4,把模型线性化为，对各期指标值取以10为底的对数，得（见第栏），再用最小二乘法进行估计，可得即有：对估计的对数线性模型取反对数，可得：,上式即为全社会消费品零售总额趋势的指数曲线模型，把各时期的时间t值代入模型即可求出各期的趋势测定值。见表11-9最后一栏。把测定出的趋势值即第栏的数据绘成图，见图11-4中的曲线，可以看出，用指数曲线模型测定的趋势值与原各期指标值的拟合程度较好，因此用指数曲线模型能较好地反映我国改革开放以来社会消费品零售额的增长趋势。,第四节季节变动、循环波动和随机变动的测定,一、季节变动的测定（一）季节变动测定的目的和原理季节变动测定的基本思路是：设各种变动因素是以乘法模型进行组合形成时间序列，则以时间序列中不含季节变动的长期趋势值为衡量基准，计算加入季节变动后各期的指标值与原趋势值的比率，以此衡量各期指标值受季节变动影响的程度。若时间序列的变动中只有趋势变动而不含季节变动，则各期指标值与长期趋势值的比率应为100%；若时间序列在趋势变动的基础上加上季节变动的影响，则各期指标值会偏离长期趋势值，相应的各期指标值与长期趋势值的比率会大于或小100%，离差越大，说明该期指标值受季节性因素的影响程度越大。,由于季节变动是一种各年变化强度大体相同且每年重现的有规律的变动，因此从理论上讲，各年同期（月或季）的指标值与趋势值的比率应基本相同，其差异是随机因素作用的结果，可以通过对各年同期的比率分别求平均来消除随机变动的影响，相应的平均数称作一年内各期的季节指数，用S表示。例如所分析的是以月份为时期的时间序列，则相应的就有12个月的季节指数，分别表示一年内各月的指标值受季节性因素影响的程度。,（二）季节变动的测定方法季节变动的测定就是要计算出各季或各月的季节指数，即乘法模型中的S，则上述季节变动测定的基本思路可以总结如下：第一步，求时间序列的长期趋势值T；第二步，设法剔除趋势变动和循环变动对时间序列的影响，得出仅包含季节变动和随机变动的时间序列资料，即：第三步，对第二步的结果消除随机变动的影响，得出季节变动的测定值，即季节指数S。,一般情况下，时间序列的随机变动和循环波动可以通过移动平均的方法给予消除（只要移动平均的项数等于循环波动的周期长度），而根据序列是否存在明显的趋势变动，对长期趋势值T的处理方法有所不同，相应的有两种测定季节变动的方法。1同期平均法例11-13表11-10给出了我国2002-2004年各季度的铁路客运量以及用同期平均法计算的各季度季节指数。,表11-10我国铁路客运量季节指数计算表单位：亿人,同季平均数,总平均数,季节指数,资料来源：中华人民共和国国家统计局网站）,2趋势剔除法对于长期趋势比较明显的时间序列，需要在计算季节指数之前先剔除长期趋势变动的影响，而后再计算季节指数。例11-14表11-11（见课本）第栏是某市2000-2004年各月份国际旅客人次的数据，要求计算各月份的季节指数。根据乘法模型，在此基础上进行季节变动的测定：,第一步：用移动平均法求各月的趋势值。取移动平均的项数为周期的长度，即12个月，由于移动平均的项数为偶数，所以要在一次移动平均的基础上进行二次移动平均，所得的中心化移动平均数列于表11-13中第栏。本例中旅客人次的变动有循环变动的影响，因此，。,第二步：用各月的实际值除以相应的中心化移动平均数，则从原时间序列中剔除了趋势变动和循环变动的影响，所得的数值称作季节比率，列于第栏，这是季节变动和随机变动综合作用的结果，即：,第三步：对各年内同月份的季节比率求平均，可以在相当程度上消除随机变动的影响，所得的结果即各月的季节指数，用表示，列于栏，它反映了季节性因素对各月份指标值的影响程度。如1月份的季节指数是各年1月份的季节比率的平均数，即：0.988=(1.373+0.764+1.111+0.702)/4。其余各月份季节指数的计算以此类推。,二、循环波动的测定由于循环波动往往存在于一个较长的时期中，而且变动的周期、变动的强度等均不固定，所以对其的测定是较困难的。但我们可以借鉴季节变动测定的方法，从时间序列中剔除趋势变动、季节变动，再对此结果消除随机变动，从而得到反映循环波动影响程度的循环指数，相应的方法称作剩余法。,例11-15根据表11-11（见课本）中第栏某市2000-2004年各月份国际旅客人次的数据用“剩余法”进行循环波动的测定。具体步骤如下：第一步，先求季节指数S，再用原时间序列各项指标值除以相应的季节指数，以剔除季节变动的影响，所得结果列于表11-11的第栏，是趋势变动、循环波动和随机变动的综合作用的结果，即,第二步，对剔除季节变动后的时间序列求趋势值T，以剔除趋势变动的影响，所得的结果只剩循环波动和随机波动，即：运用最小二乘法，以第栏的数据为因变量，第栏的时间t为自变量，建立的趋势方程，得：将各期的时间值代入趋势方程，得各期的趋势值T，列于第栏。,可以对第栏的趋势值和第栏剔除了季节变动的指标值分别绘图，如图11-5所示，我们可以看出，剔除了季节变动的各期指标值仍表现出了围绕趋势直线上下波动的形态，说明该时间序列存在着循环波动的影响，可以将第栏的数值除以第栏的数值，所得的结果列于第栏，该结果是加入循环波动和随机变动后的数值与仅包含趋势变动的数值的比率，反映了循环波动和随机变动的共同影响程度。,图11-5,第三步，对第二步的结果即第栏的数值进行移动平均，以消除随机变动的影响，就可得到各期相应的循环指数C。为了更好地消除随机变动，可以按不同的项数进行平均，取修匀效果较好的一个。这里取的移动平均项数为9，所得的中心化移动平均数列于第栏。同季节变动的分析一样，可以通过比较循环指数与100%的偏差程度，来衡量循环变动的程度。对第栏的循环指数绘图，见图11-6，图中显示了明显的循环波动特征。,图11-6,三、随机变动的测定方法随机变动即由随机偶然因素引起的变动，是趋势变动、季节变动和循环变动不能解释的部分。在乘法模型中，不规则变动同样可用“剩余法”来测定，即利用已经计算得到的仅包含循环变动C和不规则变动I的数据资料（），除以循环变动指数C，即可得到随机变动指数I。例11-16根据前两例的计算结果，对某市2000-2004年各月份国际旅客人次的随机变动进行测定。,根据“剩余法”的测定思路，用表11-11中第栏的数据除以第栏的数据，即得到各月份的随机指数I（），所得结果列于第栏。随机指数I等于100%，说明不存在随机因素的影响；I与100%的偏差越大，说明现象受随机因素的影响也越大。可以把I绘成曲线图，见图11-7，从图中可以看出，各月份的随机指数是一条围绕100%上下波动的曲线.,图11-7,第五节时间序列预测,一、移动平均和指数平滑预测（一）移动平均预测法式中，是第t期的一次移动平均数，用它作为第t+1期的预测值。一般来说，近期值比远期值更重要，因而在移动平均时应给予更大的权重，相应的移动平均法称加权移动平均法，其公式为：,（二）指数平滑法1一次指数平滑法指数平均滑法其实是加权移动平均法的特例，它是以时间序列预测期之