刚体力学基础

刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律,模块七刚体定轴转动及转动定律,刚体，指在任何情况下都没有形变的物体,一、刚体的运动,1.平动和转动刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行,如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，这条直线称为转轴。,平动和转动是刚体运动中两种基本形式.,若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动.这个转轴称为固定轴，,2.定轴转动,转动平面：垂直于固定轴的平面,特点所有质点的线量一般不同，但角量都相同;质点的线量与该质点的距轴矢径大小成正比,：质元绕轴作圆运动的加速度，分量式如下：,二、刚体绕定轴转动定律,第i个质元,法向力的作用线过转轴,其力矩为零.,内力矩为零,外力矩为M,刚体定轴转动的转动定律,与牛顿第二定律比较：,J是否与m一样是不变的量？,转动惯量,定义,质量不连续分布,质量连续分布,确定转动惯量的三个要素:总质量、质量分布、转轴的位置,J与刚体的总质量有关,例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,J与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,O,L,x,dx,m,z,L,O,x,dx,m,z,J与转轴的位置有关,竿子长些还是短些较安全？,非专业训练，请勿模仿,例,解由转动定律得,式中,得,角加速度与质量无关，与长度成反比，竹竿越长越安全。,例题74一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度,解：,例题7一根长为L，质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置求它由此下摆角时的角加速度和角速度,解：,1.转动动能,刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半,比较：,模块八刚体定轴转动的动能定理和角动量守恒定律,一、动能定理,2.力矩的功,对i求和，则力矩的元功,M为作用于刚体上外力矩之和(内力矩之和为零),力矩的功率为：,当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。,3.刚体定轴转动的动能定理：,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.这就是刚体定轴转动时的动能定理.,质点角动量（相对O点）,二、定轴转动的角动量守恒定律,定轴转动刚体,1.刚体对定轴的角动量定理作定轴转动刚体，其质元角速度相同，因此，,定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对冲量矩。,二、定轴转动的角动量守恒定律,2.定轴转动的角动量守恒,若,则L=Jw=恒量,外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒.,刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒,总角动量L=J1w1+J2w2+=常量,角动量守恒定律的两种情况：,(1)转动惯量保持不变的刚体,例：回转仪,(2)转动惯量可变的物体,当J增大时，就减小,当J减小时，就增大,而保持不变,例：旋转的舞蹈演员,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,例:一根质量为m长为2l的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置，一质量为m/的小球，以速度u垂直落到棒r端点。设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹速度u/及棒的角速度？（忽略轴处摩擦）,解：杆的角速度如图示,假设小球碰后瞬时的速度u/向上,系统：小球+杆条件：M外=0角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）,(1),(1),因为弹性碰撞,动能(机械能)守恒,(2),联立(1)(2)解得,讨论:1.02.当m3m/时,u/0（向上）当m=3m/时,u/=0（瞬时静止）当m3m/时,u/0（向下）,工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动如图所示，A和