方波信号f(t)展开为傅里叶级数

图4.2方波信号的傅里叶级数,例41试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,方波信号f(t)展开为傅里叶级数,解我们将信号按式(46)分解成傅里叶级数,并按式(47)、(48)、(49)分别计算an,bn及c。,例3.3-1,试画出f(t)的振幅谱和相位谱。,解f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2s，=2、3、6分别为二、三、六次谐波频率。且有,振幅谱和相位谱例题,其余,图3.3-1例3.3-1信号的频谱振幅谱；(b)相位谱,图3.3-2例3.3-1信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱,例3.4-2求指数函数f(t)的频谱函数。,图3.4-2单边指数函数e-t及其频谱(a)单边指数函数e-t;(b)e-t的幅度谱,单边指数函数f(t)的频谱函数,其振幅频谱及相位频谱分别为,解,(441),(440),单边指数信号的频谱,例44求单边指数信号的频谱。解单边指数信号是指,图4.7单边指数信号及其频谱,例3.4-3求图3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。,偶对称双边指数函数的频谱函数,图3.4-3双边指数函数及其频谱(a)双边指数函数；(b)频谱,(442),从频谱函数的定义式出发,(443),例45求双边指数信号的频谱。解双边指数信号是指,偶对称双边指数信号的频谱,图4.8双边指数信号及其频谱,例3.4-4求图3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。,图3.4-4例3.4-4图(a)信号f(t);(b)频谱,奇对称双边指数函数的频谱函数,(a0),解图示信号f(t)可表示为,例3.4-1图3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为，高度为1，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数。,解门函数g(t)可表示为,门函数的频谱函数,图3.4-1门函数及其频谱(a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d)相位谱,图4.6矩形脉冲信号及其频谱,矩形脉冲信号g(t)的频谱,例43求矩形脉冲信号g(t)的频谱。,(436),g(t)的傅里叶变换为,(437),(438),(439),解矩形脉冲信号g(t)是一个如图4.6（a）所示的门函数。其定义为,例3.4-5求单位冲激函数(t)的频谱函数。,图3.4-5信号(t)及其频谱(a)单位冲激信号(t);(b)(t)的频谱,(t)的频谱函数,解,可见，冲激函数(t)的频谱是常数1。也就是说，(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号(t)实际上是无法实现的。,根据分配函数关于(t)的定义，有,(434),(435),冲激信号(t)的频谱,例42求冲激信号(t)的频谱。解由频谱函数的定义式有,图4.5冲激信号及其频谱,(475),移位冲激函数(t-t0)的频谱函数,例412求移位冲激函数(t-t0)的频谱函数。解由于已知冲激函数(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数(t-t0)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(474)。,例3.4-6求直流信号1的频谱函数。,图3.4-6直流信号f(t)及其频谱(a)直流信号f(t);(b)频谱,直流信号1的频谱函数,解直流信号1可表示为,(445),(446),例46求单位直流信号的频谱。解幅度为1的单位直流信号可表示为f(t)=1,-t0),(4-51),符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在取极限趋近0时的一个特例:,例3.4-8求阶跃函数(t)的频谱函数。,由阶跃函数(t)的波形容易得到,解,从而就可更为方便地求出(t)的频谱函数，即,阶跃函数(t)的频谱函数,图3.4-8阶跃函数及其频谱(a)(t)的波形；(b)频谱,例3.5-1求图3.5-1(a)所示信号的频谱函数。,图3.5-1例3.5-1的图(a)f(t)的波形；(b)相位谱,门(平移后)信号的频谱函数,解,例411已知求g(2t)的频谱函数解根据傅里叶变换的尺度变换性质,g(2t)的频谱函数为,尺度变换求频谱,图4.13尺度变换,图4.11单边指数信号及其频谱,例49利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信号f(t)=2e-tu(t)的频谱。,利用奇偶虚实性求频谱,解从波形图（a）上可见,单边指数信号f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）,（c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。f(t)=2e-tu(t)=fe(t)+fo(t)其中,例3.5-2求高频脉冲信号f(t)(图3.5-2(a)的频谱。,图3.5-2高频脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)频谱,高频脉冲信号f(t)的频谱,解图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数g(t)与cos0t相乘，即,例413求高频脉冲信号p(t)=g(t)cos0t的频谱函数解由于,高频脉冲信号的频谱函数,故有,根据频移特性有,图4.14频移特性,例3.5-4求图3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。解若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。将f(t)求导，得到图3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导，得到图3.5-5(c)所示的f2(t)，显然有,梯形信号f(t)的频谱函数,图3.5-5梯形信号及其求导的波形,据时移性质有,图3.5-6另一种梯形信号,图4.15梯形脉冲的傅里叶变换,梯形脉冲的傅里叶变换,例414求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。,解梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲f1(t)与f2(t)的卷积，如图4.15所示。f(t)=f1(t)*f2(t)而矩形脉冲的傅里叶变换已在例43中求出,具体来说,图4.16半波正弦脉冲,图4.17三角形脉冲及其一、二街导的波形,例3.6-1求图3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(j)。,图3.6-1周期矩形脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)复振幅Fn;(c)频谱函数F(j),周期矩形脉冲f(t)的频谱函数,解周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为,例3.6-2图3.6-2(a)为周期冲激函数序列T(t)，其周期为T，T(t)可表示为,m为整数,图3.6-2周期冲激序列及其频谱,周期冲激函数序列T(t)的频谱,解先求T(t)的复振幅Fn：,设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到,已经知道,例3.8-1已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)(t)，试求图3.8-1所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。,图3.8-1例3.8-1的图,用频域分析法求响应,注意到()的取样性质，并为了较方便地求得UCf(j)的逆变换，将UCf(j)按如下形式整理:,图4.19,例420如图4.19所示,试分析单位阶跃信号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。,用频域法求响应,则按H()的定义有,对于单位阶跃信号u(t)而言,此时,解显然,当输入信号uS(t)为复指数信号ejt时,如图有,最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此,例3.8-2如图3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入,s(t)的波形如图3.8-2(b)所示，系统函数,用频域分析法求响应,图3.8-2例3.8-2图(a)系统组成；(b)s(t)的波形,先求f(t)的傅里叶变换F(j)，由于,再求s(t)的傅里叶变换S(j)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则,因而有,图3.8-3