2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 劉華疆 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013 年 8 月 29 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 有害物质存储地点选取和运输修路摘要本文对重金属汞、铅、砷在A,B,C,D四个地方分布，从中选出重金属含量最少的两地。首先，对问题一，我们按照各地重金属含量与四个地方空间坐标分布，明显看出各点分布较为集中。筛选出权重较高的影响M变质的数据，以及对M影响较重、中等等数据进行筛选，后进行整理，选出有效数据进行分析讨论，后做出合理猜想并进行验证结果。其次，对问题二，重金属汞、铅、砷含量所对应的所有坐标与A,B,C,D四个地方在matlab中做出与之相关联的回归曲线。分析各点与曲线分布关系，猜想出重金属含量最少的两地，并做出合理论证。最后再进一步推论，用筛选出对M影响的权重数据，做出回归曲线，最终判断出猜想的两地为最优的两地。最后，对问题三，运输修路要经过一条线段与一个半圆的一条路径，应画出相应的几何图形，给出多个方案，判断最短路径。 关键词： 回归曲线 筛选数据 避障路径 解析几何 matlab 权重 散点图一 问题重述1.1背景资料与条件某公司要在A、B、C、D四个地方选择2个地方用于物质M的储存，该物质M受分布在当地汞、铅、砷含量的影响比较显著，选出2个相对较优的地方储存物质M，使得四个地方所含重金属浓度最少。最后选出的2个地方修路来运输物资，且在这2个地方正中间有土石障碍物，并给出一个更佳合理的修路方案。1.2需要解决的问题：1.21问题一 针对该公司对四个地方所含重金属含量的权重，以及所给四个地方地理位置和各重金属含量的分布坐标，提出自己所设的方案。在方案设计时，考虑到数据种类多的原因， 汞含量(g/m2)2对物质M的影响较轻中等较重M变质铅含量(g/m2)7对物质M的影响较轻中等较重M变质砷含量(g/m2)0.1对物质M的影响较轻中等较重M变质 应筛选出有用的数据来进行分析并做出合理猜想。 1.2.2 问题二 我们需要选出合理的方案并充分利用筛选出的重金属权重坐标数据，据此，我们要使得权重数据离四个地方坐标值最近的有效得理方案。12.3问题三 在考虑到运输修路的实际问题中，两地选出最佳路径，使得费用最少来设计出一条合理有效的最佳方案（不允许打隧道）。 二问题分析问题的重要性分析通过分析统计数据，做散点图，拟合出汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量坐标与的A、B、C、D周围地方曲线，就能解决此问题，问题的思路分析2.1. 认真阅读题目，从已知A、B、C、D周围地方的汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量，以及他们的空间坐标位置数据（x，y）,在文本中整理相关数据放在矩阵中，再用Matlab软件中以影响物的权重数据筛选最重要的数据，进行合理分析，并把筛选出来的数据归为对M变质（BZ）、较重(JZ)、中等（ZD）、较轻（JQ）（可忽略对M的影响）所对应的地点（空间坐标值）。最后根据权重的大小，筛选出最为有效变质数据。22在A,B,C,D空间坐标（Q，T）与汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据所对应的坐标值（x,y）中，先总体用回归曲线画出这两者的散点图，分析出在A、B、C、D四个地方与回归曲线的位置关系，判断出离曲线最远的两个位置点。再对M变质（BZ）、较重(JZ)、中等（ZD）数据做进一步判断，最后选出出对于物质M影响较小的2个地方位置。2.3.认真分析第二题的运输修路问题，给出多种方案，并从中选出有效合理最佳方案三、问题假设1假设A、B、C、D周围地方的汞、铅、砷三种物质不发生化学反应（质量不变）；2假设A,B,C,D四地与汞、铅、砷三种物质的位置不发生变化；3假设汞、铅、砷三种物质对M影响较轻可忽略不计。4假设在修路同时没有安全隐患（物质汞、铅、砷等有害物质对人体没有影响以及在法律允许的范围内）5假设修路所设计的方案所用材料完全一样。四、 名词解释及符号说明A（160,495）空间坐标值/A地点B（460,120）空间坐标值/B地点C（550,650）空间坐标值/C地点D（800,800）空间坐标值/D地点QA、B、C、D的横坐标值TA、B、C、D得纵坐标值G汞的含量Q铅的含量S砷的含量BZ对M的变质点坐标所对应地点JZ对M的较重点坐标所对应地点ZD对M的中等点坐标所对应地点JQ对M的较轻点坐标所对应地点x1筛选出的变质横坐标x2筛选出的较重横坐标x3筛选出的中等横坐标y1筛选出的变质纵坐标y2筛选出的较重纵坐标y3筛选出的中等纵坐标C、D障碍物点五、 模型的建立及求解问题一 从汞、铅、砷对该物质的影响的表与已知A、B、C、D周围地方的汞、铅、砷的含量以及他们的空间坐标位置表中整理出相关数据。 表1汞含量(g/m2)2对物质M的影响较轻中等较重M变质铅含量(g/m2)7对物质M的影响较轻中等较重M变质砷含量(g/m2)0.1对物质M的影响较轻中等较重M变质 表2 地点 X(m) Y(m) 汞(g/m2) 铅(g/m2) 砷(g/m2) A 160 495 B 460 120 C 550 650 D 800 800 1 500 600 0.12 0.58 0.022 2 500 700 0.201 6.88 0.045 3 900 350 1.652 6.551 0.008 4 622 601 1.3 2.475 0.002 5 560 720 0.68 5.36 0.039 6 550 561 0.051 3.335 0.009 7 753 381 1.87 7.005 0.005 8 600 710 0.505 1.15 0.087 9 900 50 0.112 3.254 0.02 10 100 900 0.874 6.301 0.009 11 460 130 6.775 17.354 1.252 12 100 550 1.22 0.98 0.054 13 200 550 0.35 1.58 0.036 14 391 200 0.108 1.32 0.068 15 80 470 0.12 6.65 0.088 16 200 450 2.01 2.877 0.101 17 150 401 0.03 3.874 0.009 18 450 221 0.2 2.64 0.03 19 150 560 0.58 2.68 0.006 20 390 100 0.338 0.98 0.007 21 490 81 1.16 6.65 0.0587 22 510 115 1.802 3.425 0.101 23 500 190 0.13 4.024 0.0469 用Excel表格与文本文档整理数据如下：Q=160 460 550 800 ;T=495 120 650 800;x=500 500 900 622 560 550 753 600 900 100 460 100 200 391 80 200 150 450 150 390 490 510 500 ;y=600 700 350 601 720 561 381 710 50 900 130 550 550 200 470 450 401 221 560 100 81 115 190;G=0.12 0.201 1.652 1.3 0.68 0.051 1.87 0.505 0.112 0.874 6.775 1.22 0.35 0.108 0.12 2.01 0.03 0.2 0.58 0.338 1.16 1.802 0.13;Q=0.58 6.88 6.551 2.475 5.36 3.335 7.005 1.15 3.254 6.301 17.354 0.98 1.58 1.32 6.65 2.877 3.874 2.64 2.68 0.98 6.65 3.425 4.024;S=0.022 0.045 0.008 0.002 0.039 0.009 0.005 0.087 0.02 0.009 1.252 0.054 0.036 0.068 0.088 0.101 0.009 0.03 0.006 0.007 0.0587 0.101 0.0469;再用matlab从各点重金属含量中筛选出适合表1的数据，最终如下所示:1：汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据影响M变质的地点：BZ = 7 11 11 11 16 16 22【Q,T】=（753,381），（460,130），（200,450），（510,115）2: 汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据影响M较重的地点：JZ = Columns 1 through 15 2 2 3 3 4 5 5 6 7 8 8 9 10 10 12 Columns 16 through 30 12 14 15 15 16 17 18 19 19 21 21 21 22 22 23 Column 31 232: 汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据影响M中等的地点： ZD=sort(result)ZD = Columns 1 through 15 1 1 2 4 5 8 9 9 13 13 13 14 14 15 18 Columns 16 through 18 18 20 23问题二1.猜想一：用matlab画出表2中汞（G）、铅（Q）、砷（S）的含量数据影响的地点与A,B,C,D四点散点图，发现回归曲线与A,B地点较近，则猜想C,D为最优点猜想二： 再用matlab画出筛选占权重较大的变质数据与四点坐标回归曲线，不难看出A,B点最接近回归曲线，则更加猜测C,D为最优点问题三方案1 猜想一：具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。（即问题分析中的拉绳子拉到最紧时的状况）平面中有A（a，0）和B（-a，0）两点，中间有一个半圆形的障碍物，证明从A到B的最路径为|AcB|。方案2|caod|=2*（a+40）+pi*100*1/2方案3 六模型的评价与推广建立因变量与自变量（x1，、xi）间的回归模型（经验公式）可以很好的找出各点坐标的走势和各点的关系。对建模数据多的，有联系，可以画出关于该模型的相关回归曲线，并能推测出未知的数据值。七参考文献 1袁新生 邵大宏 郁时炼.LINGO和EXCEL在数学建模中的应用 第一版.2007 科学出版社.2008.12/view/2981bc3d376baf1ffc4fad56.html3 韩中庚 陆宜清 周素静.数学建模实用教程 第一版.2012高等教育出版 社.2012.34尤承业，解析几何，北京，北京大学出版社，20045周培德，计算几何算法与设计，北京清华大学出版社，2005九、附录 plot(Q,T,*,x,y,+) Q=160 460 550 800 ;T=495 120 650 800;x=500 500 900 622 560 550 753 600 900 100 460 100 200 391 80 200 150 450 150 390 490 510 500 ;y=600 700 350 601 720 561 381 710 50 900 130 550 550 200 470 450 401 221 560 100 81 115 190;plot(Q,T,*,x,y,+) 筛选 变质G=0.12 0.201 1.652 1.3 0.68 0.051 1.87 0.505 0.112 0.874 6.775 1.22 0.35 0.108 0.12 2.01 0.03 0.2 0.58 0.338 1.16 1.802 0.13;Q=0.58 6.88 6.551 2.475 5.36 3.335 7.005 1.15 3.254 6.301 17.354 0.98 1.58 1.32 6.65 2.877 3.874 2.64 2.68 0.98 6.65 3.425 4.024;S=0.022 0.045 0.008 0.002 0.039 0.009 0.005 0.087 0.02 0.009 1.252 0.054 0.036 0.068 0.088 0.101 0.009 0.03 0.006 0.007 0.0587 0.101 0.0469;g=find(G(1,:)2)q=find(Q(1,:)7)s=find(S(1,:)0.1)result=g,q,sg = 11 16q = 7 11s = 11 16 22result = 11 16 7 11 11 16 22 BZ=sort(result)BZ = 7 11 11 11 16 16 22较重g=find(G(1,:)0.5)q=find(Q(1,:)2.5)s=find(S(1,:)0.04)result=g,q,s;g = 3 4 5 7 8 10 12 19 21 22q = 2 3 5 6 9 10 15 16 17 18 19 21 22 23s = 2 8 12 14 15 21 23 JZ=sort(result)JZ = Columns 1 through 15 2 2 3 3 4 5 5 6 7 8 8 9 10 10 12 Columns 16 through 30 12 14 15 15 16 17 18 19 19 21 21 21 22 22 23 Column 31 23中等g=find(G(1,:)0.1)q=find(Q(1,:)1.1)s=find(S(1,:)0.01)result=g,q,s;g = 1 2 9 13 14 15 18 20 23q = 4 8 13 14s = 1 5 9 13 18 ZD=sort(result)ZD = Columns 1 through 15 1 1 2 4 5 8 9 9 13 13 13 14 14 15 18 Columns 16 through 18 18 20 23各点对四地的距离Q=160 460 550 800 ;T=495 120 650 800;x=500 500 900 622 560 550 753 600 900 100 460 100 200 391 80 200 150 450 150 390 490 510 500;X=ones(23,1) x;Y=600 700 350 601 720 561 381 710 50 900 130 550 550 200 470 450 401 221 560 100 81 115 190;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,statsrcoplot(r,rint)z=b(1)+b(2)*x;figure, plot(x,Y,k+,x,z,r,Q,T,*)b = 550.2731 -0.3048bint = 332.9366 767.6096 -0.7425 0.1329stats = 1.0e+004 * 0.0