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1,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1)v容易求得;,容易计算.,分部积分法,第四章,(Integrationbyparts),分部积分公式formulaofintegrationbyparts,生词,3,分部积分法常见类型:,(1)指数函数或三角函数与多项式的乘积.,例如,(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积.,例如,(3)指数函数与三角函数的乘积.,例如,解题技巧:,按“反对幂指三”的,顺序,前者为后者为,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,4,例1.求,解:令,则,原式,思考:如何求,提示:令,则,原式,5,例2.求,解:令,则,原式=,6,例3.求,解:令,则,原式,7,例4.求,解:令,则,原式=,8,例5.求,解:令,则,原式=,9,例6.求,解:令,则,原式,再令,则,故原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,10,例.求与,11,例7.求,解:令,则,原式=,12,例8.求,解:令,则,原式=,13,总结,14,有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的,两类不定积分:,方法:配元,化为标准型,然后根据上述公式即可得.,15,例.求,16,例11.求,解:令,则,原式,令,17,例9.求,解:令,则,得递推公式,18,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,19,例10.证明递推公式,证:,注:,或,20,说明:,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C),例4,3)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.,21,例12.求,解法1先换元后分部,令,即,则,故,22,解法2用分部积分法,23,例13.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,24,内容小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前u后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,4.计算格式:,25,练习.求,解:,令,则,可用表格法求多次分部积分,26,练习.求,解:令,则,原式,原式=,27,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为0.,求此积分的正确作法是用换元法.,28,2.求,对比P370公式(128),(129),提示:,29,作业,P2131-24,30,备用题.,1.求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,31,方法2,(先换元,
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