浙江瑞安中学高一数学集合与函数概念、基本初等函数教学解读 新课标 人教

(学习普通高中数学课程标准和人教版普通高中数学课程标准实验教科书数学1必修的体会),必修1.第一章集合与函数概念学习体会,瑞安中学,第一章集合与函数概念本章内容：1.1.1集合的含义与表示;1.1.2集合间的基本关系;1.1.3集合的基本运算;阅读与思考:集合中的元素的个数.1.2.1函数的概念;1.2.2函数的表示法;数学史材料:函数的概念发展历程.:1.3.1单调性与最大(小)值;1.3.2奇偶性;信息技术应用:用计算机绘制函数图象.,1.1集合,（一）标准内容和要求的表述1通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。2能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。4在具体情境中，了解全集与空集的含义。5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。7能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。,（二）大纲内容和要求的表述1.理解集合的概念.2.了解属于的意义3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.4.了解包含、相等关系的意义.5.了解空集和全集的意义.6.理解子集、补集、交集、并集的概念.,两者比较大纲:对概念，关注意义的了解、理解，掌握方法；标准：对概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、“在具体情境中”“体会”、“了解”、“理解”含义；重视使用Venn图。,（三）教学要求,1.基本要求了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系、理解集合相等的含义。理解列举法和描述法，能选择自然语言、图形语言、集合语言来表示集合。掌握常用数集的记法。了解空集的含义。理解集合与集合之间的“包含”关系，理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集。理解两个集合的并集与交集的含义，掌握有关术语和符号，会求两个简单集合的并集与交集。理解全集、补集的含义，会求给定子集的补集。理解使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.,2.发展要求能使用集合的关系和运算及Venn图来求有限集合中元素的个数。,3.说明在训练时，要把握好难度(只将集合作为一种语言来学习)，不要求补充集合运算的性质及证明,如：,（三）教学要求,1.基本要求,1课时分配（5课时）1.1.1集合的含义与表示约1课时1.1.2集合间的基本关系约1课时1.1.3集合的基本运算约2课时小结与复习约1课时传统教材课时分配（7课时）1.1集合约2课时1.2子集、全集、补集约2课时1.3交集、并集约2课时小结与复习约1课时,（四）教学建议,2重点难点重点：使学生了解集合的含义，理解集合间包含与相等的含义，理解两个集合的并集与交集的含义，会用集合语言表达数学对象或数学内容。难点：合理选用列举法或描述法正确表示一些集合，区别元素与集合、集合与集合之间的属于、包含的关系，理解并集与交集的区别与联系，Venn图的意义和应用。,（四）教学建议,1课时分配（5课时）,3.分析说明应通过具体的实例使学生正确理解集合的含义.学习语言最好的方法是使用，学习集合语言也不例外.在集合之间的关系和运算中，使用Venn图是重要和有用的.要注意集合元素的确定性、互异性、无序性。要注意记号的含义,并能正确使用。注意描述法、列举法的适用性。注意并集、交集的区别，注意子集、真子集的区别。体会概括、类比、联想、分类讨论等基本思维方法。在安排训练时，要把握分寸，不要搞偏题、怪题。,（一）标准内容和要求的表述1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。,1.2函数及其表示,（二）大纲内容和要求的表述了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解。了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数.,1.2函数及其表示,（一）标准内容和要求的表述,1.2函数及其表示,比较降低要求：对映射只仅仅要求了解其概念，不要求用它理解函数的概念；提高要求：对函数概念本质的理解；对分段函数要求能简单应用；内容处理:原大纲中先学习映射，再学习函数，而标准中先学习特殊的映射函数，再学习一般的映射.删减:互为反函数的函数图象间的关系及求已知函数的反函数。,函数的概念映射的概念函数的表示定义域对应关系值域解析法图象法列表法,(三)基本要求理解函数的概念，理解构成函数的三要素。掌握区间的表示方法。能根据给定的函数解析式及自变量计算函数值；会求一些简单函数的定义域、值域。理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。了解简单的分段函数，并能简单应用。能用描点法画作一些简单函数的图象。了解映射的概念，并能根据映射概念判别出哪些对应关系是映射。了解简单的分段函数，能用分段函数来解决一些简单的问题。,发展要求会求一些简单复合函数的值域。若有条件，可用计算机画出函数图象，帮助学生更深刻地理解函数的概念。说明函数教学应基于具体的函数，有关抽象函数内容不宜涉及；函数值域的教学应控制难度，可在今后的教学中进一步深入；变量代换不宜太难。,(四)教学建议,2重点难点重点：函数的概念。难点：函数概念的理解，对简单的分段函数认识，求简单函数的值域。,1.课时分配（4课时）1.2.1函数的概念约2课时1.2.2函数的表示法约2课时传统教材课时分配（3课时）,3.分析说明.要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。.要注意构成函数的要素和相同函数的含义。.要注意函数的三种表示法的联系、区别与适用性。.注意分段函数的意义。.注意映射的概念和判断。.在求函数定义域、值域时，要控制难度。.函数的两种定义之比较:宏观与微观。,初中时的函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,高中时的函数定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到B的一个函数记作y=f(x),xA其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域,讨论:今天学习的这个函数的近代定义，与初中学习的函数的传统定义，是否一致？如果是一致的，为什么要换成这样的概念？两者的变化过程如何？,（二）大纲内容和要求的表述了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数单调性的方法.,1.3函数的基本性质,（一）标准内容和要求的表述1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。,两者比较1.对函数的单调性由“了解”提升为“理解”；2.对运用函数的图象理解和研究函数的性质提出了较高的要求；3.增加函数的奇偶性，最值提前有了名份.,(三)基本要求理解函数的单调性及其几何意义，能根据函数图象求出单调区间、判断其单调性。会讨论和证明一些简单函数的单调性。理解函数的最大（小）值及其几何意义，能根据函数图象和单调性求出一些简单函数的最大（小）值。理解函数奇偶性的含义，会判断简单函数的奇偶性。了解奇（偶）函数图象的对称性。,发展要求:能研究某些简单的复合函数及分段函数的奇偶性、单调性、最值和图象。,说明研究函数性质的例题和训练不宜太难，应局限于具体的函数；奇（偶）函数的图象对称性在本节教学时不要求证明。,(四)教学建议1课时分配（4课时）1.3.1单调性与最大（小）值约2课时1.3.2奇偶性约1课时小结与复习约1课时,2重点难点重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。难点:判断和证明单调性、奇偶性，求一些简单函数的最值。,3分析说明.本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入，再归纳几何特征。.在“判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、逻辑性，并要求规范书写。.教学中要重视数形结合思想方法的培养。.要注意函数单调区间与定义域的关系,奇偶函数定义域的特征。.学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简单函数的性质讨论。,如“增函数”的教学，以下几点是必须向学生指出的：1）随着自变量的增大，函数值也增大；2）数学的上升是“天天向上”,“一个都不能少”3）如定义域是有限数集，则把有限多个函数值排起来就行；如果定义域是无限集，情况该怎么办？4）“无限多”天的一个都不能少的“天天向上”，意思就是任意选两天进行比较都得向上；反之亦然。5）最后得到教学符号表示，对任何的,案例,(一)教学目标1知识技能（1）掌握函数的三种表示方法，明确每种方法的特点；（2）通过三种表示方法间的相互转换，提升对函数概念的理解;（3）初步培养学生学会选择适当的表示方法。2过程与方法（1）给学生一些实际问题，让学生在解决实际问题的过程中，切身体会到函数的三种表示方法优缺点以及互补性，使得学生在今后面对实际问题时，会根据不同的函数问题，选择适当的函数表示方法来解决；（2）通过本课学习，让学生体会函数思想和数性结合这两种重要的数学思想方法。,函数的表示法,3、情感态度与价值观：（1）让学生在问题情境中，感受到数学的实用价值，初步培养学生数学应用的意识和能力；（2）让学生在解决问题的过程中，逐步学会与人合作、与人交流(二)教学重点、难点重点：函数三种表示方法各自的特点难点：对于一个实际问题如何选择适当的表示方法。,（三）教学过程,1问题提出初中学过哪些表示函数的方法？（1）解析法是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；（2）列表法是用列出表格来表示两个变量之间的对应关系；（3）图象法是用图象表示两个变量之间的对应关系。,2背景实例某种笔记本每个5元，买x（x1，2，3，4，5）个笔记本的钱数记为y（元），试用三种表示函数y=f（x）。（学生回答）解析法：y=5x，x1，2，3，4，5图象法：（图略）列表法：,3问题讨论（这是本节课的重点，让学生讨论交流）（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？（深化对函数概念的理解）（2）比较函数的三种表示方法，它们各自的优点是什么？解析法的优点是全面、简明地表示了变量间的关系，可以求出任意自变量所对应的函数值；列表法的优点是不必计算就可以看出当自变量取某些值时所对应的函数值；图象法的优点是直观形象。（3）所有的函数都有三种表示方法吗？举例说明。,4实际应用（以学生讨论为主）,例1下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分：,请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.,分析:从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不容易分析每位同学的成绩变化情况。如果把测试成绩看作关于测试序号的函数，利用函数图象就能比较直观地看到成绩的变化情况。从图1-7中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.,例221世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池,计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水龙头,使喷出的水柱在离池中心4m处达到最高，高度为6m,另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物,使各方向喷来的水柱在此处汇合,这个装饰物的高度该如何设计?,分析：由物理学知识可知，喷出的水柱的轨迹是抛物线，因此我们将这个实际问题转换为二次函数的问题，利用二次函数的知识求出函数解析式。,解水柱上任一点距中心的水平距离x（m）与此点的高度y（m）之间的函数关系式是,5小结函数的三种表示方法间具有