初中数学动点专题

精品文档动点问题动点问题：是指图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动所形成的轨迹或变化的图形. 顾名思义，动点问题不同于我们一般的几何题目，它的图形是发生运动变化的。 解决这类问题的关键：动中求静,找出运动的点（线）和不动的点（线）。要求在熟练掌握三角形、长方形（正方形）、梯形、扇形等图形的图形性质的基本上，通过“对称、平移、旋转” 等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。从数学思想的层面上要掌握：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等动点问题解题思路：归纳为12个字“看要素，表线段，列等式，查结果”。分析动点变化的要素，包括：起点，终点，速度，方向，运动范围等观察哪些是运动的点（线），哪些是固定不动的点（线）明白了点的运动，再把图中的线段长度表示出来用距离（S）=速度（V）时间（T），以便于下一步的运算利用一些不动的量，长度不变的线段，列出等式。这里有很多变化，动点问题的核心考查也在这里，查结果。这就涉及到动点问题的又一难点范围。最后一定要将结果返代回题目中进行考查看是否满足题意，不满足的要舍去。例题：梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=16cm，AB=6cm，BC=24cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以4厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：（1）t 为何值时，四边形PQCD是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？（3）t 为何值时，四边形PQCD是直角梯形？（4）在某个时刻，四边形PQCD可能是等腰梯形吗？为什么？ 我们来通过这道例题，严格按照上面所讲的步骤尝试一次看看。1，看要素。其中点P和Q为动点，其余点问固定点。点P运动的起点为点A，终点为点D，方向为AD方向，速度为1厘米/秒。点Q运动的起点为点C，终点为点B，方向为CB方向，速度为4厘米/秒。 我们可以看到两点是相向运动，点Q速度要快。另外大家这里要特别注意点的运动范围：点P从A到点D需16s，点Q从点C到点B只需6s，而题目中说“当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动”，所以这道题整个的运动时间最多是6s，也就是说大家解出的答案不能大于6了，这点往往易被大家忽略，也是经常出错的地方。2，表线段。运动时间为t，则AP=t，CQ=4t，PD=16-t，BQ=24-4t，还可以得到AB=6，CD=103，列等式。这里要借助几何图形本身的性质，找出其中的等量关系来列等式。 平行四边形：对边相等。PD=CQ，16-t=4t，t=3.2 菱形：四边都相等。PD=CD=CQ=PQ，即t=3.2且PD=12.8，但PD=CD=10，矛盾，不可能形成菱形。 直角梯形：借助四边形APQB是矩形，矩形对边也相等。AP=BQ，t=24-4t，t=4.8 等腰梯形：作等腰梯形的两高，底角的两个三角形全等。过点P，D分别向BC作垂线，垂足为E，F，则QE=CF，t-(24-4t)=24-16，t=6.44，查结果。我们发现第四问的结果超过6了，要舍去，所以题目不可能形成等腰梯形。动点问题常见题型： 一、建立函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,1、应用勾股定理建立函数解析式例1：如图1,在半径为6,圆心角为90的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH OA,垂足为H,OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2) 设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写自变量x的取值范围（即自变量x的取值范围). (3)如果PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH= NH= OP=2. 图1 (3)2、应用比例式建立函数解析式例2：如图2,在ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x ,CE= y. (1)如果BAC=30,DAE=105,试确定 y与x 之间的函数解析式； (2)如果BAC的度数为 ,DAE的度数为 ,当, 满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=ABC=75, CAE=ADB, ADBEAC, , , .(2)由于DAB+CAE= ,又DAB+ADB=ABC= ,且函数关系式成立,= =, 整理得 .当 时,函数解析式 成立.PDEACB3(2)OF例3:如图3(1),在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EPED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1)求证: ADEAEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. 图3(1) (3)当BF=1时,求线段AP的长.解:(1)连结OD.根据题意,得ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90, ODBC, , ,OD= ,AD= . AE=.ADEAEP, , . () (3)当BF=1时， 若EP交线段CB的延长线于点F,如图3，则CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5- =4,得 .可求y=2 ,即AP=2.若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.类似,可得CF=CE.5- =2,得 .可求得y=6 ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.3、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4：如图4,在ABC中,BAC=90,AB=AC= ,A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO= x,AOC的面积为 y.(1)求y 关于 x的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当O与A相切时,AOC的面积.解:(1)过点A作AHBC,垂足为H.BAC=90,AB=AC= , BC=4,AH= BC=2. OC=4- x.图4, ().(2)当O与A外切时,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此时,AOC的面积=.当O与A内切时,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此时,AOC的面积=.综上所述,当O与A相切时,AOC的面积为或.二：动态几何题动态几何特点-问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。点动问题如图5，ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作EDF=B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F（1）当AE=6时，求AF的长；（2）当以点C为圆心CF长为半径的C和以点A为圆心AE长为半径的A相切时，求BE的长；（3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，求BE的长题型背景和区分度测量点 图5解：（1） 证明 ，代入数据得，AF=2（2）设BE=,则利用（1）的方法， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，；内切，当和相切时，的长为或（3）当以边为直径的与线段相切时， 习题：1. 如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图像与x轴、y轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5x(0x5)，则结论： AF= 2 BF=4 OA=5 OB=3，正确结论的序号是 A B C D 所用到的相关知识点：勾股定理解题思路：获得该曲线的解析式即可得到所有的答案。所谓的解析式就是曲线上的某一点的y值与x值之间的关系。解析式：1)当P点的x值小于OF时，则P点解析式：y2=d2-(3-x)2y2 =(8-85x)(2-25x) B点坐标是（0，4）， OB=4, BF=5(勾股数3,4,5)因此A、C排除。2)当P点的x值大于OF时，则P点解析式：y2=d2-(x-3)2y2 =(2+25x)(8-85x) A点坐标是（5,0） OA=5，AF=5-3=2因此D排除因此答案是B.2. 一电工沿着如图所示的梯子NL往上爬，当他爬到中点M处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点M的坐标为（x，y）（x0）,则y与x之间的函数关系用图象表示大致是 A B C D所用到的相关知识点：勾股定理、相似三角形。想办法找到y和x之间的关系式解题思路：获得该曲线的解析式，根据解析式判断图形的样子。设：梯子的长度是L.从M点做轴的垂线。因为M点是中点，所以ON=2x;解析式：y2=()2 -x2 从解析式看，只有图形A是正确的。 3如图，矩形中，是的中点，点在矩形的边上沿运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系用图象表示大致是下图中的11233.5xy0A11233.5xy0B11233.5xy011233.5xy0 DC所用到的相关知识点：勾股定理，三角形面积公式。想办法找到和x之间的关系式解题思路：分段获得与x的解析式，根据解析式判断图形的样子。ADM=1/4 矩形ABCD;只要得到APB和PCM的面积，即可求出APM的面积。或者直接求出APM的面积。分段：第一段：P在AB线段上移动，则APM=y= *2*x=x 排除了B、C第二段：P在BC段移动，则 APM=y=2*1 *1*(x-1) *（3-x）= - x 排除了B第三段：P在BC段移动，则APM=y=*（1+2+0.5-x）*2=3.5-x 答案是AABCPDE（8题图）4.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.设AP=x,PBE的面积为y. 则能够正确反映与ABCD之间的函数关系的图象是所用到的相关知识点：勾股定理想办法找到PBE和x之间的关系式解题思路：从P点做AB的垂线，交与O点。则PBE的高=1-x；因为PBE是等腰三角形，所以BE=2*x PBE=*2*x*（1-x） PBE=x-x2这是个抛物线方程，故选A.5.如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A.动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S.（1）求点A的坐标.（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式.（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.所用到的相关知识点：勾股定理、二元一次方程关键要明白正方形PQMN和OAB重叠部分的面积为S.什么时候为正方形，什么时候为长方形。1）A点处，两条直线的x、y值相等； x= - x +6 x=42)线段PQ与直线的交点，y值相等。 PQ= - x +6 x=6-1x PQ相邻边的长度为xS与t的关系，亦即x与t的关系: x2 +x2=(1*t)2 x= t 带入上式： 当PQ长度大于x时，则S=（6-1x）*x ; S=（6-1* t）* t;当PQ长度小于x时，则S=（6-1x）* （6-1x） S= （6-1* t）2 当PQ长度等于x时，则（6-1x）=x x= S=* 3)S有最大值。即当PQ=x时，亦即t= 时，Smax=144/256. 如图，直角梯形中，,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），= 60，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.（1）求的长；（2）若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？ 所用到的相关知识点：勾股定理、等边、等腰三角形的特征、2个动点。关键点：点坐标为（2，2），= 60；S的面积的求法。1）通过B点的坐标知道，ABO=60 OBC=60 三角形OBC为等边三角形； OH=OA=2 2)从P点做x轴的垂线交于N点，则的面积为=SOQPN-SOPN OP=OH-1*t=2-t; 因为POC=30 PN= (2-t) ; ON= (2-t) ; SOQPN= (OQ+PN)*ON= 1*t+ (2-t)* (2-t); SOPN=ON*PN=* (2-t)* (2-t) S= * (2-t)*t = *（2t-t2）= *1-(t-1)2当t=1时，S面积最大。S= * ADCBMN1.如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长从A和D做BC的垂线A和D。则BA=4；DC=3BC=4+3+3=10（2）当时，求的值经过D点做AB的平行线，叫BC于Q点。则CMCQ=CNCD （10-2t)(10-3)=1*t5 t=5017（3）试探究：为何值时，为等腰三角形若三角形MNC为等腰三角形，就有两种情况需要讨论：第一种：当CM=CN时：10-2t=t t=103(秒)第二种：当MN=CN时：RTCNPRTCDFNPDF=CNCD NP=4t5在等腰NMC中：有（MC2)+NP=CN (5-t)+(4t5)=t整理得：16t-250t+525=0解得：t1=258,t2=252(当t=252秒时，CN5，舍去)综上，使得MNC为等腰的运动时间t有两个值：t=103时，CM=CNt=258时，MN=CN 3、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；AQCDBP全等的概念是角度和边长都相同。两个三角形中DBP=PCQ;BD=PC(8-3*1);BP=CQ所以，两个三角形全等。若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？设Q的速度为v,要使两个三角形全等，则需要满足下列条件：BP=CP;BD=QC BD=5=vt; BP=4=3*t t=4/3 v=15/4厘米/秒（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三