初一难题集锦(方程与绝对值)答案-(解题过程)

精品文档答案与评分标准一、解答题（共18小题，满分150分）1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）|a+b|=|a|+|b|；（2）|ab|=|a|b|；（3）|ab|=|ba|；（4）若|a|=b，则a=b；（5）若|a|b|，则ab；（6）若ab，则|a|b|考点：绝对值；不等式的性质。分析：根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析解答：解：（1）错误当a，b同号或其中一个为0时成立（2）正确（3）正确（4）错误当a0时成立（5）错误当b0时成立（6）错误当a+b0时成立点评：本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质2、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|ba|+|a+c|2|cb|考点：整式的加减；数轴；绝对值。分析：解决此题关键要对a，b，c与0进行比较，进而确定ba，a+c，cb与0的关系，从而很好的去掉绝对值符号解答：解：由数轴可知：ab0c，|a|c|，则ba0，a+c0，cb0|ba|+|a+c|2|cb|=（ba）+（a+c）2（cb）=b+a+a+c+2c2b=2a3b+3c点评：在去绝对值符号时要注意：大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数3、已知x3，化简：|3+|2|1+x|考点：绝对值。专题：计算题。分析：这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号解答：解：x3，1+x0，3+x0，原式=|3+|2+（1+x）|，=|3+|3+x|，=|3（3+x）|，=|x|，=x点评：本题考查了绝对值的知识，注意对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号4、若abc0，则+的所有可能值是什么？考点：绝对值。专题：计算题；分类讨论。分析：由已知可得，a，b，c均不为零，因为题中没有指明a，b，c的正负，故应该分四种情况：（1）当a，b，c均大于零时；（2）当a，b，c均小于零时；（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时；（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，从而确定答案解答：解：abc0，a0，b0，c0（1）当a，b，c均大于零时，原式=3；（2）当a，b，c均小于零时，原式=3；（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=1+的所有可能值是：3，1点评：此题主要考查了绝对值的性质，采用分类讨论思想是解答此题的关键5、若|x|=3，|y|=2，且|xy|=yx，求x+y的值考点：非负数的性质：绝对值；绝对值。专题：分类讨论。分析：根据|xy|=yx，即可得到yx，再根据|x|=3，|y|=2即可确定x，y的值，从而求解解答：解：因为|xy|0，所以yx0，yx由|x|=3，|y|=2可知，x0，即x=3（1）当y=2时，x+y=1；（2）当y=2时，x+y=5所以x+y的值为1或5点评：本题主要考查了绝对值的性质，若x0，且|x|=a，则x=a，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定x，y的大小关系，确定x，y的值，是解决本题的关键6、若a，b，c为整数，且|ab|19+|ca|99=1，试计算|ca|+|ab|+|bc|的值考点：绝对值。专题：探究型。分析：根据绝对值的定义和已知条件a，b，c为整数，且|ab|19+|ca|99=1确定出a、b、c的取值及相互关系，进而在分情况讨论的过程中确定|ca|、|ab|、|bc|，从而问题解决解答：解：a，b，c均为整数，则ab，ca也应为整数，且|ab|19，|ca|99为两个非负整数，和为1，所以只能是|ab|19=0且|ca|99=1，或|ab|19=1且|ca|99=0由知ab=0且|ca|=1，所以a=b，于是|bc|=|ac|=|ca|=1；由知|ab|=1且ca=0，所以c=a，于是|bc|=|ba|=|ab|=1无论或都有|bc|=1且|ab|+|ca|=1，所以|ca|+|ab|+|bc|=2点评：根据绝对值的定义和已知条件确定出a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面性7、若|xy+3|与|x+y1999|互为相反数，求的值考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；代数式求值。专题：计算题。分析：先根据相反数的定义得到|xy+3|与|x+y1999|的关系，再根据绝对值的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式进行计算即可解答：解：依相反数的意义有|xy+3|=|x+y1999|因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|xy+3|=0且|x+y1999|=0即，由有xy=3，由有x+y=1999得2y=2002，y=1001，所以=1000点评：本题考查的是相反数的定义、非负数的性质及解二元一次方程组，能根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程组是解答此题的关键8、化简：|3x+1|+|2x1|考点：绝对值。分析：本题是两个绝对值和的问题解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号分x，x，x三种情况讨论解答：解：分三种情况讨论如下：（1）当x时，原式=（3x+1）（2x1）=5x；（2）当x时，原式=（3x+1）（2x1）=x+2；（3）当x时，原式=（3x+1）+（2x1）=5x综合起来有：|3x+1|+|2x1|=点评：本题考查了绝对值的知识，属于基础题，解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”9、已知y=|2x+6|+|x1|4|x+1|，求y的最大值考点：绝对值。专题：分类讨论。分析：首先使用“零点分段法”将y化简，有三个分界点：3，1，1则x的范围即可分为x3，3x1，1x1，x1四部分，即可确定绝对值内式子的符号，从而确定y的值解答：解：分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者有三个分界点：3，1，1（1）当x3时，y=（2x+6）（x1）+4（x+1）=x1，由于x3，所以y=x14，y的最大值是4（2）当3x1时，y=（2x+6）（x1）+4（x+1）=5x+11，由于3x1，所以45x+116，y的最大值是6（3）当1x1时，y=（2x+6）（x1）4（x+1）=3x+3，由于1x1，所以03x+36，y的最大值是6（4）当x1时，y=（2x+6）+（x1）4（x+1）=x+1，由于x1，所以1x0，y的最大值是0综上可知，当x=1时，y取得最大值为6点评：本题主要考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0对x的分为正确进行分类是解决本题的关键10、设abcd，求|xa|+|xb|+|xc|+|xd|的最小值考点：绝对值；数轴。专题：数形结合。分析：分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦若能利用|xa|，|xb|，|xc|，|xd|的几何意义来解题，将显得更加简捷便利解答：解：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则|xa|表示线段AX之长，同理，|xb|，|xc|，|xd|分别表示线段BX，CX，DX之长现要求|xa|，|xb|，|xc|，|xd|之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小因为abcd，所以A，B，C，D的排列应如图所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即（da）+（cb）点评：以上分别用两种不同的方法即几何方法和代数方法进行求解通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势11、若2x+|45x|+|13x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值考点：一元一次不等式组的应用。专题：计算题。分析：要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零故本题只有2x5x+3x=0一种情况因此必须有|45x|=45x且|13x|=3x1让45x0，3x10列式计算即可求得x该满足的条件，进而化简代数式即可解答：解：x应满足的条件是：，解得x，原式=2x+（45x）+（3x1）+4=7点评：考查代数式的化简及一元一次不等式组的应用；判断出绝对值内的代数式的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：一个数的绝对值是非负数12、x是什么实数时，下列等式成立：（1）|（x2）+（x4）|=|x2|+|x4|；（2）|（7x+6）（3x5）|=（7x+6）（3x5）考点：含绝对值符号的一元一次方程。专题：计算题。分析：（1）根据等式的形式可判断出（x2）及（x4）同号，由此可得出答案；（2）等式的形式可判断出（x2）及（x4）同号，由此可得出答案；解答：解：由题意得：（x2）0，（x4）0，解得：x4；（x2）0，（x4）0，解得：x2，故x4或x2时成立；（2）由题意得：（7x+6）（3x5）0，解得：x或x点评：本题考查含绝对值的一元一次方程，难度不大，解决此题的关键是掌握绝对值的性质13、化简下列各式：（1）（2）|x+5|+|x7|+|x+10|考点：绝对值。专题：计算题；分类讨论。分析：此题要分类讨论，在x取不同值的情况下，去掉绝对值后结果不同特别注意（1）中dex不能取0，题（2）要讨论全面解答：解：（1）当x0时，=0；当x0时，=2；（2）当 x7时，|x+5|+|x7|+|x+10|=3x+8；当5x7 时，|x+5|+|x7|+|x+10|=x+5（x7）+x+10=x+22；当10x5时，|x+5|+|x7|+|x+10|=（x+5）（x7）+x+10=12x；当 x10 时，|x+5|+|x7|+|x+10|=3x8点评：本题主要考查了绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；绝对值是非负数0；0的绝对值还是零14、若a+b0，化简|a+b1|3ab|考点：绝对值。专题：计算题。分析：根据a+b0，即可确定a+b1与3ab的符号，根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即可去掉式子中的绝对值符号，即可化简求值解答：解：a+b0a+b10，3ab=3（a+b）3原式=1ab（3ab）=1ab3+a+b=2故答案是2点评：本题主要考查了绝对值的化简，正确确定绝对值里边的式子的符号是解题的关键15、已知y=|x+2|+|x1|3x6|，求y的最大值5考点：一元一次不等式的应用。专题：分类讨论。分析：先分点，然后根据情况分类讨论，从而得出最大值解答：解：分点，2，1，2当x2，y=x2x+1+3x6=x7，y最大时，x=2，y=92x1，y=x+2x+1+3x6=3x3，y最大时，x=1，y=01x2，y=x+2+x1+3x6=5x5，y无最大值x2，y=x+2+x13x+6=x+7，y最大时，x=2，y=5所以，y最大值为5故答案为5点评：本题考查了分点和分类讨论的思想和绝对值符号的除符号找出x的分点，分类讨论x的取值范围是解题的关键16、设T=|xp|+|x15|+|xp15|，其中0p15，试求当px15时，T的最小值是多少？考点：绝对值；数轴。专题：计算题。分析：由题意得：从px15得知，xp0 x150 xp150，然后去绝对值即可得出答案解答：解：由题意得：从px15得知，xp0 x150 xp150，T=|xp|+|x15|+|xp15|=（xp）+（15x）+（15+px）=30x，又x最大是15，则上式最小是3015=15点评：本题考查了绝对值和数轴的知识，属于基础题，根据题给条件去掉式中的绝对值是关键17、已知ab，求|xa|+|xb|的最小值考点：绝对值。分析：根据：|xa|表示数轴上一点到a的距离，|xa|+|xb|即数轴上一点到a与b的两点的距离的和，据此即可求解解答：解：|xa|+|xb|即数轴上一点到a与b的两点的距离的和，当点在a与b之间时，式子的值最小，最小值是ba点评：本题主要考查了绝对值的意义，正确理解：|xa|表示数轴上一点到a的距离是解决本题的关键18、不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|ab|+|bc|=|ac|，那么B点应为（）（1）在A，C点的右边；（2）在A，C点的左边；（3）在A，C点之间；（4）以上三种情况都有可能考点：绝对值。分析：根据|ab|表示数轴上表示a与表示b的两点之间的距离，根据三个点之间距离的关系即可求解解答：解：|ab|+|bc|=|ac|表示：数轴上表示a，b，c三个数的点距离之间的关系，a到b的距离，即b到a的距离与到c的距离的和等于a与c之间的距离，因而点B在A，C之间选（3）点评：本题主要考查了绝对值的意义，|ab|表示数轴上表示a与表示b的两点之间的距离，是解决本题的关键 答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分150分）1、解方程x（x）=x+考点：解一元一次方程。专题：计算题。分析：先去小括号，再去中括号，然后移项合并、化系数为1可得出答案解答：解：去小括号得：xx+=x+，去中括号得：x+x+=x+，移项合并得：，系数化为1得：x=点评：本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1注意移项要变号2、已知下面两个方程3（x+2）=5x，4x3（ax）=6x7（ax） 有相同的解，试求a的值考点：同解方程。分析：本题解题思路是从方程中求出x的值，代入方程，求出a的值解答：解：由方程可求得3x5x=6，所以x=3由已知，x=3也是方程的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程时，应有：433（a3）=637（a3），解得：a=4点评：本题考查同解方程的知识，难度不大，关键是根据求出方程的解3、已知方程2（x+1）=3（x1）的解为a+2，求方程22（x+3）3（xa）=3a的解考点：一元一次方程的解。专题：方程思想。分析：解一元一次方程2（x+1）=3（x1）求得方程的解，即可求得a的值，代入方程22（x+3）3（xa）=3a，然后解方程即可求得方程的解解答：解：由方程2（x+1）=3（x1）解得x=5由题设知a+2=5，所以a=3于是有22（x+3）3（x3）=33，即2x=21，x=10点评：本题主要考查了方程的解的定义，根据方程的解的定义可以把求未知系数的问题转化为解方程的问题4、解关于x的方程（mxn）（m+n）=0考点：解一元一次方程。专题：计算题；分类讨论。分析：先将方程整理为m（m+n）x=n（m+n），然后分情况讨论，m+n=0且m0，m+n=0且m=0，m+n0，然后可分别解得x的值解答：解：分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况把原方程化为：m2x+mnxmnn2=0，整理得：m（m+n）x=n（m+n）m+n0且m0时，方程的唯一解为x=；当m+n0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数点评：本题考查解一元一次方程的知识，有一定难度，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论5、解方程，（a+xb）（abx）=（a2x）（b2+x）a2b2考点：解一元一次方程。分析：本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程解答：解：将原方程整理化简得（ab）2x2=a2b2+a2xb2xx2a2b2，即（a2b2）x=（ab）2（1）当a2b20时，即ab时，方程有唯一解；x=，x=；（2）当a2b2=0时，即a=b或a=b时若ab0，即ab，即a=b时，方程无解；若ab=0，即a=b，方程有无数多个解点评：本题虽表面上有x2项，但实际考查解一元一次方程的解法，有一定的难度，注意分类讨论思想的应用6、已知（m21）x2（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199（m+x）（x2m）+m的值考点：一元一次方程的定义；代数式求值。专题：计算题。分析：根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a0）列出等式，求出m的值，代入即可解答：解：（m21）x2（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，m21=0，即m=1（1）当m=1时，方程变为2x+8=0，因此x=4，原式=199（1+4）（421）+1=1991；（2）当m=1时，原方程无解所以所求代数式的值为1991点评：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件这是这类题目考查的重点7、已知关于x的方程a（2x1）=3x2无解，试求a的值考点：一元一次方程的解。专题：计算题。分析：先将方程变形为ax=b的形式，再根据一元一次方程无解的情况：a=0，b0，求得方程a（2x1）=3x2中a的值解答：解：将原方程变形为2axa=3x2，即（2a3）x=a2由已知该方程无解，所以，解得a=故a的值为点评：本题考查了一元一次方程解的情况一元一次方程的标准形式为ax=b，它的解有三种情况：当a0，b0时，方程有唯一一个解；当a=0，b0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数个解8、k为何正数时，方程k2xk2=2kx5k的解是正数？考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。专题：方程思想。分析：对方程ax=b，当a0时，方程有唯一解x=，此解的正负由a，b的取值范围确定：（1）当ab0时，方程的解是正数，（2）当ab时，方程的解是负数解答：解：按未知数x整理方程得（k22k）x=k25k要使方程的解为正数，需要（k22k）（k25k）0看不等式的左端（k22k）（k25k）=k2（k2）（k5）因为k20，所以只要k5或k2时上式大于零，所以当k2或k5时，原方程的解是正数，所以k5或0k2即为所求点评：本题考查的是方程的解，根据方程的解的概念，运用不等式的性质，确定k的取值范围9、若abc=1，解方程+=1考点：解一元一次方程。分析：将方程中的1用abc代替，然后化简整理可约去abc+bc+b，进而能得出答案解答：解：因为abc=1，所以原方程可变形为：+=1化简整理为：+=1，+=1，化简整理为：=1，=1，x=为原方程的解点评：本题考查解一元一次方程的知识，注意像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化10、若a，b，c是正数，解方程考点：解一元一次方程。专题：计算题。分析：根据题意，首先将方程式进行化简，去分母、移项、合并同类项，再根据题干所给a、b、c的条件进行推理讨论解决解答：解：解法1、原方程两边乘以abc，得到方程：ab（xab）+bc（xbc）+ac（xca）=3abc，移项、合并同类项得：abx（a+b+c）+bcx（a+b+c）+acx（a+b+c）=0，因此有：x（a+b+c）（ab+bc+ac）=0，因为a0，b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x（a+b+c）=0，即x=a+b+c为原方程的解；解法2、将原方程右边的3移到左边变为3，再拆为三个“1”，并注意到：，其余两项做类似处理，设m=a+b+c，则原方程变形为：，所以：（xm）（）=0，a0，b0，c0，0，xm=0，即：x（a+b+c）=0，所以x=a+b+c为原方程的解点评：本题主要考查了解一元一次方程，需要熟悉解一元一次方程的步骤，同时需要注意观察，认真推敲所给条件，巧妙变形，从而产生简单优美解法11、设n为自然数，x表示不超过x的最大整数，解方程：x+2x+3x+4x+x=考点：取整函数。专题：计算题。分析：要解此方程，必须先去掉，根据x是整数，2x，3x，nx都是整数，所以x必是整数，即可求解解答：解：由于n是自然数，所以n与（n+1）中必有一个偶数，因此是整数因为x是整数，2x，3x，nx都是整数，所以x必是整数根据分析，x必为整数，即x=x，所以原方程化为x+2x+3x+4x+nx=合并同类项得（1+2+3+n）x=故有x=所以x=n（n+1）为原方程的解点评：本题主要考查了取整函数的计算，去掉，转化为一般的式子是解决本题的关键12、已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值考点：一元二次方程的整数根与有理根。专题：计算题。分析：用x表示出a，找到x的最小的自然数解，也就求得了a的值，进而求得最小值解答：解：由原方程可解得a=x142，a为自然数，x142，x157，a最小，x应取x=160a=2所以满足题设的自然数a的最小值为2点评：考查二元方程的最小系数的自然数值；用一个字母表示出另一个字母是解决本题的突破点13、解下列方程：（1）（2）（3）=1考点：解一元一次方程。专题：计算题。分析：（1）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项即可；（2）按照去分母、去括号、移项的步骤计算；（3）先去小括号、再去中括号、最后去大括号、移项即可解答：解：（1）分母化为整数得：=，去分母得：6（4x+9）15（x5）=10（2x+3），去括号得：24x+5415x+75=20x+30，移项得：11x=99，同除以11得：x=9（2）去分母得：1=4，再去分母得：31（1x）=12，去括号得：2+x=12，移项得：x=10=，同除以得：x=21（3）去小括号得：6+4=1，再去中括号得：+4=1，再去大括号得：，移项