第11章 环的定义及性质

.,1,第三章环与域,主要内容:环的定义与性质无零因子环的特征数子环、理想子环与商环环的同态基本定理极大理想,.,2,第11节环的定义及性质,主要内容:环的定义与性质零因子特殊的环(整环/除环/域),.,3,环的定义,定义1设(R,+,)是代数系统，+和是二元运算.如果满足以下条件:(1)(R,+)构成交换群;(2)(R,)构成半群;(3)运算关于+运算满足左、右分配律;则称(R,+,)是一个环.通常称+运算为环中的加法，运算为环中的乘法.环中加法单位元记作0，乘法单位元(如果存在)记作1.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.,.,4,定义2称环(R,+,)是有限环，如果R是有限非空集合.,定义3设(R,+,)是环，(1)若环中乘法适合交换律，则称R是交换环或可换环.(2)若环中乘法存在单位元，则称R是含幺环.,环的定义,.,5,环的实例,例1(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn0,1,.,n1，和分别表示模n的加法和乘法，则(Zn,)构成环，称为模n同余类环.,.,6,性质1设(R,+,)是环，则(1)aR，a0=0a=0；(2)a,bR，(a)b=a(b)=ab；(3)a,b,cR，a(bc)=abac，(bc)a=baca；(4)a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR(n,m2).,环的运算性质,.,7,性质1设(R,+,)是环，则(1)aR，a0=0a=0；(2)a,bR，(a)b=a(b)=(ab)=ab；,环的运算性质,证(1)aR有a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得a0=0.同理可证0a=0.(2)a,bR，有(a)b+ab=(a+a)b=0b=0ab+(a)b=(a+(a)b=0b=0(a)b是ab的负元.由负元惟一性(a)b=ab.同理a(b)=ab.,.,8,同理可证,b1,b2,.,bm有,(4)证明思路：用归纳法证明a1,a2,.,an有,于是,证明(4),性质1设(R,+,)是环，则(4)a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR(n,m2).,.,9,实例,例2在环中计算(a+b)3,(ab)2.,解:(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2,.,10,问题,初等代数中：,ab=0a=0或b=0,n0，na=0a=0,环中：,ab=0a=0或b=0?,n0，na=0a=0?,.,11,零因子,定义4设(R,+,)是环，aR，a0。如果存在一个元bR，b0，使得ab=0，则称a是R的一个左零因子.如果存在一个元cR，c0，使得ca=0，则称a是R的一个右零因子.如果a既是R的左零因子，又是R的右零因子，则称a是R的零因子.,显然，若R有左零因子，则R必有右零因子.,.,12,特殊的环,定义5设(R,+,)是环，若a,bR，ab=0a=0或b=0，则称R是无零因子环.或若a,bR，a0，b0ab0，则称R是无零因子环.或没有左零因子，也没有右零因子的环称为无零因子环.,.,13,特殊的环,定义6设(R,+,)是环，(1)若R是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环.(2)如果R满足以下两个条件：1)R中至少含有两个元素(或R中至少含有一个非零元素)；2)非零元素的全体对乘法构成一个群.则称R是除环或体.(3)可换体称为域.,显然，除环和域是无零因子环.,.,14,例3(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环,含幺环,无零因子环和整环.除了整数环以外都是域.(2)令2Z=2z|zZ，则(2Z,+,)构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)(Z6,)构成环，它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环.23=32=0，2和3是零因子.,实例,.,15,定理1环R是无零因子环当且仅当在R中乘法满足消去律，即如果a0，ab=ac，则b=c；如果a0，ba=ca，则b=c.,无零因子环,例4至少有一个非零元的无零因子有限环是体.,提示：注意“有限”两个字.,.,16,实例,例5设p为素数，证明Zp是(有限)域.,证p为素数，所以|Zp|2.易见Zp可交换，单位元是1.对于任意的i,jZp,i0有ij=0p整除ijp|jj=0所以Zp中无零因子.,注意：若p不为素数，则Zp肯定不是域.,.,17,域中除法及其性质,在域F中可以引入除法，如果a,bF，a0，则b被a除记为b/a，且b/a=a-1b.,有以下性质：,.,18,证a,bZ有ab,abZ,两个运算封闭.任取a,b,cZ(ab)c=(a+b1)c=(a+b1)+c1=a+b+c2a(bc)=a(b+c1)=a+(b+c1)1=a+b+c2(ab)c=(a+bab)c=a+b+c(ab+ac+bc)+abca(bc)=a(b+cbc)=a+b+c(ab+ac+bc)+abc与可结合，1为的单位元.2a为a关于的逆元.Z关于构成交换群,关于构成半群.关于满足分配律.a(bc)=a(b+c1)=2a+b+cabac1ab)(ac)=2a+b+cabac1(Z,)构成环,练习1,1.在整数环中定义和两个运算,a,bZ有ab=a+b1,ab=a+bab.证明(Z,)构成环.,.,19,2.判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不构成,说明理由.(1)A=a+bi|a,bQ,其中i2=1,运算为复数加法和乘法.(2)A=2z+1|zZ,运算为实数加法和乘法(3)A=2z|zZ,运算为实数加法和乘法(4)A=x|x0xZ,运算