八年级数学寒假二次根式讲义

第一讲 二次根式的认识模块一二次根式基本概念模块四数学广角模块二二次根式的性质模块三二次根式的基本运算【知识背景】刘徽（约公元225年295年），汉族，山东滨州邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把九章算术及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注九章算术所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系。【知识要点】二次根式：形如的式子二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零（即若有意义，则）二次根式的性质【例题精讲】类型一 二次根式的基本概念二次根式形如的式子二次根式有意义的条件被开方数大于等于零（即若有意义，则）例1 当取何值时，下列式子有意义？ 例2 下列各式中：，其中是二次根式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个例3 下列各式中没有意义的是（ ） A. B. C. D. 例4 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 例5 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 例6 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例7 使代数式有意义的整数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个例8 实数a,b在数轴上对应点的位置如下图所示，化简的结果是（ ） A. -2a+b B. 2a-b C. -b D. b例9 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 例10 下列选项中，是根式有意义的a的取值范围是的是（ ） A. B. C. D. 例11 下列各式不是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 例12 若是二次根式，则a,b应满足的条件是（ ）A. a,b均为非负数 B. a,b同号 C. D. 【思维探索】1. 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7）（8）2. 在实数中，最小的数是_3. 若式子是二次根式，则a=_4. 若有意义，则的取值范围是_5. 下列式子一定是二次根式的是（ ）.A. B. C. D. 6. 下列下列各式中：一定是二次根式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7. 已知是二次根式，则的值可以是（ ） A. -8 B. -7 C. -6 D. -58. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9. 如果代数式有意义，则点A（）的位置可能是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知a,b是等腰三角形的两条边长，且a,b满足，求此三角形的周长.类型二 二次根式的性质（必考）例1 计算： = _ = _ = _= _ = _ = _例2 已知数在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为_ 已知，化简 化简得( ) A. 2 B. C. D.若，则 已知实数x、y满足，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A20或16 B20 C16 D以上答案均不对例3 若a、b为实数，且，类型三 二次根式的基本运算乘法与积的算术平方根可互相转化：除法与商的算术平方根可互相转化： 最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不含能开得尽方的因数或因式同类二次根式被开方数相同的两个最简二次根式加减法先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式混合运算有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用乘法公式的推广 例1 计算： 例2 计算下列各式： （4） （5）（6） （7） 例3 判断下列各式是不是最简二次根式，若是，请打，若不是，请化为最简二次根式判断及化简若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 _若最简二次根式与是同类二次根式，则 【思维探索】1. 把下列各式中根号外的因式移入根号内； ； ； ； ； 把下列各式中根号外的因式移入根号内： 2. 计算下列各式 【数学广角】若满足，那么=_ 已知，求的值【课后作业】A级1.