金融投资中的复利期望模型.doc

论文题目：金融投资中的复利期望模型摘要：数学期望在统计学中运用广泛，但在以复利为特点的金融投资领域，它并不适用。为有效地计算投资收益，评估投资机会的好坏，我们提出了复利期望模型，把“在长期投资的前提下，能够获得的具有可持续性的理论收益率”称为复利期望收益率。复利期望模型能够统一风险与收益两个概念，直接以最终的理论收益率来评价一个投资机会。在定量研究部分，复利期望模型重点研究预期收益率分布符合正态分布时，投资者的最优化的资金配比策略以及最大化的复利收益率。我们还严谨地证明了理论上最优化的资金配比策略是唯一的，其模式也是固定的。在预期收益率符合正态分布的前提下，我们利用复利期望模型推出了“预期投资收益率波动性的增加只会对最终的投资收益率带来负面影响”“复利期望必定小于数学期望”“相对投资收益率会随投资比例的增加而下降”等对实战投资很有帮助的重要结论。这体现了模型较高的应用价值。复利期望模型在本文最后一部分被运用于探究分散化的意义分散化的精髓并非分散风险，而是要提高资金的整体效率。当给定同一时间的若干投资机会时，我们可以使用编程的方法具体求解出最优化策略下对每个投资机会应该分配的资金比例。这样投资人就可以充分利用复利模型在实战投资中获得更高的长期收益了。关键词： 数学期望 复利期望模型 正态分布 资金配比 最优化策略 风险与收益 分散化投资 资金效率Abstract: Its unwise to apply mathematical expectation to the area of financial investment, though it is widely used in statistics research. It is Compound interest that counts mostly in financial investment. In order to work out the investing proceeds and to evaluate the pros and cons of an opportunity, we put forward the model of compound expectation. The yield rate of the compound expectation is defined as “a sustainable and theoretical rate of return on the premise of long-term investment.” With the aid of this model, an investor can judge an investing project more easily, integrating its proceeds with risks, and directly appraise the investment opportunity with its final theoretical rate of return.When it comes to the quantitative study in the model of compound expectation, we put the major part under the assumption that the distribution of expected yield rate corresponds with normal distribution, trying to develop the optimum strategy of capital input and to calculate the maximum rate of return of compound expectation. We have also strictly proved that the theoretically optimization strategy of funds allocation is unique, with its pattern fixed. Further significance and application of the model of compound expectation is shown afterwards. Assumed that the distribution of expected yield rate corresponds with normal distribution, such valuable conclusions as “the increase in fluctuation of the expected proceeds rate will theoretically only exert negative impact on the final income.” “Relative yield rate in the model of compound interest will decline as the investment input increase.” “Mathematical expectation is always bigger than that of compound interest.” are discovered and demonstrated, which may be of great importance as well as potency to solve practical investing problems in the capital market.It has been generally believed that diversification of investment aims at spreading the risks of portfolio. But in the last chapter, when utilizing the model of compound expectation to research in it, we draw a conclusion that the goal of a shrewd diversification is mainly to allocate the capital in a more efficient way, leading the investor to a better management of assets. Given several investing projects at the same time, in each of which an investor allocate a proportion of funds, the optimization strategy can be formulated with the help of our computer programming. In this way can our model facilitates investors in the capital market get a higher long-term return.Key words: mathematical expectation model of compound expectation normal distribution allocation of funds optimization strategy proceeds and risks Diversification capital efficiency全文通用的符号：1、：连续随机变量X的分布函数。2、：连续随机变量X的密度函数。3、C：，其中。全文重要概念：复利期望收益率在长期投资的前提下，理论上能够获得的具有可持续性的复利收益率。复利期望理论上能够的投资本利和比率，等于（复利期望收益率+1）投资本利和比率投资项目中实际获得的投入资本与利润之和除以投入资本，等于（收益率+1）零切正态分布将一个正态分布y轴左端的图像切去所得的曲线恒正正态分布将一个正态分布部分的图像切去所得的曲线均切正态分布将一个正态分布及两部分的图像切去所得的曲线文章重要符号的意义：m复利期望收益率Y投资本利和比率t投入投资项目资金占全部本金的比例某一概率下的投资本利和比率所对应的发生概率X投资项目投资中Y的分布G(X) 全资投入下理论上项目的复利期望G(Y) 按t比例本金投入下理论上项目的复利期望R相对投资收益率一、复利期望之概述1.1问题引入：对金融投资的盈利预期中，数学期望真的时时有效吗？我们在某张高考数学的模拟题中见到过一类题型：一个人长期做一种投资项目，本金一万元。每一次有50%几率使得本金翻番，有50%几率使得本金亏损50%，求每一笔投资的收益率期望m。“标准答案”： 他单单从数学期望的计算与思维角度出发，得出了每笔投资的收益率期望为25%标准答案甚至以此推算出一万元本金理论上经过11年（按复利计算）就可以超过10万元。可事实上，这样的思维十分荒谬。 因为“标准答案”的结果实际上蕴含着这样的要求：在题目的条件下，必须将本金分成无数多份，每一小份都同时投入与上述相同的投资项目中，并且这无数多项投资的结果互相独立。然而这自相矛盾！同一时间内只有一个投资项目，也只会得出一个投资结果（投入资金翻倍或减半），不可能得到独立的不同的投资结果。为什么会有这样的悖论呢？其实，解决金融投资中的收益率问题和解决绝对收益问题有本质的不同，应为每一次的交易结果都可能对之后的绝对收益产生影响。直接以数学期望的思维方式应对这类问题显然是不合适的。让我们看看正确的思路分析：由于收益率m具有复利的滚动性特点，即前一次投资的收益结果会直接影响后一次投资的绝对收益。理论分析而言，假设某人长期多次将那一万元本金投入做上述投资，那么在2n（n足够大）次之后，理论上应该有n次本金翻倍，另n次本金变为上一次的一半。因此，长期来看，这样的投资毫无意义，最终结果是让投资人不亏不赚颗粒无收。此题条件下，正确思维的表达式：从上题解法的正误对比中我们可发现，数学期望无法很好解决的金融投资收益率的预期问题，用复利期望处理起来是合情合理的。因此我们需要系统地构造复利期望模型。1.2 复利期望模型的提出投资界普遍信奉一句话：“复利是世界上的第八大奇迹。”，因为在如“滚雪球”一般的投资进程中，可持续性的复利收益率的高低才使主导最终收益率的唯一指标。我们发现：数学期望在很多时候并不能很科学的解决投资学中的复利问题。基于此，我们提出复利期望收益率的概念，即在长期投资的前提下，能够获得的具有可持续性的理论复利收益率。而复利期望即为（复利期望收益率+1）。复利期望模型的基本假设： （1）投资人从事的是长期多次的交易； （2）投资人预先知道投资收益率的分布情况； （3）投资盈亏全部以收益比率计算，而非绝对的收益金额； （4）税收与交易费用忽略不计。 （5）每一次投资的实际结果相互独立，不会对以后的投资结果或者投资人的心态造成影响。设投资本金为“1”，如果某一投资机会下获得的投资本利和比率X的分布为，其对应的发生概率分别为则复利收益率的期望值m的定义式为 -1 （公式1）需要明确的一点是：由于不引入债务杠杆交易，本金不会亏减变为负数，因此必有。然而，上述情况都只考虑了将全部本金投入项目的情况，事实上，全资投入并非一个好策略。比如说，如果每次都只将一部分本金投入此项操作，有可能在整体上获得更大的投资收益率，以问题引入中题目的条件为例：设每次从本金中固定地抽取比例为t的资金投入项目（），代入公式1得：易化简求得：当t=0.5时，取得最大值6.07%，明显优于全资投入时所获得的零收益。因此，我们发现，在复利期望模型之下，理论上的复利收益率受投入资金比例的影响，并且存在着最优化的投资策略。二、复利期望模型的初步定量研究2.1投资本利和比率的两点随机分布及最优化问题引理 若函数在区间(a,b)内连续且有唯一零点c，则分别在区间(a,c)和(c,b)内恒同号。证明：假设（不妨设），满足、异号。又在上连续，则由零点定理，使。显然，即c不是在区间(a,b)内的唯一零点，矛盾。故在区间(a,c)内恒同号。同理，在区间(c,b)内恒同号。证毕。预期投资本利和比率X的分布列（由于不引入债务杠杆交易，本金不会变为负数，可不妨设其中0）设每次从本金中固定地抽取比例为t的资金投入项目，最终得到的本金收益之和与本金之比为Y，则： 设，Y取得最大值。（1）当时，由于任何的资本投入都必将产生亏损，所以不应投入：（2）当时，由于任何的资本投入都必将产生盈利，所以应当全资投入：（3）当时，设，则。易知，在内连续，其中，。有唯一零点。由得，。又，由引理，在内恒正，在内恒负。故内单调增，在内单调减。 因此，若，则；若，则；若，则。综上，在两点收益率分布中，最优化方案如下：当，或且时，G(Y)=1；当，或且时，；当且时，则最优化结果为G(Y) 2.2收益率的多点随机分布及最优化预期投资本利和比率X的分布列（由于不引入债务杠杆交易，本金不会变为负数，因此，i=1,2n）由复利期望的模型定义得： （每次本金全额投入） （每次抽取t比例的本金投入）当存在使得时，该值就可能在这一投资本利和比率分布下使G(Y)取得最大值。但由于X的分布是随机的，当n大于或等于5时，并没有通解，只能面对具体问题时进行具体分析。因此本文在第四部分做更深入的定量研究时会以预期收益率的正态分布作为模型的研究重点。三、复利期望在金融市场的实际意义（初步）在过往的研究中，风险与收益常被割裂。然而，由于金融投资是长期交易长期来看，每一次的投资结果都会对下一次投资的绝对收益有所影响，最终的“高收益”才是评判投资成败的唯一标准。“风险”（我们定义为每一次投资使本金亏损的潜在可能）只是对远期收益的影响。复利期望的提出与运用直接统一了上述两者，以复利期望值作为对投资项目唯一的评判指标。“高风险、高收益”是市场信奉的基本法则，甚至风险被认为是取得收益的必要前提，如中信证券对投资人风险票号的调查问卷：假设您投入股市10万元购买某证券并持有一年，您选择哪种特征的证券：A、100%赚3200元B、80%可能赚2万9，20%可能亏10万 C、50%可能赚10万6，50%可能亏10万 D、50%可能赚1万6，50%可能亏1万E、20%可能赚10万，80%可能亏2万1表面上看，ABE数学期望一致，与CD间的差距也不大。只是风险取向不同（亏损风险越大似乎盈利也越诱人）。然而，由于投资者在股市里长期都会持续进行不同机会下的各种交易，因此复利期望模型正好适用。假设投资者是全资投入（题意如此），在计算了复利期望的收益率（代入公式1）之后，我们发现，“风险厌恶型”的方案A才是最佳选择。 可见对于同样的数学期望值下的不同项目，高风险并不能带来高收益（比如E选项），低风险才能让投资人成为最终的大赢家。下文在预期投资收益率的正态分布的假设下对复利期望模型更加具体的定量研究也将令读者更深刻地感受到模型的意义所在。四、复利期望模型在预期收益率为正态分布下的定量研究4.1背景概述与基本定理证明目前金融投资的学术界普遍认可：在“资产价格以几何布朗运动”的假设之下，资产的预期投资回报率分布大致符合正态分布（在金融市场计量经济学一书中亦有阐明）。基于股票收益率的实证研究也大都是以收益率服从正态分布为基础的（如CAPM以及Black-Scholes定价公式），1994年J.P.Morgan银行推出的VaR系统RiskMetrics的实质也是假设有价证券的收益率是服从正态分布的。“预期投资本利和比率（或预期收益率）的分布符合正态分布”也是我们本部分的基本前提。由于投资收益率为正态分布是相对合理并且符合市场现实的（详见资产选择与资本市场中的均值方差分析中马克维茨提出资产组合管理的均值方差原理），因此复利期望模型会建立在这个条件下进行重点的定量研究。其中我们将定义为投资项目的预期中值本利和比率，将用于衡量实际投资本利和比率与预期中值可能出现的偏差大小。需要申明的是，我们并不简单以投资收益率正态分布曲线中的数学期望衡量收益，方差衡量风险，而是在此条件之下，计算给定投资收益率正态分布曲线的复利期望收益率，以这一指标来衡量该投资项目的最终收益预期。基本假设： （1）投资模型为复利期望模型；（2）预期投资本利和比率服从正态分布；（3）投资者事先知道投资收益率的概率分布（即已知值与值）；（4）理论上的复利期望值是影响投资者决策的唯一因素；（5）税收与交易费用忽略不计；（6）由于不引入债务杠杆交易，本金不会变为负数，因此X的分布中不存在小于零的情况。定理： 对于恒正随机变量X，若E(lnX)存在，则X的复利期望。证明：（1） 若X为离散随机变量，则根据复利期望之定义式：其中。，故。（2） 若X为连续随机变量，则离散分布下的复利期望之定义式在连续分布下可转化为为，其中，。 （lnx在定义域内连续）（定积分的定义）。（）【1】，故。综上，实际上就为恒正随机变量X的复利期望，定理1证毕。4.2投资本利和比率的分布研究与规范化首先，当某投资机会的预期收益率正态分布中时，不论投资人如何制定投资方案，都无法在复利期望模型中获得正的理论回报率。（这一点将在本文的第七部分处给出证明）因此该类型的投资机会被我们视为无效投资机会，因为投资人在最优化情况下所应该投入的资金比例t=0。那么，下文将在“某投资机会的预期收益率正态分布中”这一附加条件下研究复利期望模型的理论回报率以及最优化问题。基于基本假设的第五条，X的分布中不能存在负值，因此我们需要把投资本利和比率正态分布图象中的部分除去，得到的新曲线称为零切正态分布。（如图1） 图1定义1 记正态分布的分布函数为，则以 作为分布函数的分布称为零切正态分布，记为。但是，由于此函数相对复杂，在后文的计算中我们无法进行有效的化简并得出结论。另一方面，直接把x0的部分全部切去客观上相当于减小了本金亏损的整体效果，容易造成比较大的误差。因此，出于化简并降低难度的需要，我们考虑将原有的正态分布转化为恒正正态分布，即将正态分布曲线部分的函数图像切去得到新的曲线，用以替代零切正态分布。由于X最终落在（，）区间的概率仅为不到0.07%，所以这个图像变换产生的误差是在可接受范围内的。定义2 记正态分布的分布函数为，若，则以 为分布函数的分布称为恒正正态分布，记为 （如图2） 图2恒正正态分布模型研究的重要条件：我们在参照了一些证券市场的收益率实证研究，如（加）约翰赫尔所著的期权、期货及其他衍生产品，以及金融市场计量经济学教材等，并结合长期以来市场的无风险年化收益率（约3%），对实际投资项目的收益结果进行统计之后发现：大多数情况下，投资项目预期投资本利和比率的正态分布中，95%以上符合这一条件。其实，收益分布的投资机会不多见是有其原因的，下图为，即时的收益率正态分布曲线。很显然图形的预期收益率分布较散乱，实际收益率在很大的概率上会与预期的中值收益率产生过大的偏差，这样的投资收益预期可以说是无效的，因为其预期本身就存在较大的不准确性。由于证券市场的实证分析已说明：市场上大多数的投资机会的收益率都符合，并且只有时的收益率正态分布才是相对比较有效的，因为预期收益率的分布相对集中，投资人能够相对准确的知道自己预期的投资收益率。因此，我们把称符合且的收益率正态分布为“有效收益率预期”，并将作为我们本部分复利期望计算的基础条件之一。本部分只在这个范畴下研究。4.3全资投入下的复利期望计算.在预期投资本利和比率服从恒正正态分布，即，并且全额本金投入投资项目时，对复利期望的计算如下：记。 ， （，） =。记，则。由于形式复杂，难以计算，所以我们使用计算机找寻一合适的初等函数近似代替。首先，我们用数值积分的方法计算若干f(k)值。考虑到计算机无法计算上界为无穷大时的积分数值，我们进行如下的近似变换：记。当a较大时，与两个函数误差的绝对值为。设（），则。当时，；当时，。因此，在处取得极大值，也是最大值，即。从而，又，故有（【2】）（当时），即当时，。对于，只要，就能保证，即上述近似变换所产生的误差是可控的。通过合理选取a，用计算机对做数值积分得下表：表1 的近似值K3.544.555.566.57f(k)3.023733.388123.702053.978824.226744.451494.657164.84682K7.588.599.51010.511f(k)5.022845.187085.341045.485965.622845.752565.875815.99323K11.5100100010000f(k)6.1053411.527917.291823.0557然后，我们找一初等函数来拟合f(k)k的图像。于是，估计单调递增，其导数单调递减，故考虑用形如的函数来拟合，并算得，。（拟合效果如图3）。图3 的拟合效果注：红点为上的点，紫色曲线为的图像。因为两函数高度吻合，所以f(k)可用初等函数进行近似替代，替代后：。 但是，考虑到在定义层面而言，零切正态分布更加符合复利期望模型的要求，因此我们在以下通过计算分析两者之间的误差大小。.在预期投资本利和比率服从零切正态分布，即，并且全额本金投入投资项目时，对复利期望的计算如下：记（，）。的密度函数为 =记，则。以下讨论相对于的偏差：（此处应用了绝对值不等式，并注意到）其中，由洛必达法则，。因此得到误差估计式注意到当时，代入，得即 当取值时，可见把原正态分布转化为恒正正态分布时所产生的误差在可以接受的范围之内。综上，在经过对函数的化简、拟合和近似化处理后，我们得到在误差范围之内，全资投入所获得的复利期望值 4.4正态分布下的最优化投资策略探究设投资人每次固定从本金中抽取t部分的资金（）对项目进行投资，探究在此模式下的最优投入策略。设（），则最大值的计算过程如下：（1）.当时，（为X的密度函数） （，） （） 故（）。（2）.当时，显然。由，得，那么 当t取何值时，最大？.当时，。记（注意到且），则。(1)当时，当时，最大。此时，由得，又，即，故。(2)当时，（），（），故当时，最大。特别地，由，一定有，又，若，即，则。.当时，。综上，设时最大，则 当时，。 当时，若 ，则；若，则；若，则。当时，。4.5预期收益率正态分布下最优化问题中G(Y)的单调性特点在上述推导的过程中，我们同时证明了一点：在以预期收益率为正态分布为基础的复利期望模型研究中，若，则当时，函数单调递增，理论投资收益率随t的增大而增大；当时，函数单调递减，理论投资收益率随t的增大而减小。 简要的证明过程如下：已推导得出 当所求出的最优化投入比例 时，上文已推导出因此易得，当时，单调递增； 当时，单调递减。这一结论在投资实战中相当实用。在你仍有无处可投的剩余资金时，若你对一个任何投资机会的投资比例尚未达到其最优化的值，那么只要增加投资比例就一定能获得更高的回报，不要顾虑，请大大胆增仓吧！反之亦然。注明：由于在本部分的开始阶段以为条件，进行了由原有正态分布向恒正正态分布的近似转化，又对定积分函数进行了近似化的拟合，因此计算出来的t和得出的一些其他结论会有一定的偏差，但最终的偏差率不大。五、复利期望模型下方案的绝对最优化在复利期望模型的上述推导中，我们只是以“每次从本金中固定地抽取比例为t的资金投入项目”为前提探求最优化方案，那么是否存在一套另外的方法，（比如每次投入固定绝对数额的本金，或者每次根据上一次的收益率实际落点增加或减少该次的实际投入比例）能理论上获得更高的投资收益率呢？我们必须证明一点：在给定了每次投资机会的投资收益率分布条件下，存在一个固定的最优化方案，即每次都事先确定固定从剩余的资金中取比例的资金进行投资（但根据收益率分布不同，每次的可以不相同），其他方案都无法获得更高的回报率。证明如下：设（i = 1, 2, ）为离散或连续的随机变量，其中第i次投资的预期收益率分布，为为第i次投资时投资金额占当期总资金的比例，为第i次投资前的本金总额，（i = 1, 2, ），则的计算过程如下：，。两边取对数得，从而，由上证明可知，尽管每次投资收益率的结果对下一次交易的绝对收益值会有影响，但是每一次投资理论上获得的收益率是相互独立的。也就是说，每次所应取的最优化投资比例只与投资项目的预期收益率分布有关，而与前后几次的投资项目及损益结果无关。因此，我们可以得出结论：面对长期多次的投资机会，最优化的投资方案是以长期的眼光，根据投资收益率的分布预设一个投资比例进行投入，而其它的方法均不能获得比上述方法更高的理论收益率。换句话说，如果投资人长期面对着一个收益率分布相同的有效的投资机会，那么他的最佳投资策略一定是每次都从本金中抽取比例的金额参与投资这是绝对的最优化方法！ 六、复利期望模型的深入意义6.1马克维茨投资理论中值对最优化收益率的影响我们提出的复利期望模型虽然独树一帜，但是在与其他投资理论模型比较之下，他们所得出的一些重要结论是否能在复利期望模型中得到更充分的证明呢？马克维茨在其著名的资产理论组合中有两条经典的论断：（1）当相同时，投资人会选择数学期望更大的投资机会进行投资。（2）当相同时，投资人会选择更小的投资机会进行投资。（请参见马克维茨的资产选择与资本市场中的均值方差分析）第一点毫无疑问是正确的，在收益率分布离散程度相同的前提下，数学期望高的投资机会会给投资人带来更高的理论回报率。但是对于第二点，由于我们的复利期望模型并不以的大小直接评判风险，那么是否如马克维茨所言，越大，投资机会的吸引力就相对较低，理论上投资人的最优化收益率就会越小呢？答案是肯定的！证明如下：首先我们将原有的投资本利和比率正态分布变换为“均切”正态分布，即在保证新的收益率正态分布的数学期望不变的前提下，将正态分布左侧的图形部分以及右侧的图形同时切去所得到的新的投资本利和比率分布曲线。定义3 记正态分布的分布函数为，以为分布函数的分布称为“均切”正态分布，记为。 （如图4）图4由于保持了函数的值不变（等于说是收益风险同步降低），且切去部分图像的比例较小（仅为0.26%），所以上述转化不会较原有正态分布产生大的误差。 设，记常数，取（i = 1, 2, , ），（i = 1, 2, , ），（i = 1, 2, , ），与无关。（）。越大，越小，越小，越小。且有。因此我们得出一结论：预期收益率正态分布的方差越大，全资投入后所得的理论收益率就越低。在复利期望模型之下，对于任何预期收益率正态分布的机会，最终投资人全资投入取得的理论投资回报率必小于。而对于一个的收益率正态分布机会，投资人理论上不应该对此机会做全资投入。那么，考虑上最优化的投资方案后，是否仍能够得到类似的结论呢？6.2最优化复利期望的特点与意义分析 为了证明做了最优化的策略之后，上述结论仍成立。我们首先证明一点：若预期投资收益率符合均切正态分布，部分本金投入之后，理论上得到的投资本利和比率分布仍然服从均切正态分布（定理）。 定理 若，则。证明：设X、Y的分布函数分别为、，正态分布的分布函数为。记常数。由定义，由，得 设正态分布的分布函数为，则，即，故由定义Y服从均切正态分布。 定理证毕。 以下是对本部分正题的证明：对于两个预期收益率正态分布投资项目，其对应的分布方差分别为，要在这两个投资项目获取最大理论回报率，最优化的投入资金比例分别为。若，对上述两个机会同样投入比例为的资金，理论上得到的本利和与本金之比率分别为G()，G()。由定理与6.1中所得结论可知：因为，所以必有G() G() G()。综上我们证明了：两个投资机会的时，在最优化策略之下，G() 0。其余所有均服从正态分布， ，其中i=1，2，n）投资人向每个机会投入的资金占本金比例分别为，（其中，i=0，1，2，n），在相应的投入比例之下投资人在对应的投资机会中所获得的理论投资本利和与总本金之比分别为，。上述投资机会都具有相同的投资周期，并且每个投资机会最终的投资收益结果相互独立。我们就是要求解一组，使得理论上原本金取得最大化的收益率。（由于存在无风险收益率，易得）根据定义，直接列式求解最优化策略下的，的具体方法如下：由第四部分的最优化投资收益率的分析计算可得，复利期望值 其中，i=0时，i=1，2，n时，其中 。且