2015高二下学期期中湖北四校联考数学（理）试题

湖北省四校襄阳四中 荆州中学宜昌一中 龙泉中学 20142015学年度下学期期中联考高 二 数 学（理）命题人：荆州中学 陈静 王俊 审题人：龙泉中学 陈信金本试题卷共4页，三大题22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 祝考试顺利 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。3非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1命题“”的否定为ABCD2已知随机变量服从正态分布，若，则A BCD3已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为AB C与相交不垂直D4为防止某种疾病，今研制一种新的预防药任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：经计算得,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。 A0.025B0.10C 0.01D 0.05参考数据：气温（）1813101销售量个）243438645某咖啡厂为了了解热饮的销售量（个）与气温（）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程为x，当气温为4时，预测销售量约为A68B66C72D706抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是ABC10D207下列选项中，说法正确的是A若命题“”为真命题，则命题和命题均为真命题B是的必要不充分条件C是的充要条件D命题“若构成空间的一个基底，则构成空间的一个基底”的否命题为真命题8已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆有公共点，且圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为A BC或D以上都不对9某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有A72种B54种C36种D18种10已知函数有平行于轴的切线且切点在轴右侧，则的范围为ABCD11抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，则的最大值是A B C D12在棱长为的正方体中，是的中点，点在侧面 上运动现有下列命题：若点总保持，则动点的轨迹所在的曲线是直线；若点到点的距离为，则动点的轨迹所在的曲线是圆；若满足，则动点的轨迹所在的曲线是椭圆；若到直线与直线的距离比为，则动点的轨迹所在的曲线是双曲线；若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是抛物线其中真命题的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13假定一个家庭有两个小孩，生男、生女是等可能的，在已知有一个是女孩的前提下，则另一个小孩是男孩的概率是 14已知空间四点共面，则= 15已知是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交直线于，则动点的轨迹方程为 16把长度和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角，则等于 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分） 已知恒成立，方程表示焦点在轴上的椭圆，若命题“且”为假，求实数的取值范围18（本小题满分12分）已知展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大256；（）求展开式中的所有无理项的系数和；（）求展开式中系数最大的项19（本小题满分12分）已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；（）求点M的轨迹的方程；（）若曲线C上存在两点A，B关于直线l:对称，求直线AB的方程20（本小题满分12分）医生的专业能力参数可有效衡量医生的综合能力，越大，综合能力越强，并规定: 能力参数不少于30称为合格，不少于50称为优秀某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力的频率分布直方图:（）求出这个样本的合格率、优秀率；（）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名 求这2名医生的能力参数为同一组的概率； 设这2名医生中能力参数为优秀的人数为,求随机变量的分布列和期望21（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点， PAPD4，BCAD2，CD()求证：PACD；() 若M是棱PC的中点，求直线PB与平面BEM所成角的正弦值；()在棱PC上是否存在点N，使二面角NEBC的余弦值为，若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由22（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为；（）求椭圆的方程；（）若P为椭圆C在第一象限内的任意一点，过点P且斜率为的直线与椭圆相切，设 的斜率分别为，试证明为定值，并求出此定值；（）若直线与椭圆交于不同的两点，且原点O到直线l的距离为1，设，当时，求的面积的取值范围20142015学年度下学期期中联考高二数学(理科)参考答案一、选择题：题号123456789101112答案CCDBABDBBACC二、填空题：13. 14. 15. 16. 三、解答题：17. 解：由题意：若为真，则有对恒成立取“” 4分若为真，则有，即或 8分由且为假，则、中至少一个为假若、均为真，则且为假，实数的取值范围是 10分18.解：由条件得，则 ，则的第项为 4分（1）由通项公式易知当时，为无理项故无理项的系数和为 8分（2）当时，系数为；当时，系数为当时，系数最大，故系数最大的项为 12分19.解：（1）结合图形知，点M不可能在轴的左侧，即M到点的距离等于M到直线的距离M的轨迹是抛物线，为焦点，为准线M的轨迹方程是：（或由化简得）6分 （2）设则 相减得 又的斜率为4则 中点的坐标为， 即经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意. 12分20. 解：（1）合格率是：优秀率是： 3分（2）由题意知，这20名医生中，20，30有4人，30，40有6人，40，50有4人，50，60有3人，60，70有2人，70，80有1人 7分优秀的人数为：3+2+16人，的分布列是：012 故的期望是 12分21.解：（1）面面等腰中，为的中点，面又在面内的射影是，由三垂线定理知： 4分（2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，由 得又 则，又设平面的一个法向量为则令则 又设直线与平面所成角为则 8分（3）假设在棱上存在点，使二面角的余弦值为设，则又，设平面的一个法向量为则令 又为平