第八章--位移分析与刚度设计--1.ppt

当杆件承受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化。杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形；与之垂直方向的变形称为横向变形。,8.1.1杆件的拉压变形,8-1杆件微段的位移微分方程及其积分,EA:称为杆件的拉压刚度,对于承受轴向分布力的杆件：,杆件的伸长量,微段的伸长量：,杆件总的伸长量：,等截面直杆，轴力为常量：,C为积分常数，由杆件的约束条件确定。,杆件横截面的位移,积分得到：,2)求各段应力：AB=FNAB/A1=40103N/(32010-6)m2=125106Pa=125MPaBC=FNBC/A2=40103/(80010-6)=50MPa；CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)=60MPa,解：1)求内力(轴力)，,例杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2，BD段为铜，A2=800mm2，E钢=210GPa；E铜=100GPa；l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量AD。,画轴力图。,4)杆的总伸长为：lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm,2)求各段应变：eAB=sAB/E钢=125/(210103)0.610-3,3)求各段伸长：注意:l=el=sl/E=FNl/AElAB=eABlAB=0.610-3400mm=0.24mm,lBC=eBClBC=0.2mm；lCD=eCDlCD=0.24mm,eBC=sBC/E铜=50/(100103)=0.510-3eCD=sCD/E铜=0.610-3,例：一线弹性等直杆受自重和集中力作用，杆的长度为l；抗拉刚度为EA，材料的体积质量为。试求（1）杆中间截面C以及自由端截面B的位移（2）杆CB段的伸长量,解：(1)求任一横截面的轴力。,（2）求杆沿轴线方向的位移,边界条件:固定端处的位移=0,X=0,C=0,（X=l/2）（X=l）,（3）CB段的伸长量：,则：C截面位移：B截面位移：,表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角，因此沿x积分即可得到相距为l的两个横截面的相对扭转角为,圆轴扭转变形的特征是两个横截面绕轴线发生相对转动，设等截面圆杆受一对扭转力偶矩作用，在讨论圆轴的应力计算时，曾得到,或写作,8.1.2圆杆的扭转变形,对于扭矩T、切变模量G及极惯性矩Ip都不随轴线变化的情况，两截面的相对扭转角为,若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切模量在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数为常值，也可利用上式分段求解，然后进行叠加，即,例：图示为一圆截面轴，受扭转力偶矩，与作试计算该轴的总扭转角（即截面C对截面A的相对转角）。,解：扭转变形分析：利用截面法，得两段的扭矩分别为,设上述二段轴的扭转角分别为和，,由叠加原理可知杆的总转角为,例：钻杆横截面直径为20mm，在旋转时BC段受均匀分布的扭矩me的作用。已知使其转动的外力偶矩Me=120N.m,材料的切变模量G=80GPa,试求钻杆两端的相对扭转角。,解:1)地层对钻杆的阻力沿杆长方向均匀分布，列平衡方程，求me,2)求相对扭转角AB段任一截面上的扭矩T=-MeBC段任一截面的扭矩则得,一、挠度与转角由于外力的作用，梁的轴线将由直线变为曲线。变形后梁的轴线称为挠曲线，它是一条连续光滑的曲线。对于平面弯曲问题，挠曲线为一平面曲线，且与外力在同一平面内。,8.1.3梁的弯曲变形,梁的变形可用横截面形心的线位移与截面角位移表示。横截面的形心（即轴线上的点）在垂直于梁轴线方向的位移称为挠度。不同截面的挠度一般不同，如果沿变形前的梁轴线建立坐标轴，则挠曲线方程为,在实际工程中，转角一般都很小，基本不超过1(或0.0175rad)。由挠曲线方程得,横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。挠度以向上为正，转角以截面逆时针转动为正。,二、挠曲线的近似微分方程纯弯曲，用中性层曲率表示的弯曲变形公式为,由梁微段的弯曲变形关系，可以得到：,对挠曲线近似微分方程求解，即可求得梁的转角方程和挠曲线方程。,式中C和D为积分常数，可通过梁的边界条件来确定。,对挠曲线近似微分方程进行两次积分可得：,例如，固定端的挠度和转角均为零，铰支座处的挠度为零。,边界条件,分段连续条件,M(x)不同时，需分段积分。分段处必须保证左右挠度、转角连续，可确定增加的常数。,例：悬臂梁受均布载荷，E、为常数，求自由端的挠度和转角。,解：梁的弯矩方程,则梁的挠曲线微分方程为,考虑边界条件：,将上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式，可得出积分常数为,再进行第二次积分得,对上式进行一次积分得,将积分常数代入挠度和转角的表达式可得转角方程,挠曲线方程为,根据挠度和转角的符号规定，上述结果表明转角为顺时针，挠度方向为向下。,最后，把x=l分别代入转角和挠曲线方程，就可得到梁自由端的转角和挠度：,例：如图所示一简支梁，受一集中载荷F作用，、为常数。试求此梁的最大挠度以及最大转角。,解：考察距离端处的弯矩，因集中载荷把梁分为两段，各段弯矩方程不同，故需分别写出它们的弯矩方程，即,可得挠曲线的近似微分方程,分别积分两次可得,简支梁的边界条件,因有四个积分常数，只有两个边界条件是不可能解决的，要加上两个连续性条件,由此可确定积分常数,将积分常数代入转角和挠度的表达式，可得转角和挠度的方程,将和分别代入对应的转角方程，即可得左右支座处最大转角,（顺时针