第五章：测量误差的基本知识

第五章测量误差的基本知识,重点：测量误差的来源、分类及处理方法学习误差的目的和意义掌握偶然误差的特性掌握评定测量精度的方法掌握观测值得中误差和误差传播定律的计算方法和应用等精度观测和非等精度观测的精度评定方法,第一节测量误差概述,2、误差的表达式：lX,1、误差的概念：观测量之间的差值或观测值与真值之间的差值，称为测量误差,3、测量误差的基本特性：测量误差不可避免,一、测量误差的来源,1测量仪器和工具,2观测者,3外界条件的影响,由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差存在所引起的误差。,由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。,外界条件的变化所引起的误差（温度、风力、日光、大气折光）。,几个概念：,1、观测条件：,人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。,2、等精度观测：,观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；,3、非等精度观测：,观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。,研究测量误差的目的和意义,确定未知量的最可靠值及其精度制定观测方案、采取措施尽力减少测量误差对测量结果的影响,二、测量误差的分类,粗差,偶然误差,系统误差,1、粗差,粗差是测量中的错误。粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。,几个概念：,测定未知量的最少观测次数；如测量三角形内角必要观测为2,必要观测,多余观测,多余必要挂侧的观测；如测量三角形内角观测3个角度，多余观测为1,多余观测的作用,1）、构成检核条件，发现粗差2）、评定测量精度（用多余观测差值的大小）3）发笑超限误差,2系统误差,1）概念：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。,2）性质：系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。,3）系统误差的处理办法进行计算改正选择适当的观测方法,案例：钢尺量距，用没有鉴定、名义长为30m、实际长为30.005m的钢尺量距，每丈量一整尺段距离就量短了0.005m，产生-0.005m的量距误差。各整尺段的量距误差大小都是0.005m，符号都是负，不能抵消，具有累积性。系统误差对观测值的影响具有一定的规律性，找到规律就可对观测值施加改正以消除或削弱系统误差的影响。,3偶然误差,在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。具有统计规律,三、偶然误差的特性,偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。,例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值180。用X表示真值，则l与X的差值称为真误差（即偶然误差），即,现在相同的观测条件下观测了217个三角形，计算出217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表中。,偶然误差的统计,*,*,偶然误差的误差分布图,当误差数n，误差区间d0，,（1）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多；,（2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等；,（3）最大误差不超过27。,*,*,偶然误差的四个特性：,（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；,（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；,（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；,（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，即,式中偶然误差的代数和，,*,*,*,第二节衡量精度的标准,在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。,中误差,相对中误差,极限误差,*,偶然误差分布的数学基础,一：标准差与中误差对真值X进行了n次等精度独立观测，观测值l1，l2，ln真误差1，2，n(=L-X),观测值的标准差,n有限时的标准差,m中误差(meansquareerror)，用m表示。,式中真误差的平方和，,例5-1设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：,甲组：,乙组：,试计算甲、乙两组各自的观测精度。,解:,比较m甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组高。,中误差所代表的是某一组观测值的精度。,不同中误差的正态分布曲线,二、相对中误差,相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化为分子为1的分数，即,例丈量两段距离，D1=100m，m1=1cm和D2=30m，m2=1cm，试计算两段距离的相对中误差。,解,三、极限误差,1、极限误差的数学基础：用某一事件发生的概率定义,为任一正实数，事件,发生的概念为,真误差绝对值大于1倍m的占1-0.683=31.7%真误差绝对值大于1倍m的占1-0.954=4.6%真误差绝对值大于1倍m的占1-0.997=0.3%小概率事件不会发生,结论,在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。,或,如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。,2、极限误差的概及表达方式,3、超过极限误差的处理方式,第三节观测值的算术平均值,一、算术平均值,1、定义：在相同的观测条件下，对某量进行多次重复观测，根据偶然误差特性，可取其算术平均值作为最终观测结果。,2、表达形式：设对某量进行了n次等精度观测，观测值分别为，l1,l2,ln，其算术平均值为：,3、数学基础：设观测量的真值为X，观测值为li，则观测值的真误差为：,将上式内各式两边相加，并除以n，得,根据偶然误差的特性，当观测次数n无限增大时，则有,结论：算术平均值较观测值更接近于真值。将最接近于真值的算术平均值称为最或然值或最可靠值。,二、观测值改正数,1、定义：观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，用v表示。,2、观测知该正式的表达：当观测次数为n时，有,将上式内各式两边相加，得,将,代入上式，得,3、结论：对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。,三、由观测值改正数计算观测值中误差,1、计算公式,2、数学基础,-,=,将下式两边平方后取和,四、算术平均值的中误差,例5-2某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。,148.643,148.590,148.610,148.624,148.654,148.647,148.628,-15,+38,+18,+4,-26,-19,225,1444,324,16,676,361,3046,5.2误差传播定律,重点：误差传播的概念与误差传播定律一般函数的中误差的计算方法线性函数的中误差的计算方法误差传播定律的应用,1、定义：由独立观测值得中误差求确定其函数得中误差的过程,、数学描述,一：一般函数误差传播定律,、数学推导,对函数进行全微分,对未知量进行次观测，将会产生个函数误差,将等号两边取平方，再相加,两端除以,根据偶然误差的特性,则,根据中误差的定义,为有限次观测，则伤式，可以写为,二：线性函数的中误差,一般线性函数k11k22knn误差公式,解A、B、C满足如下关系C=180AB上式dCdAdB由式（5-9）可知，f11，f21，代入式（5-11）得：即=25c5本例题由于是线性函数，也可直接套用（5-14）式求得结果。注意，线性函数中不管是“和”函数还是“差”函数，函数中误差都是求平方和之后再开方。在某三角形ABC中，直接观测A和B角，其中误差分别是3，和4，试求中误差。,三：误差传播定律的应用,为了求某圆柱体体积，今测得圆周长、高及其中误差分别为：周长C2.1050.002米，高H1.8230.003米，试求圆柱体体积V及其中误差。解圆柱体体积公式：,将观测数据代入上式得V=0.643m3=0.0016m3即V=0.6430.0016m3,为了求某圆柱体体积，今测得圆周长、高及其中误差分别为：周长C2.1050.002米，高H1.8230.003米，试求圆柱体体积V及其中误差。解圆柱体体积公式：将上式取对数微分得则将观测数据代入上式得V=0.643m3=0.0016m3即V=0.6430.0016m3,5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中误差,权的概念权与中误差的关系定权的方法加权平均值及其中误差,权的概念,未知量非等精度观测较可靠的观测值，对最后测量结果产生较大的影响较可靠的观测值、或精度高的观测值，应对结果产生较大的影响，它所占的“权重”应大一些权与中误差具有密切关系,权与中误差的关系,权p与中误差m关系权为单位权中误差称为单位权中误差,定权的方法,未知量进行了两组非等精度观测，但每组内各观测值精度相等最后结果实际值,则观测值L1，L2的中误差分别为M1，M2，权为：,例：按等精度丈量了三条边，得试求这三条边的权。解因为等精度观测，即每公里的丈量精度相同，按式（5-16），三条边的中误差分别为：则它们的权为：式中为任意常数。由上式可知，在等精度丈量时，边长的权与边长成反若C=1则若C=4则,加权平均值及其中误差,观