重庆大学-数学实验-微分方程

重 庆 大 学学 生 实 验 报 告实验课程名称 数学实验 开课实验室 DS1402 学 院 年级 专业班 学 生 姓 名 学 号 开 课 时 间 2014 至 2015 学年第 二 学期总 成 绩教师签名数 学 与 统 计 学 院 制开课学院、实验室： 实验时间 ： 年 月 日课程名称数学实验实验项目名 称微分方程求解实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师龚劬成 绩实验目的1 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；2 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；3 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。基础实验1 微分方程及方程组的解析求解法；2 微分方程及方程组的数值求解法欧拉、欧拉改进算法；3 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；4 利用图形对解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。实验过程1求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， （1） y= y + 2x, y(0) = 1, 0x1; （2） y+ycos(x) = 0, y(0)=1, y(0)=0;解:(1) M文件： k=dsolve(Dy=y+2*x,y(0)=1,x)ezplot(k,0,1)运行结果： k = -2*x-2+3*exp(x) （2）M文件： x=dsolve(D2y+y*cos(x)=0,y(0)=1,Dy(0)=0) ezplot(x)运行结果： x = cos(cos(x)(1/2)*t)2用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0x1,h = 0.1) 的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？解：向前欧拉公式的M文件：x(1)=0;y(1)=1;h=0.1;for i=1:10 x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-2*x(i)/y(i); double(y(i+1);disp(y(i+1)end运行结果： 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7848改进欧拉公式的M文件：x(1)=0;y(1)=1;h=0.1;for i=1:10 x(i+1)=x(i)+h; k1=y(i)-2*x(i)/y(i); k2=y(i)+h*k1-2*x(i+1)/(y(i)+h*k1); y(i+1)=y(i)+0.5*h*(k1+k2); double(y(i+1); disp(y(i+1)end运行结果： 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.78481.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.6165 1.6782 1.7379解析求解： k= dsolve(Dy=y-2*x/y,y(0)=1,x)ezplot(k,0,1)运行结果： k = (2*x+1)(1/2) 当x=1时，y=1.7320; 通过比较结果，说明改进型的欧拉方法比向前欧拉方法的结果精确。3Rossler微分方程组： 当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a(0,0.65)而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？首先建立如下M文件: function xdot=fish(t,x)b=2; c=4; global a; xdot=-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c);end再建立M文件:x0=0,0,0;global a;for a=0:0.65/3:0.65t,x=ode45(fish,0,200,x0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);x3=x(:,3);subplot(1,2,1),plot(t,x1,r-,t,x2,b:,t,x3,m-)title(x(红色),y(蓝色),z(紫色)随t的变化情况);xlabel(t);pause(1)subplot(1,2,2),plot3(x1,x2,x3);grid;title(相图);xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);pause(20)end运行结果(下面4图分别为a=0,0.13,0.26,0.39,0.52的图形) 图4-图84.Apollo卫星的运动轨迹的绘制解： M文件：首先建立r1 函数:function y=r1(x)u=1/82.45;a=x(1);b=x(2);y=(a+u)2+b2)(1/2);再建立r2函数:function y=r2(x)u=1/82.45;u1=1-u;a=x(1);b=x(2);y=(a-u1)2+b2)(1/2);接着建立如下M文件:function xdot=star(t,x)u=1/82.45;u1=1-u;k=x(1);l=x(2);m=x(3);n=x(4);xx=k,m;xdot=l;2*n+k-u1*(k+u)/r1(xx)3-u*(k-u1)/r2(xx)3;n;-2*l+m-u1*m/r1(xx)3-u*m/r2(xx)3;最后调用如下M文件:ts=0,20;x0=1.2,0,0,-1.;t,x=ode45(star,ts,x0);y1=x(:,1);y2=x(:,3);plot(y1,y2)运行结果：应用实验5盐水的混合问题一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千克。求经过时间t后容器内盐的含量。做出如下假设：1.假设在不同浓度的水中的盐扩散速度都相同。2.假设任何时刻容器内的盐水都是均匀的。3.用y（t）表示容器内t时刻的盐的含量，用W（t）表示容器内t时刻的水的总量，用O表示盐水流出的速度，用I代表纯水流入的速度，时间变化后容器内盐的含量为y（t+）。考虑在内流出的盐水的为O则其流出的盐为.通过以上假设可以得如下模型： 化简可得M文件： k= dsolve(Dy=-(y*Y)/(T(t0)+(C-Y)*t),y(0)=7,t)运行结果： k = 7/(-T(t0)(Y/(-C+Y)*(-C+Y)*t-T(t0)(Y/(-C+Y)由题目可知W（t0）=350，O=10.5，I=14，从而y(t)=/(t + 100)3总结与体会 通过该实验的学习，我掌握了微分方程(组)的求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有了一个初步的了解，同时学会了使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会了建立微分方程方面的数学模型。加深了我对微分、积分等数学概念的理解，同时使我掌握了数学的分析思维方法，熟悉了处理大量的工程计算问题的方法。设计记录表格，包括碰到的问题汇总及解决情况题号问题解决情况1解微分方程并作图2欧拉公式相关3微分方程组4卫星轨迹绘制盐水的混合问题模型建立，数据处理教师签名年 月 日备注：1、