高中数学秘籍高中数学知识点总结

高中数学秘籍高中数学知识点总结高中数学秘籍高中数学知识点总结高中数学秘籍高中数学知识点总结 本文简介：高中数学知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的。高中数学秘籍高中数学知识点总结高中数学知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。显然，这里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。3.注意下列性质：要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2,a3,an,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为（3）德摩根定律：有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f(x)=ax2bxc(a0)在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根5、熟悉命题的几种形式、命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；若；则是的充要条件；若；则是的既非充分又非必要条件；7.对映射的概念了解吗？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)9.求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法：l分式中的分母不为零；l偶次方根下的数（或式）大于或等于零；l指数式的底数大于零且不等于一；l对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。l正切函数l余切函数l反三角函数的定义域函数yarcsinx的定义域是，值域是，函数yarccosx的定义域是，值域是，函数yarctgx的定义域是R，值域是.，函数yarcctgx的定义域是R，值域是(0,).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10.如何求复合函数的定义域？义域是_。复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。例若函数的定义域为，则的定义域为。分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。解：依题意知：解之，得的定义域为11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x5，x的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=，的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P（）在圆x2y2=1上，例求函数y=的值域。解：原函数可化简得：y=x-2x8上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=x-2x8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2x8AB=10故所求函数的值域为：与函数yF(u)，u或u同向变化，则在上复合函数yF是递增的；若函数u(x),x与函数yF(u)，u或u反向变化，则在上复合函数yF是递减的。（同增异减）若函数yf(x)是严格单调的，则其反函数xf1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(g)g(x)ff(x)g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减）16.如何利用导数判断函数的单调性？值是（）A.0B.1C.2D.3a的最大值为3）17.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.三、复合函数奇偶性f(g)g(x)ff(x)g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.你熟悉周期函数的定义吗？函数，T是一个周期。）我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)f(xt)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(ax).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(ax)就都表示函数关于直线x=a对称。如：19.你掌握常用的图象变换了吗？联想点（x,y）,(-x,y)联想点（x,y）,(x,-y)联想点（x,y）,(-x,-y)联想点（x,y）,(y,x)联想点（x,y）,(2a-x,y)联想点（x,y）,(2a-x,0)（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(xa)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,xa=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k为斜率，b为直线与y轴的交点)的双曲线。应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程求闭区间m，n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。由图象记性质！（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）20.你在基本运算上常出现错误吗？21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代y=x，2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y=x；求单调性：令xy=x1几类常见的抽象函数1.正比例函数型的抽象函数f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）2.幂函数型的抽象函数f（x）xa-f（xy）f（x）f（y）；f（）3.指数函数型的抽象函数f（x）ax-f（xy）f（x）f（y）；f（xy）4.对数函数型的抽象函数f（x）logax（a0且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（）f（x）f（y）5.三角函数型的抽象函数f（x）tgx-f（xy）f（x）cotx-f（xy）例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f(x)0，f(1)2求f(x)在区间上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）ff（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3)5，求不等式f（a22a2）0,xN；f（ab）f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围.分析：（1）利用313；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数yf（x）的反函数是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）m，f（b）n，则g（m）a，g（n）b，进而mnf（a）f（b）f（ab）f.例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）；f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当0x2a时，f（x）0.试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用ff，判定f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数f（x）（x0）满足f（xy）f（x）f（y），（1）求证：f（1）f（1）0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若f（x）在（0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x）0.分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a0）（1）先令xy1，再令xy1；（2）令y1；（3）由f（x）为偶函数，则f（x）f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，求证：（1）当x0时，0f（x）1；（2）f（x）在xR上是减函数.分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3）受指数函数单调性的启发：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），进而由x1x2，有f（x1x2）1.练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数x、y都成立，则（）（A）f（0）0（B）f（0）1（C）f（0）0或1（D）以上都不对2.若对任意实数x、y总有f（xy）f（x）f（y），则下列各式中错误的是（）（A）f（1）0（B）f（）f（x）（C）f（）f（x）f（y）（D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，则当x0时，f（x）的取值范围是（）（A）（1，）（B）（，1）（C）（0，1）（D）（1，）4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2），则f（x）为（）