大学物理质点运动学(老师)ppt课件

力学 第一篇 牛顿力学 宏观低速 宏观高速 运动学 kinematics 动力学 dynamics 静力学 statics 只描述物体的运动 不涉及引起运动和改变运动的原因 研究运动与相互作用之间的关系 研究物体在相互作用下的平衡问题 牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动 是整个物理学的基础 广泛应用于工程技术 第1章质点运动学 1 2质点的位移 速度和加速度 1 1质点的位置 1 3直线运动 1 4平面曲线运动自然坐标系 1 5相对运动 一 质点 理想化的物理模型 1 1质点的位置 物体 具有大小 形状 质量和内部结构的物质形态 把物体当作质点是有条件的 相对的 当物体的大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略 物理学中有很多抽象模型 质点 刚体 理想气体 点电荷 研究地球 自转 形状不可忽略 公转 天体的作用力和形状均可忽略 质点模型 刚体模型 运动具有绝对性 而对运动的描述却是相对的 二 质点位置的确定方法 为了描述一个物体的运动 必须选择另一个物体作为参考 被选作参考的物体或物体系称为参考系 对同一物体同一运动 参照不同的物体来描述 描述的也可能不同 运动描述的相对性 运动学中 参考系可任选 太阳参考系地心参考系地面参考系质心参考系 常用参考系 要定量描述物体的位置与运动情况 就要运用数学手段 在参照系上建立坐标系 1 坐标系 常用的有直角坐标系 x y z 极坐标系 球坐标系 R 柱坐标系 R z 自然坐标系 2 位矢 在坐标系中 用来描述质点所在位置的矢量 叫做位置矢量 简称位矢 从坐标原点指向质点所在位置的有向线段 直角坐标系中 位矢可表示为 方向 大小 方向余弦 分别是x y z方向的单位矢量 三 运动方程 质点的位置随时间变化的函数关系式 称为运动方程 用直角坐标系 或 质点沿各坐标轴的分运动 表明 质点的实际运动是各分运动的矢量合成 轨道方程 运动方程中消去时间变量t 圆周运动轨道方程 注意 运动方程 轨道 迹 方程 已知质点的运动函数为则该质点的轨道方程为 由运动方程知 x 4t2 解 y 2t 3 消去t 得轨道方程 x y 3 2 例 1 2质点的位移 速度和加速度 一 位移 质点沿曲线运动 时间内位置变化 时间间隔内的位移 定义 为质点在 即 位移等于位矢的增量 讨论1 位移 位矢增量 的大小 位矢大小的增量 在直角坐标系中的表式为 大小 如图 一般情况下 比较位移和路程 位移 是矢量 表示质点位置变化的净效果 与质点运动轨迹无关 只与始末点有关 路程 是标量 是质点通过的实际路径的长 与质点运动轨迹有关 讨论2 路程 时间内质点运动路径的长度 例如质点运动一周 位移为零 路程为周长 二 速度 1 平均速度 在 t时间内的位移与时间的比值 设 e g 则在t 0至t 1s内的平均速度 一维情形 设x 6t t2 SI 则在t 0至t 4s内的平均速度 2 瞬时 速度 速度的方向 质点所在处轨迹的切线指向前进的方向 A B B 速度等于位矢对时间的一阶导数 设 e g 则t 1s末的速度 一维情形 设x 6t t2 SI 则在t 4s末的速度 平均速率 瞬时 速率 速度与速率的关系 区别 速度是矢量 速率是标量 讨论1 质点在 t时间内的路程与时间的比值 速率等于路程对时间的一阶导数 平均速度 瞬时速度 速度的大小是否等于速率 一般 平均速度的大小不等于平均速率 讨论2 速度的大小等于速率 讨论3 加速度 质点运动函数为x 6t t2 SI 则在t由0至4s的时间间隔内 质点走过的路程为 令v 0 得t 3s 解 S x 3 x 0 x 4 x 3 何种运动 思考 v dx dt 6 2t 折返时刻 10m 例 三 加速度 1 平均加速度 质点在 t时间内的速度增量与时间的比值 方向 的方向 2 瞬时 加速度 加速度等于速度对时间的一阶导数 的极限方向 方向 对于一个运动质点 下面哪种情况不可能发生 质点具有恒定速度 但有变化的速率 质点具有恒定的速率 但有变化的速度 质点加速度为零而速度不为零 质点的加速度不为零而速度为零 幻28 解 OA v 0 a 0 质点沿X轴作直线运动 其x t曲线可分为四个区间 问 在各区间 质点的速度 加速度分别是正 负 还是零 导数的几何意义 AB v 0 a 0 BC v 0 a 0 CD v 0 a 0 各区间 何种运动 思考 例 在t时刻 描述质点运动的物理量是 三者之间的关系是 运动学问题的基本定义式 即解决问题的基本出发式 在直角坐标系中可写成 由式 有 注意 直角坐标系中 三个单位矢量方向不随时间改变 式中没有出现 因此 B 1 已知r r t 求v a 质点运动学的两大类问题 求导 2 已知a t 或v t 求r t 由a t 加初始条件r0 0 积分 解 B 的大小随时间变化 但方向不变 式中幂次改变 结果 思考 例 已知质点位矢的表示式为 a b为常量 则该质点作 A 匀速直线运动 B 变速直线运动 C 抛物线运动 D 一般曲线运动 例 质点的运动函数为x 3 5t 6t2 t3 SI 则 t 0时 速度v0 加速度为零时 速度v 解 v0 5m s v 17m s t 2s 加速度为零时 速度值是否极大 思考 v dx dt 5 12t 3t2 a dv dt 12 6t 加速度 例 一质点的运动方程为 求 1 质点的轨道方程 2 任意时刻的位矢 速度 速率和加速度 1 2 解 由定义得 2 已知a t 或v t 求r t 求积分 若t 0时 1 已知r r t 求v a 求导数 质点运动学的两大类问题 返回 例 质点在XOY平面上运动 加速度度 解 思考 若质点初位矢 则任意时刻位矢 则质点任意时刻的速度 初速度 例 某物体的运动规律为dv dt kv2t k为常量 t 0时 v v0 求v与t的函数关系 解 思考 若dv dt a 常量 结果 37直线运动 证明 例 电艇在关机后 有dv dt kv2 k为常量 试证 电艇此后行驶距离x时的速度为 其中v0是电艇关机时的速度 思考 关机后行驶x距离所需要的时间 分别用x x v a表示 其正 负 问题 已知a t 或v t 及初始条件v0 x0 求x t 分别代表各相应矢量的方向沿x轴正 负向 当a 恒量时 为匀变速直线运动 当a 0时 为匀速直线运动 x x0 v0t v v0 at v v0 1 3直线运动 将 解 例 一质点沿直线运动 加速度为a 0 2v 若开始时的速度为v0 5m s 1 x0 0 求v t x t 和质点运动的总距离 分离变量 积分 当 即 得 又 得 运动学第二类问题 40曲线运动 例 一质点沿x轴运动 加速度随位置的变化关系为a 3 2x 已知x 0处速度v0 5m s 1 则在x 4m处 速度v等于多少 解 第二类问题 已知a a x 高等数学工具应用 1 4平面曲线运动自然坐标系 运动的独立性与叠加性运动的独立性 如果一个质点同时参与几个分运动 其中任何一个运动都不受到其他运动的影响 就好像只有自己存在一样 运动的叠加性 质点的一般运动可以看做由几个相互独立的运动的合成 且合成的物理量满足平行四边形法则 根据运动的独立性与叠加性 可以将一般运动看做由几个相互独立的运动的合成 1 4平面曲线运动自然坐标系 在地球附近的空间内 在忽略空气阻力的情况下 抛体运动是只受重力作用的运动 即对于平面抛体运动 选直角坐标系如图 一 抛体运动 以抛出点为坐标原点 则 利用直线运动的结果 得 将T代入x 可求射程 令y 0 可求出飞行时间 运动叠加原理 swf S o R A B s an 使AE AC 法向加速度 1 圆周运动的加速度 二 圆周运动的加速度自然坐标系 由相似三角形 A 向心 o R A B s an 使AE AC A 方向 切向 法向加速度 切向加速度 综上讨论可得圆周运动的加速度为 大小 方向 指向曲线凹侧 只反映速度方向的变化 1 法向加速度 2 切向加速度只反映速度大小的变化 可正可负 2 自然坐标系 质点所在点的速度方向 切向 的单位矢量 与垂直并指向曲线凹侧 法向 的单位矢量 规定依赖于质点的单位矢量 如质点作圆周运动 t时刻 运动到P点 单位矢量如图示 法向方向指向圆周的圆心 该点运动的加速度是 三 一般平面曲线运动 质点在t时刻运动到P点 在该点曲率圆周上运动 法向加速度指向曲率圆心 设曲率圆半径为 则 质点所在轨道上某点的曲率半径 大小 方向 总是指向曲线凹侧 讨论 a 0 an 0 匀速直线运动 根据a an的取值情况 即可判断质点做 a 0 an 0 匀速曲线运动 a 0 an 0 变速直线运动 a 0 an 0 变速曲线运动 何种运动 如 反映速度大小变化的快慢 反映速度方向变化的快慢 例 求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径 解 在轨道顶点 由 得 例 质点在xoy平面中运动 运动方程为x 6t y 4t2 8 求t 1s时 质点的速率 切向加速度 法向加速度及该点轨道的曲率半径 解 所以t 1s时 a 6 4m s 2 vx vy 也待求 应先求 所以 又 ax ay 所以 基本定义式 圆周运动时 由于轨迹确定 用角量较为方便 1 圆周运动的角量描述 三 圆周运动的线量和角量关系 角运动方程 角位置 角位移 角速度 角加速度 角量与线量一一对应 定义 物理意义 公式 特点 R 匀变速圆周运动 匀速 率 圆周运动 当 当 若已知 求和 角量描述的运动学第二类问题 用积分求解 2 角量与线量的关系 v r a r an r 2 即 两边求导 线量 S 线位移 弧长 线速度 切向加速度 法向加速度 角量 角位移 rad 角速度 rad s 角加速度 rad s2 线量与角量的关系 匀变速率圆周运动 例 质点沿半径为0 1m的圆周运动 其角位置 2 4t2 SI 则t 2s时 an at 解 思路一 t 思路二 25 6m s2 0 8m s2 思考 匀速率 匀变速率 变速率圆周运动 运动的描述是相对的 本节给出 同一运动在不同参考系中各自描述的物理量之间的定量关系 1 5相对运动 S系 S 系 设参考系S 相对S系平动 平动速度为 研究的问题是 t时刻质点运动到P点 在S系描述 在S 系描述 S系 S 系 引入矢量 由图得到两个参考系中的位矢之间的关系 通常为了记忆 将上式写为 甲对丙 甲对乙 乙对丙 位移关系 速度关系 位矢关系 Galileanvelocitytransformation 例如 可用速度关系解释 雨天骑车 人只在胸前罩一块塑料布即可遮雨 称为伽利略速度变换 加速度关系 在S 相对于S平动的条件下 若 则 加速度关系变为 求 在任意位置x处 船的速度和加速度 解 且 设