高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式知识巧解学案.docx

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(-)与cos(+)，根据+与-之间的联系：+=-(-)，则由两角差的公式得cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin,即cos(+)=coscos-sinsin.学法一得 这种以-代的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(-)中，因为角、是任意角，所以在C(+)中，角、也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(+).图3-1-5 如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角、-，使角、-的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了、+这样的角，设角、-的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sin=y，cos=x，即P2(cos，sin)；同理,可得P3(cos(+)，sin(+)，P4(cos(-)，sin(-).由整个作图过程可知P3OP1P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即cos(+)-12+sin2(+)=cos(-)-cos2+sin(-)-sin2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(+)=2-2(coscos-sinsin)，即cos(+)=coscos-sinsin.3.利用向量的数量积推导C(+).图3-1-6 如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角、-，它们与单位圆的交点分别为A、B. 显然，=(cos,sin),=(cos(-),sin(-).根据向量数量积的定义，有= (cos,sin)(cos(-),sin(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.于是cos(+)=coscos-sinsin.学法一得 在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想.以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(-)=cos-(-)=cos(-)+=cos(-)cos-sin(-)sin=sincos-cossin.在上面的公式中，以-代，即可得到sin(+)=sincos+cossin.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2-)=sin2cos-cos2sin=0cos-1sin=-sin.当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的、均为任意角.误区警示 公式对分配律不成立，即sin()sinsin，学习时一定要注意这一点.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(+)cos-cos(+)sin，不要将sin(+)和cos(+)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(+)cos-cos(+)sin=sin(+)-=sin，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(+)=，当coscos0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以coscos，即得用tan和tan表示的公式：tan(+)=，在上面的公式中，以-代，可得两角差的正切公式：tan(-)=.2.公式成立的条件 要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tan、tan存在.并且1+tantan的值不为零，所以可得、需满足的条件：k+,k+，+k+或-k+，以上kZ.当tan、tan、tan()不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan+tan=tan(+)(1-tantan)就可以解决诸如tan15+tan30+tan15tan30的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.典题热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差例1 求sin75,tan15的值.解：sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=；tan15=tan(60-45)=，或tan15=tan(45-30)=.例2 求的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7=15-8，15=8+7，8=15-7.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7=15-8代换，分子、分母是二次齐次式；若用15=8+7或8=15-7代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下.答案：原式=.巧解提示:原式=tan15=tan(45-30).方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：能求值的要求值；三角函数的种类尽可能少；角的种类尽可能少；次数尽可能低；尽可能不含根号和分母.知识点二 已知、的三角函数值，求的三角函数值例3 已知sin=，求cos(+)的值.思路分析：因为是个特殊角，所以根据C(+)的展开式，只需求出cos的值即可.由于条件只告诉了sin=，没有明确角所在的象限，所以应分类讨论，先求cos的值，再代入展开式确定cos(+)的值.解：sin=0，位于第一、二象限.当是第一象限角时，cos=，cos(+)=coscos-sinsin=;同理，当是第二象限角时，cos=，cos(+)=.方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S()、C()、T()的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(+)、cos(+)这样的函数求值，由于它们的角与的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单.例4 已知cos(-)=，sin(-)=，并且，0，求的值.思路分析：观察给出的角，结合公式C(-)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(-)、cos(-)的值即可.解：，0，0.-，-.又cos(-)=0，.同理，sin(-)=0，.故=cos(-)cos(-)+sin(-)sin(-).例5 在ABC中，sinA=,cosB=，求cosC.思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意.解：cosB=,B(,)且sinB=.sinA=,A(0,)(,).若A(,),B(,)，则A+B(,)与A+B+C=矛盾，A(,).因此A(0,)且cosA=.从而cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=.例6 如图3-1-7，已知向量=(3,4)绕原点旋转45到OP的位置，求点P(x,y)的坐标.图3-1-7思路分析：本题相当于已知角的三角函数值，求+45的三角函数值.解：设xOP=.因为|OP|=，所以cos=,sin=.因为x=5cos(+45)=5(coscos45-sinsin45)，同理,可求得y=5sin(+45)=，所以P(,).方法归纳 已知角的某一三角函数值和角所在的象限，则角的其他三角函数值唯一；已知角的某一三角函数值，不知角所在的象限，应先分类讨论，再求的其他三角函数值.一般地，90，270的三角函数值，等于的余名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来.知识点三 已知三角函数值求角例7 已知sin=，sin=,且、都是锐角，求+的值.思路分析：(1)根据已知条件可先求出+的某个三角函数值，如cos(+).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cos、cos即可.(3)由于、都是锐角，所以0+,y=cosx在(0,)上是减函数，从而根据cos(+)的值即可求出+的值.解：sin=,sin=，且、都是锐角，cos=，cos= .cos(+)=coscos-sinsin=.又0+,+=.方法归纳 给值求角的一般步骤是：确定所求角的范围；找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sin=sin(2+)，求证：tan(+)=2tan.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有、2+，结论中含有+、，若从条件入手，可采用角的变换，=(+)-，2+=(+)+，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：3sin=3sin(+)-=3sin(+)cos-3cos(+)sin，sin(2+)=sin(+)+=sin(+)cos+cos(+)sin，又3sin=sin(2+)，3sin(+)cos-3cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin.2sin(+)cos=4cos(+)sin.tan(+)=2tan.方法归纳 对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12+tan18+ tan12tan18=.解：=tan(12+18)=tan30=，tan12+tan18= (1-tan12tan18)，即左边=(1-tan12tan18)+tan12tan18=右边.tan12+tan18+tan12tan18=.方法归纳 三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)(1+tan45)的值.解：因为+=45时，tan(+)=1，所以tan+tan+tantan=1，即(1+tan)(1+tan)=2.于是(1+tan1)(1+tan44)=(1+tan2)(1+tan43)=(1+tan22)(1+tan23)=2.又因为1+tan45=2，所以原式=223.方法归纳 当+=k+,kZ时，(1+tan)(1+tan)=2；当+=k-,kZ时，(1+tan)(1+tan)=2tantan.问题探究思想方法探究问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功. 如：cos(-)cos-sin(-)sin化简为_.将-看作一个角，看作另一个角,则cos(-)cos-sin(-)sin=cos(-)+=cos.解答本题时不仅利用角的变换：=(-)+，同时运用了公式的逆向变换.探究结论:两角和的正切公式tan(+)=.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tantan=；tan+tan=tan(+)(1-tantan)；tantantan(+)=tan (+)-tan-tan等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0,上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a、b不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？探究过程:形如asinx+bcosx(a、b不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+)的形式.a