列方程解应用题1.doc

列方程解应用题脑筋急转弯:小红和妈妈为什么都在一个班级上课？内容精要:列方程解应用题是小学数学的一项重要内容。是一种不同于算术解法的新的解题方法。列方程解应用题与算术解法的区别主要是解题思路不同。在用算术解法解题时，一般从问题出发。分析已知条件，根据数量关系列出算式，用算式表示所求问题。而在列方程解应用题时，用字母表示所求的问题。因而在分析数量关系时，可以把所求的问题作已知条件参加列式计算。所以在解答逆解或某些应用题时，用列方程方法解答，往往比用算术解法解答简便。而对于列方程解应用题的关键是设未知数后，根据题目所给条件找正确的等量关系。从考虑角度不同，所决定的等量关系也不同。列方程解应用题的步骤：明确题意设未知数。根据等量关系列出方程。解方程。检验、写出答案。例1：现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的，而9年前弟弟年龄是哥哥的，哥哥现在的年龄是多少？分析：现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的，也就是说现在哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍。解：设弟弟现在的年龄是X岁，而哥哥现在的年龄是2X，9年前弟弟的年龄是（X9）岁，哥哥的年龄是（2X9）岁。由题意得：2X9 = 5（X9） 2X9 = 5X45 3X = 36 X = 12哥哥的年龄是：2X = 24岁 答：哥哥现在年龄是24岁例2：一个三位数在400和500之间，各个数字的和是9.若个位数字和百位数字调换。所得新的三位数字是原数的。求原来的三位数。分析：因为已知条件中涉及个位数和百位数的交换所以不能直设这个三位数为X，那么如何设未知数？由于这个三位数在400和500之间，因此它的百位数一定是4，又知道这个三位数的各个数字之和为9。所以十位数字可以用X的式子来表示。解：设个位数字为X，则十位数字为94X = 5X有题意得： 100X+10（54）+4 = 400+10X（5X）+X化简得 90X+54 = （4509X）解得 X = 2 答：这个数位432。例3：鸡兔同笼，共100个头，272条腿，鸡兔各多少只？分析：此题又有两个未知量。鸡和兔的只数，通过设一个量为X，则另一个量可以用X的式子来表示。解：设笼中有鸡X只，则兔为（100X）只。2X+4（100X）= 2722X+4004X = 2722X = 128X = 64100-64=36（只） 答：鸡有64只，兔有36只例4：早晨8时多有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去，两辆车的速度都是每小时60千米，8小时32分的时候第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍，到了8时39分的时候。第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍，那么，第一辆汽车是8时几分离开化肥厂的？分析：由于两辆车的速度都是每小时60千米。所以它们都是1分钟行驶1千米。由此可见，在两个小时刻。第一辆车所在两个地点的距离为1（3932）= 7千米。同样，第二辆车在这两个时刻所在地点之间的距离也是7千米。这可以作为列方程所依据的等量关系。也是7千米。这可以作为列方程所依据的等量关系。解：设第一辆车是8时X分离开化肥厂的。则 （39X）（32X）= 7 3（39X）2（32X）= 42 1173X64+2X = 42 X = 11 答：第一辆车是8时1分离开化肥厂的。例5：小木，小林，小森三人看电影，如果小木带的钱去买三张电影票，还差0.55元，如果小林带的钱去买三张电影票，还差0.69元，如果三人带去的钱买三张电影票就多了0.30元。已知小森带了0.37元，那么买一张电影票多少钱？分析：由条件已知，小木比小林多带了0.690.55=0.14元。可以设小木带X元，则小林带（X-0.14）+0.37。 三张电影票的钱是：X+0.55由题意得： X+（X0.14）+0.37（X+0.55）= 0.30解得 X= 062（元）从而得到每张电影票的钱是：（0.62+0.55）3 = 0.39 (元) 答：买一张电影票需要用0.39元例6：小明放学后沿某公共汽车路线以每小时4千米的速度步行回家，沿途该公共汽车每9分钟就又有辆车从后面超过他，每7分就又遇到迎面开来的一辆车，如果公共汽车按相等的时间间隔，以同一速度不停地运行，那么，公共汽车发车时间间隔是多少？分析：我们设公共汽车的速度为每小时X千米，抓住公共汽车之间的距离都相等这个等量关系列方程，先求出公共汽车的速度，然后再进一步求解。解：设该路公共汽车速度位每小时X千米，则 （4+X） = (X4) 7（4+X） = 9(X4) 9X7X = 36+28 2X = 64 X = 32（4+32） = 4.2(千米)、两车之间的距离4.23260 = （分）、发车的间隔时间答：汽车发车的时间间隔位分。练习题1、 有两段纸带，一条长21cm，一条长13cm，把两条纸带都剪下同样长的一段后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的，问：剪下的一段有多长？2、 甲车间人数是乙车间人数的。如果从乙车间调4人到甲车间，两个车间的人数就相等了，两个车间各有多少人？3、 96个比一个数的45%少7.8，求这个数4、 某时刻钟表时针在10时到11时之间，这时刻再过6分后分针和这个时刻的3分前时针正好方向相反同在一条直线上那么钟表在这个时刻表示的时间是10时几分？5、 制作一批零件，师徒二人合作8天完成，如师傅单独做12天完成，实际先由徒弟做了若干天后，再由师傅继续做全部完成时共用了15天，求师徒各工作了几天？6、 一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米，这架飞机最多能飞多少千米，就需往回飞？7、 分子、分母之和是23，分母增加19之后，得到一个新的分数。把这个分数化为最简分数是，原来的分数是几分之几？8、 一项工程，如由甲或乙单独完成，甲队所需天数是乙队的2倍，如由两队合作，10天可成，两队单独完成这项工程各需几天？9、 师徒两人合作一批零件，原计划8天完成，后来师傅因有特殊任务只做了6天，徒弟则比原计划多做3天，完成任务时，师傅比徒弟少做100个，已知徒弟每天做50个，师傅每天做多少个？10、一辆公共汽车载客50人，长途客车票每张0.80元，短途车票每张0.30元，售票员统计长途车票的收入比短途车票的收入多18元，问购买长途车票的有多少人？11、录音机的售价是电视的，买录音机4台，电视机3台，总价是7470，录音机和电视机每台各是多少元？12、学校合唱队里男生人数比女生人数的一半少9人，女生人数比男生人数的3倍多3人，这个合唱队共有多少人？13、李老师从数学兴趣组调出1名女生到英语兴趣小组后剩下的同学中有是女生，如果不调出这名女生而调出2名男生，那么剩下的同学中是女生，原来这个数学兴趣小组有多少名同学？14、某厂运来一堆煤，如果每天烧煤1500千克，比计划提前一天烧完，如果每天烧1000千克，将比计划多烧一天，如果要求按计划规定烧完，每天烧煤多少千克？15、某校数学小组原来有女同学人数占全组人数的，后来又增加了4名男同学和4名女同学，这时女同学人数占全组人数的，原来组内有男、女同学各多少人？抽屉原理脑筋急转弯:两对父子去买帽子,每人买了一顶,却为什么只买了三顶。内容精要:抽屉原理可以这样表达：把多于几个东西，分放在几个抽屉里，那么至少，有一个抽屉里有两个或两个以上的元素。解有关抽屉原理的应用题，关键是要应用所学知识制造“抽屉”。其中利用余数造抽屉是一个常用方法。抽屉原理一、把多于几个的元素，按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，含有至少两个元素。抽屉原理二：把多于mn几个元素，放入几个抽屉中，那么一个抽屉里有m+1或者m+1个以上元素。例1：求证：1997年1月出生的任意32个孩子中，至少有两个是同一天出生的。分析：1997年1月份共31天，我们不妨假设1月份这31天为31个抽屉，而将1月份出生的任意32个孩子看作32个元素，根据抽屉原理一知，有一只抽屉中至少放入了两个元素，也就是说，1月份出生的任意32个孩子中，至少有两个是同一天生的。问：若将条件中的1997年1月改为任意月份，结论会发生变化吗？例2：已知3个整数中，其中必有两个整数奇偶相同。分析：任一整数被2除，余数只能是0或1，所以我们把0和1看成两个不同的抽屉。而3个整数放在两个抽屉中，由抽屉原理可知必定有2个整数放入一个抽屉中，可见这两个整数被2除，余数相同，所以这两个整数同奇偶。AD例3：能否在8行8列的方格表（如图）的每个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意CB一个，使每一行，每一列及对角线AC、BD上的各个数字的和各不相同？对你的结论加以说明。分析：图中8行8列及两条对角线共有18条线，每条线上都填有8个数字，如果8个数字都填1、那么它们的和是8；如果都是填3，它们的和是24；所以任取8个数字，它们的和应该在824之列，所以共有17种不同的值，我们看成17个抽屉。把18条线看成18个元素。根据抽屉原理，一定有一个抽屉中至少放了两个元素。所以18条线上和至少有两条相同。不可能使18条“线”上的各个数字和互不相同。例4：袋子里装有红色球80只，蓝色球70只，黄色球60只，白色球50只，它们的大小与质量都一样，不许看，只许只用摸取要保证摸出的10对同色球，至少要摸出多少只球？A分析：从最坏处想，先摸出的4个没有一对同色球，当摸出第五个时一定会出现一对，将这一对球挪开，再摸出两个球，合起5个球，又必有对，再把这对挪开，如此下去，5+29=23个，就能保证有10对同色球。例5：在边长为1的等边三角形内（包括边界），FD任意点了10个点，求证至少有三个点它们之间的距离不大于1/2。BCE分析：如图，等边三角形ABC三边中点为D、E、F。DE、EF、DF把边长为1的等边三角形分割成四个边长为1/2的等边三角形，如果规定成段DE、EF、FD上的点属GF DEF的，那么三角形ABC内的所有点被划分为四个互不相交的区域，把每个区域看作一个“抽屉”，在三角形ABC内任意点10个点，根据抽屉原理二，至少有三个点，落入同一个区域内，也就是说：一定有一个边长为1/2的等边三角形，其中包含三个点，它们 之间距离不大于1/2。练习题1、 某班40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，求证：其中必有两个同学是同年同月出生的。2、 某班有50个同学，其中年龄最大15岁，最小14岁，说明这个班至少有3名同学是同年同月出生的。3、 滨湖小学有366位1994年出生的学生，那么至少有几个学生的生日是同一天？4、 4.1班学生56人都是同年生的，能否说明至少有2个在同一星期过生日？5、 某校有370位1982年出生的学生，那么其中至少有几个同学生日是同一天的？6、 在有2000个学生的学校里，至少有多少人的生日在同一天？7、 在一次有100人参加的集会中，至少有多少人属相是一样的？8、 跳绳练习中，1分钟至少跳多少次时，必在某一秒内，至少跳2次？9、 有3个不同自然数，至少可以找到两个数，它们的和是偶数，为什么？10、有11个同学排成一队，站在10米长的一条白线上，请你证明，不管怎样排，至少有两位同学之间距离不大于1米。11、有红、黄、蓝、白四种颜色小球各10个，混合放到一个布袋里。问一次至少摸出多少个，才能保证有两上是同色球？12、有红球7个，白球9个，混合后放到一个布袋里，问一次至少摸出多少个，就能保证两种球不同色？13、一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌，才能保证有四张牌是同花色？14、六（4）班共有42人，他们在图书馆借图书212本，那么是否有人能借到6本或6本以上？15、停车场上有40辆客车，各种座位不同，最少有26个座位，最多有44个座，那么在这些客车中，至少有多少辆座位是相同的？16、在2323的方格纸中，将1-9数字填入每个小方格中数字的任意一种填法，共中和数相等的“十字”图形，至少有多少个？17、把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个小朋友分得饼干数相同，为什么？18、把104块糖分给14个小朋友，如果每个小朋友至少分得一块糖的话，那么不管你怎么样分，一定会有两个小朋友分到糖一样多，为什么？19、袋子里有足够多的红黄蓝三种颜色的球，有32个同学到袋中去摸取，每人只能摸一次，每次只能取3个球，可其中至少有几个人摸取的小球颜色相同？20、一个纸盒里装有四种不同颜色小球若干个，每次从纸盒中摸出的两个小球，为保证10次所摸结果一样，至少应该摸多少次？21、袋子里装有红色球90只，蓝色球80只，黄色球70只，白色球60只，黑球50只，它们的大小和质量都一样，要保证摸出10对同色球，那么于少要取出多少只？22、布袋内装有100只白袜子，80只灰袜子，60只蓝袜子，60只黑袜子，某人从布袋取袜子，为确保取出的袜子至少10双，那么应该取多少只袜子？24、如果边长为1的正方形中，任意点9个点，证明：至少存在三个点，以这个三个点为顶点构成的三角形的面积不超过1/8？25、要保证在边长为1的等边三角形中必有两点，使这两点间的距离不超过1/3，那么至少要放置多少个点？26、在面积为1的平行四边形内有任意五点，则必有三点，以这三点为顶点的三角形面积小于多少？容斥原理脑筋急转弯:监狱里关着两名犯人,一天晚上犯人全都跑了,可是第二天看守员打开守门一看,里面还有一个人？内容精要：有些数学题目的所求问题，是由几个条件共同决定的。我们可以分别列出每个条件的情况，称为一个集合。用一个圈来表示，那么，这些圈的交叉重复部分就是同时满足这几个条件的公共部分，称为“交集”。当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。这一原理，我们称为包含排除原理。也称为容斥原理。在运用容斥原理解题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意。明白数量关系和逻辑关系。例1：六年1班42名同学都订了报纸，订阅数学报的有32人，订阅学习报的有27人，至少有多少人订阅了两种报纸？分析：画出示意图，把订阅数学报的32人作一个集合，把订阅学习报的同学做一个集合，那么它们的交集就是表示两种报纸订阅人数。从图中看出订阅数学报的32人，加上订阅学习报的27人，共有59人。这与六（1）班的共有学生数42人相比是不相等的。从图中看出来这是因为有的学生把这两种报纸都订阅了，我们在算报纸人数时，把“两种报纸都订阅的人数”多算了一次。我们把两种报纸都订的总人数减去全班人数的42人，就是两种报纸都订的人数。解：32+27-42=17答：至少有17人订阅了两种报纸。例2：在1至100的整数中，能被2整除又能被3整除的数共有多少个？分析：在图中，左椭中（+）表示能被2整除的数，右椭圆中（+）中表示能被3整除的数，那么它们的公共部分表示既能被2整除又能被3整除的数。于是有+=（+）-解：由100/2=50知，1至100中是2的倍数的数有50个；由100/3=331知，1至100中是3的倍数的数有33个；由100/6=164知，1至100中是6的倍数的数有16个；因为50+33-16=67，所以知在1至100中是2的倍数或是3的倍数的有67个。例3：六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育训练班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有12人，问三项都报者有多少人？分析：由于此题比较复杂，我们画图来理解。我们把三种活动用三个圆ABC来表示，把AB记为A与B的公共部分的面积，BC为圆B与C的公共部分的面积，AC表示圆A与C的公共部分的面积，X为阴影部分的面积，至少参加一项的人数为：A+B+C-AB-AC-BC+X（ABC的部分被加了3次，又减了3次，所以还要加上一次）解:设三项都报的有X人，由容斥原理有：30+25+20-10-10-12+X=45X=2答：三项都参加的有2人。例4：某样六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人，老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学小组又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种都参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。分析：根据已知条件画出右图，根据已知三圆盖住的面积为49人，A=30、B=20、C=10，AB=X；BC=Y；AC=3，A、B、C的公共部分记为ABC=1，根据公式可列式49=A+B+C-AB-BC-AC+ABC，即：49=30+20+10-X-Y-3+1，故X+Y=9。故：X+Y=9由于X、Y都是质数，而它们的和为奇数9，因而这个质数中必有一个偶质数2，另外由X+Y=9知另一个质数为7。答：既参加英语，又参加数学小组的人数为2个或7个。例5:在1到1000的一千个自然数中，既不是4的倍数，也不是6的倍数共有多少个？分析：看到这道题，有人这样思考，1000中减去4的倍数的个数和6的倍数的个数，应该说剩下的个数就是既不是4的倍数，也不是6的倍数了。但这样理解就错了。因为你重复减了一些数。例如：12这个数，它既是4的倍数，又是6的倍数，那么12就被减去2次，所以应再加上一组这样的数。解：1000/4=25。所11000中4的倍数有250个。1000/6=1664，所以1到1000中6的倍数有166个。1000/4、6，说明11000中既是4的倍数，又是6的倍数的数共有250+166-83=327（个）那么既不是4的倍数，又不是6的倍数的数共有1000-327=673（个）练习题1、六年级（2）班共有42名同学，每人至少订一种杂志，有2/3的同学订阅了中学生，有1/2的学生订阅作文通讯，问两种刊物都订阅的有多少人？只订作文通讯的有多少人？2、某车间有工人100人，其中有5人只能干电工工作，有7人能干车工工作，有86人能干焊工工作，部既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人？3、某校80名教师订语文教师或数学教师的杂志，每名教师至少订一种杂志，其中56人订语文教师，还有14人两种杂志都订了，那么订数学教师的有多少人？4、六年级二班学生参加数学小组和作文小组的人数是26人，其中参加数学小组17人，作文小组14人，问两组都参加的有多少人？5、某区有100名外语老师懂英语或日语，其中懂英语的75人，既懂英语又懂日语的有20人，问懂日语的有多少人？6、某班有学生46人，其中仅会乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽球的有6人，问仅会打羽毛球的有多少人？7、在1到1000的自然数中，是7的倍数或是11的倍数的数有多少个？8、在1到1000的自然数中，是11的倍数或是13的倍数的数有多少个？9、分母是1001的最简真分数有多少个？10、在1到100的自然数中是5的倍数或是7的倍数的数有多少个？11比1/2大，比7小，分母是6的最简分数有多少个？12某班学生手中分别拿有红、黄、蓝三种颜色的球，已知手中有黄球的共有26人，手中有红球的共34人，手中有蓝球的共18人，其中手中有红、黄、蓝三种球的共有6人，手中有红、黄两球的9人，有黄蓝两种球的有4人，手中有红蓝两球的有3人，那么这个班共有多少人？13学校对100名学生进行调查，有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影，另外，既喜欢看球赛，又喜欢看戏的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有4人，三种都喜欢看球赛，又喜欢看电影？14某年级的课处学科小组分数学、语文、外语三个小组，参加数学小组有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人，同时参加数学、语文小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组有5人，三个小组都参加有2人，问这个年级参加课处小组共有多少人？15、某班45人参加测验，此次测验共两题。如果第一题没做对的有10人，第二题没有对的有15人，两题都没做对的有2 人，那么只做对一题的有多少人？两题都做对的有多少人？16、有三个面积均为20平方厘米的圆，其两两相交部分的面积为5、6、7三圆相交部分面积为3平方厘米。那么三圆共盖住部分面积是多少平方厘米？17、某年级共有156名学生，其中订A报66人，订B报88人，订C报有90人，全年级学生77人至少订了两种报刊，有19人三种报刊都订了，那么此年级中，没订任何报刊的学生有多少人？18某样参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛有120名女生，80名男生，已知该校共有260名学生参加了竞赛。其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？19、某班有50名学生，参加语文竞赛有28人，参加数学竞赛有23人，参加英语竞赛有20人，每人至多参加两科，那么参加两种的最多有多少人？20、大于1/5而小于11的分数中，分母为6的最简分数，一共有多少个？21、在11000的自然数中，既不能被13整除，又不能被31整除的数共有多少个？22、把1200这200年自然数中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的，从小到大排成一排，那么第100个是几？23、1到1000中所有不能被5、6、8整除的自然数有多少个？牛年，你牛了吗？时钟问题脑筋急转弯：小海看相声为什么从来不高兴？内容点睛：时钟问题可以认为是一种特殊的环面上的行程问题。同时，也是有关时间计算的一类问题。1.时钟问题的特点：时钟的钟面边缘围成了一个环形，称为“钟面边环”。在指针绕钟面中心旋转时，从指针的指示方向看，可以把指针的旋转理解为沿钟面边环上的运动。这类行程问题的特殊之处是：（1）钟面边环上的周长是已知的，被分成12个大格，每个大中有5个小格，即整个钟面边环上共有60个小格。（2）分针与时针的速度已知，分针每小时走1个小格，时针每分钟走560个小格。2.分针与时针运动方向相反。时钟问题常用的数量关系式：运动时间相差的小格数（分针速度时针速度）例1：从5时整开始，再经过多少分钟，时针与分针正好重合。分析：钟面的一周分为60小格，分针每小时走60小格，每分钟走一个小格，时针每小时走5小格，每分钟走560=112小格，每分钟分针比时针快1小格。这就可与追及问题类比：追及路程25个小格，速度差是，求追及时间25（1）2527（分）例2:现在是3时整，再过多少时间，时针与分针恰好在“3”字两边，并且与3的距离相等。分析：这道题反过来想，假设时针是逆时针方向旋转，即分针与时针相向而行，那么两针相遇时，两针位置恰好与3的距离相等。时针逆时针走的距离就是实际情况下时针顺时针走的路程。可见，求出两针共同走15个小格的相遇时间就是问题的答案。15（1+）13（分）答：再过13分，时针与分针恰好在“3”两边，并且与“3”字距离相等。例3：5时与6时之间，两针什么时刻成直角？分析：分针每分钟比时针多走格，5时时、分针在时针后25格。两针成直角时，必须间隔15格，因此要追及的路程是251510格，这是第一次成直角，第二次成直角时，是分针需落下15格，即共走（25+15）格。解：第一次成直角：（5515）（1）10（分）第二次成直角：（5515）（1）43分。 答：5时10分第一次成直角，5时43分第二次成直角。例4：某人下午6时多出发时，发现手表上指针的夹角为110，下午6时回家时，发现指针夹角仍为110,他外出了多长时间。分析：钟面上有60个小格，且围成一圈是360，这样1个小格是360606由于这人下午6时外出，钟面两指针夹角为110,这个条件可求出他外出的时间。我们知道6时整时，两指针夹角为180，分针走得，快分针多走了18011070, 两指针夹角就是110,这多走的70换算成时间就是706（1）12分，就是这人外出的时间，同样道理，可求出他回家的时间。解：360606（1）12（分）即这人出门的时间是6时12（分）。（1）52（分）即此人回家时时间是52分。521240（分） 答：他外出了40分。例5：有一个时钟，它每小时慢25秒，今年3月21日中午12时，它的指示正确，请问这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几时？分析：当这个时钟慢12个小时的时候，它又指示12点，恰好是准确时间。因此要求出多少小时后这个时钟慢12小时。解：因为这个时钟每小时慢25秒