高中数学必修5常考题型：等差数列的性质.doc

等差数列的性质【常考题型】题型一、等差数列性质的应用【例1】(1)已知an为等差数列，a3a4a5a6a7450.求a2a8的值(2)设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_.(1)解a3a4a5a6a7450，由等差数列的性质知：a3a7a4a62a5.5a5450.a590.a2a82a5180.(2)解析法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)2217a5b5a5b535.答案35【类题通法】1利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示2本题的求解主要用到了等差数列的以下性质：若mnpq，则amanapaq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.【对点训练】1(1)已知an为等差数列，a158，a6020，则a75_.(2)如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14B21C28 D35解析：法一：因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60a153d，得d4.所以a75a60da7524.法二：因为a15a114d，a60a159d，所以解得故a75a174d7424.(2)a3a4a512，3a412，则a44，又a1a7a2a6a3a52a4，故a1a2a77a428.故选C.答案：(1)24(2)C题型二、灵活设元求解等差数列【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数解(1)设这三个数依次为ad，a，ad，则解得这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.法二：若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得(1d)(1d)8，即1d28，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，a2.故所求的四个数为2,0,2,4.【类题通法】常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：ad，ad，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：ad，a，ad，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a3d，公差为2d.【对点训练】2已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列解：设这四个数依次为a3d，ad，ad，a3d.由题设知解得或这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.题型三、等差数列的实际应用【例3】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120，(n2，nN*)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n2200，解得n11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损【类题通法】1在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决2在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量【对点训练】3九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A1升B.升C.升D.升解析：选B设所构成的等差数列an的首项为a1，公差为d，则有即解得则a5a14d，故第5节的容积为升【练习反馈】1已知等差数列an，则使数列bn一定为等差数列的是()AbnanBbnaCbn Dbn解析：选A数列an是等差数列，an1and(常数)对于A：bn1bnanan1d，正确；对于B不一定正确，如数列ann，则bnan2，显然不是等差数列；对于C、D：及不一定有意义，故选A.2在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A12 B.16C20 D24解析：选B因为数列an是等差数列，所以a2a10a4a816.3已知数列an中，a510，a1231，则其公差d_.解析：d3.答案：34在等差数列an中，已知a22a8a14120，则2a9a10的值为_解析：a2a142a8，a22a8a144a8120，a830.2a9a10(a8a10)a10a830.答案：305已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求