高等气体动力学第3章可压缩一维定常管流4学时

高等气体动力学2008.2.12第三章 可压缩一维定常管流（4学时）3.1 变截面一维定常等熵流3.2 等截面一维定常摩擦流3.3 等截面一维定常加热流3.4 变质量一维定常管流3.5 广义一维流动的控制方程组与基本特征 一维定常流动的控制方程组比一般形式的三维非定常流动方程组要简单得多。但仍然难以得到一般形式的解析解，原因是方程组中包含了摩擦力、传热和作功等与流动过程密切相关的影响因素。 在气体动力学中，面积变化、摩擦、传热、质量加入、彻体力等能够独立“驱动”流动发生变化的影响因素称为驱动势。对大多数实际流动问题，驱动势中的某一个可能占有优势地位，而其余的相对不重要的驱动势则可以忽略。 对于管道流动，单一驱动势作用下的理想气体一维定常流动对大多数工程流动问题有很大的实用价值，可以满足工程设计的基本要求，同时所得结论对理解一般流动有重要的参考意义。 这种具有单一驱动势的流动常称为简单流动。31 变截面一维定常等熵流一、基本假设 一维定常流动； 截面积变化是影响流动的唯一驱动势； 忽略摩擦、传热、彻体力等其它驱动势。 在以上假设下，流动是等熵流动，如图3-1所示。m.m.控制体p+dpdx+dV+dVT+dTA+dApVTA图3-1 变截面一维定常等熵流动模型二、变截面一维定常等熵流动的控制方程组(3-1)(3-2) 或 (3-3) 对理想气体，补充热状态方程和量热状态方程(3-4)， (3-5)则方程组封闭，可以求解p、r、V、h四个未知数。三、截面积变化对流动特性的影响(3-6)(3-7)(3-9)(3-10)(3-11)(3-12)表3-1 截面积变化对流动参数的影响规律条件变化方向参数收敛管道dA0Ma1Ma1dp/p000dr/r000dT/T00000dMa/Ma000 一维定常等熵流动具有膨胀加速或压缩减速的流动特性； 收敛管道中的亚声速流和扩张管道中的超声速流是膨胀加速的，沿流道流速不断增加，而压强、密度和温度不断减小； 扩张管道中的亚声速流和收敛管道中的超声速流是压缩减速的，沿流道流速不断降低，而压强、密度和温度却不断增加。四、变截面一维定常管流的极限状态壅塞状态及临界截面 在收敛管道中，一维定常等熵流动的流速只能连续变化到Ma=1，即达到临界状态，这是它的极限流动壅塞。 亚声速流不可能通过收敛管道连续加速到超声速流，当流动加速到Ma=1时，流动将处于壅塞状态，同样，超声速流也不可能通过收敛管道连续减速到亚声速流； 壅塞状态之后的管道截面不可能再收敛。所以，在收敛管道中如果壅塞状态存在，则壅塞状态必出现在收敛管道的出口截面，亦即收敛管道的出口截面之前不可能出现声速状态； 声速流动不可能流入收敛管道。因此，亚声速流在收缩管道中的最大流出速度即为声速，而不可能达到超声速。若管道不是连续收敛的，则壅塞状态必出现在管道的最小截面处。 与收敛管道不同，声速流可以流进扩张管道，并且，在扩张管道中，流动的马赫数可能增加也可能减小，亦即声速流流进扩张管道后既可能发展为亚声速流也可能发展为超声速流。在实际流动中，声速流究竟变成哪一种流动形式取决于管道出口截面处的下游物理边界条件。 变截面一维定常等熵流动的壅塞现象发生在管道最小截面处，即流动在最小截面处达到临界状态，这个截面称为临界截面，其面积为A*。临界截面必然是管道的最小截面。 临界截面积的大小是由上游条件决定的。五、先收敛后扩张的管道拉瓦尔喷管 如果亚声速流在收敛管道中连续膨胀加速到流动壅塞，在临界截面之后使管道扩张，则当管道出口截面处的下游物理边界条件满足一定要求时，流动能够从声速流变为超声速流拉瓦尔喷管； 拉瓦尔喷管把收敛管道与扩张管道连接起来，实现了亚声速流动连续变化到超声速流动，这种先收敛后扩张的管道形状是从初始亚声速流获得超声速流的必要条件，称为几何条件。 拉瓦尔喷管中的流动均为膨胀加速，随着流速逐渐增大，其压强、温度和密度逐渐减小，如图3-2所示。0123456780.00.20.40.60.81.0T/T0p/p0r/r0Ma图3-2 拉瓦尔喷管中的流动变化（g =1.4） 当亚声速流动在拉瓦尔喷管中膨胀加速到超声速流时，喷管收敛段和扩张段内任一截面的流动马赫数仅取决于该截面的面积与喉部面积的比值，而与喷管进口的流动条件完全无关，该截面的压强、温度和密度与进口截面的相应静参数成正比关系，而进口截面的静参数又完全取决于进口的滞止参数。所以，当喷管形状和进口滞止参数给定后，只要喉部达到临界状态，且扩张段内均为超声速流，则整个喷管中的流动状态都是完全确定的。六、外界反压对拉瓦尔喷管流动的影响力学条件 拉瓦尔喷管是亚声速流连续膨胀加速到超声速流的几何条件，但仅是一个必要条件。 为了实现亚声速流向超声速流的连续变化，除几何条件外，还必须对喷管出口截面下游的环境压强pa（称为外界反压）作出限制，这就是力学条件。 只有同时满足几何条件和力学条件，才能使亚声速流动连续膨胀加速到超声速流动。 根据外界反压pa和喷管出口截面上的气体压强pe的相对大小，拉瓦尔喷管中的流动状态分为以下三种情况。 最佳膨胀状态pe=pa，又称为设计状态，流动的主要特点是喷管喉部达到了临界状态，出口流动为超声速，即Mae1；流体流出喷管后，既不膨胀，也不压缩，而是一平行射流；由于管内流动为超声速，当外界环境发生微小扰动时，扰动的传播速度（即声速）小于流动速度，扰动不能传进喷管内部，或说喷管中的流动觉察不到外界反压的变化。 欠膨胀状态pepa，欠膨胀状态的流动特点主要是喷管喉部达到了临界状态，出口仍为超声速Mae1；气体在喷管外继续膨胀，直到压强等于pa时为止，所以喷管出口有一系列膨胀波；喷管外的压强扰动也不能逆向传入喷管。 过膨胀状态pe1，气体在喷管外由于受到反压的突然压缩而产生不连续的压强增加，形成激波，是附着在扩张段出口截面上的斜激波。pe比pa小于一定值，喷管外的斜激波变成覆盖在喷管出口截面上的正激波，正激波前即喷管内的流速仍为超声速（Mae11）；而正激波后的流速降为亚声速（Mae21，激波后Ma1，且马赫数将逐渐减小，压强逐渐升高，在喷管出口截面升高到pa。pepa，正激波最终将移动到喉部。此时正激波消失，流动不再壅塞，全部喷管内的流动均为亚声速流，气体的压强、流速和质量流率都为外界反压所控制，称为亚临界流动状态，即喉部达不到临界状态。32 等截面一维定常摩擦流一、基本假设 一维定常流动； 忽略管道截面积变化、传热、彻体力等其它驱动势对流动的作用； 只考虑单一驱动势摩擦力dFt对一维定常流动的影响。 这种有摩擦的一维定常绝热流动通常称为简单摩擦管流，它是不等熵流动。二、简单摩擦管流的控制方程组(3-13)(3-14) 或 (3-15) 方程组没有涉及流体的具体性质，对任何流体都适用。 对理想气体，补充热状态方程和量热状态方程，可以使上述方程组封闭(3-16)(3-17)三、摩擦对流动参数的影响(3-18)(3-19)(3-20)(3-21)(3-22)(3-23)(3-24)条件变化方向参数表3-2 壁面摩擦力对流动参数的影响规律Ma1dp/p0dr/r0dT/T0dV/V000dpt/pt000 壁面摩擦力使亚声速流动膨胀加速，使超声速流动压缩减速；除了熵总是增大、滞止压强总是减小以外，摩擦对亚声速流动和超声速流动的影响是截然相反的。 无论亚声速流动还是超声速流动，其熵增总是正的，因而流动的滞止压强都是减小的。滞止压强代表流体总的压强位能，因而壁面摩擦力降低了流体作机械功的能力。四、简单摩擦管流的极限状态摩擦壅塞 无论是亚声速流动还是超声速流动，在等截面摩擦管中都以Ma=1为其极限状态。亚声速流在摩擦管中膨胀加速最高只能加速到声速流，欲使亚声速流通过摩擦管获得超声速流是不可能的；而超声速流在摩擦管中压缩减速最低也只能减速到声速流； 在等截面摩擦管中，如果流动能够加速（亚声速）或减速（超声速）到Ma=1，则这一状态一定出现在管道出口截面； 对于给定的进口条件（亚声速或超声速），流动所能允许的摩擦管长度有一个极限，称为最大管长或临界管长，用L*表示。无论亚声速流还是超声速流，临界管长L*与进口马赫数Ma有确定的一一对应关系，如图3-3所示。12345678910024Ma0.2图3-3 等截面摩擦管临界管长与进口马赫数的关系（g =1.4） 临界管长L*是相对于给定的进口条件而言的，当进口条件给定以后，它是流动能够通过的最大管道长度。当实际管长超过临界管长时，亚声速流动通过扰动传播调整进口条件、而超声速流则通过激波改变管内流动状态，使新的临界管长与实际管长相适应； 如果不固定进口条件，而给定摩擦管长度L，则亚声速流动存在一个最大的进口马赫数Mamax，而超声速流动则存在一个最小的进口马赫数Mamin，它们都是将实际管长作为临界管长而确定的进口马赫数。五、等截面摩擦管流的临界管长L*(3-25) 这是给定进口马赫数Ma的条件下求解的最大管长L*。 当给定摩擦管长度时，将其作为临界管长L*，可以从上式解出两个进口马赫数Ma，一个是最大的亚声速进口马赫数Mamax，一个是最小的超声速进口马赫数Mamin。 若已知摩擦管内任意两截面1和2的马赫数Ma1和Ma2，可以从上式中求得两个截面之间的距离，即管长L12(3-26)33 等截面一维定常加热流一、基本假设 一维定常流动； 忽略管道截面积变化、摩擦、彻体力等其它驱动势对流动的作用； 只考虑单一驱动势换热对一维定常流动的影响。 这种有换热的一维定常非绝热流动通常称为简单换热管流，它是不等熵流动。二、简单换热管流的控制方程组(3-27)(3-28)(3-29) 上述方程组对任何可压缩流体的简单换热管流都适用。 对理想气体，补充热状态方程和量热状态方程，可以求解p、r、V、h四个未知数。三、传热对流动参数的影响 用总温变化dTt代替传热量q。(3-30)(3-31)(3-32)(3-33)(3-34)(3-35)(3-36)表3-3 加热（dT00）对流动参数的影响规律参数变化方向条件Ma1dp/p0dr/r0dT/TMa00Ma000dpt/pt000 加热使亚声速流动膨胀加速，使超声速流动压缩减速。无论亚声速还是超声速，其滞止压强总是减小，熵总是增大。 总压在加热过程中的损失相当于阻力，称为热阻或加热损失，它降低了流体作机械功的能力。热阻对所有换热管道都存在，一般用总压损失的相对大小来表示(3-37) 进口马赫数Ma1越小，热阻越大；加热量越大，热阻也越大。令Ma1=0，Ma2=1，可求出最大热阻(3-38)空气，最大热阻为21.1%；火箭发动机燃气比热比取，最大热阻为19.5%。四、简单换热管流的极限状态加热壅塞与临界加热量 无论亚声速流还是超声速流，简单加热管流的极限状态都是Ma=1，称为加热壅塞。亚声速流在简单加热情况下最高只能加速到声速流，而不可能达到超声速；同样，加热也只能使超声速流最低减速到声速流； 加热后的流动马赫数是由加热量唯一确定的，加热量越大，流动马赫数变化也越大，也更接近加热壅塞状态。对于给定进口状态，当加热量达到某一临界值时，加热管的出口速度正好达到声速亦即壅塞状态，此时的加热量称为临界加热量，用q*表示(3-39) 如图3-4所示，当加热量一定时，对应的进口马赫数有一个亚声速解和一个超声速解，而出口流速均达到声速；反之，当给定进口马赫数时，有一个唯一的加热量与之对应，使出口流速达到声速，即达到壅塞状态。12345678910012340.2Ma图3-4 临界加热量与进口马赫数的关系（g =1.4） 临界加热量是相对于进口马赫数而言的。当进口条件改变时，临界加热量也随之改变； 给定进口条件，如果实际加热量超过对应于进口马赫数的临界加热量，则亚声速时进口截面通过溢流减小进口马赫数，直到新的进口马赫数所对应的临界加热量达到实际加热量时为止；超声速时，则在进口截面外产生脱体激波，因为激波后一定是亚声速流，所以此时的管流实际上变成了亚声速简单换热管流，通过进口截面（即激波后）的溢流来调整进口马赫数使其与实际加热量相适应； 对亚声速流，进口马赫数越大，所允许的最大加热量越少；对超声速流，进口马赫数越小，所允许的最大加热量也越少。当实际加热量给定时，亚声速流动存在一个最大的进口马赫数Mamax，而超声速流动则存在一个最小的进口马赫数Mamin。34 变质量一维定常管流一、基本假设 一维定常流动； 忽略截面积变化、摩擦力、传热、彻体力等其它驱动势的作用； 加入流体与主流具有相同的热力学性质，总焓相等，且均为理想气体，当它们离开控制体时已完全混合，并具有均匀的流动参数。 这种流动通常称为简单加质流动。dmmprVhm+dmp+dpr+drV+dVh+dhpiriVihi.控制体W控制面A图3-5 有质量加入的一维定常流动模型二、有质量加入的一维定常流动控制方程组(3-40) (3-41)(3-42)(3-43)三、质量加入对流动参数的影响(3-44)(3-45)(3-46)(3-47)(3-48)(3-49)(3-50)变化方向条件表3-4 质量加入对流动参数的影响规律（y1）参数Ma1dp/p0dr/r0dT/T0dV/V000dpt/pt000 流动参数的变化方向不仅取决于流动是亚声速还是超声速，还且还与y的值有关； 当y1时，各式中包含y的因子均为正值，则流动参数的变化方向只取决于流动马赫数：质量加入使亚声速流动膨胀加速，使超声速流动压缩减速，而总压则总是减小，熵总是增大。四、简单加质流动的极限状态加质壅塞与临界质量流率 声速状态即临界状态Ma=1是质量加入流动的极限状态，称为加质壅塞，此时的质量流率称为临界质量流率，用表示。35 广义一维流动的控制方程组与基本特征 在实际的一维定常流动过程中，简单流动仅是其特殊情况，绝大多数流动可能同时包含多个驱动势，有时还必须考虑非理想气体的影响，因此流动参数很难用代数形式直接表示出来，控制方程组的简单封闭形式的解也是不可能得到的，必须使用数值方法进行求解。这样的流动称为广义一维定常流动。 图3-6给出了广义一维定常流动的物理模型，其中包括了如下的驱动势截面积变化dA；壁面摩擦力Ft；传热q，可以包括化学反应热等；质量加入；作功w；重力引起的彻体力gAdz；流体中包含的物体对流体的阻力Da等。pi hi Vi ptiri si Mi rtiTi TtidmViVixmp A rV T Mah pt srt Tt gzdDadFtrgAdzm+dmdxdqdwp+dp A+dA r+drV+dV T+dT Ma+dMah+dh pt+dpt s+dsrt+drt Tt+dTt g(z+dz)xx+dx.图4-29 广义一维定常流动的物理模型一、广义一维定常流动的控制方程组 或 (3-51)(3-52)(3-53)式中，下标“i”表示加入质量的参数。 将滞止焓定义为，则能量方程（3-53）式可改写成(3-54)对于理想气体，考虑到量热状态方程，能量方程又可写成(3-55)可见，能量方程实际上是将传热、作功和质量加入驱动势表示为总温的变化。因此，可以把总温的变化当成一个综合驱动势。 控制方程组包含了七种驱动势，为了能够求解，与简单流动一样驱动势必须是可计算的，也就是说，必须建立将这些驱动势与流动特性参数联系起来的计算模型。 假设各种驱动势均可计算，则补充热状态方程后可组成包含四个方程的控制方程组，可以求解p、r、V、h四个未知数。由于流动参数通过驱动势引入的相互影响，很难直接求解上述方程组，一般必须运用数值积分方法才能得到给定边界条件和初始条件的解。二、驱动势对理想气体广义一维定常流动的影响 对理想气体，可以直接使用热状态方程和声速公式，并可忽略重力作用，控制方程组的求解相对容易些。 为了分析理想气体广义一维定常流动的一般规律，如同在研究单个驱动势时一样，首先将流动参数的变化表示成驱动势的函数。(3-56)(3-57)(3-58)(3-59)(3-60) 五个方程组成的方程组可以求解dp/p、d/、dT/T、dV/V和dMa/Ma五个流动参数的变化。将该方程组用矩阵的形式表示，有(3-61) 广义一维定常流动求解的关键步骤仍然是马赫数的求解。从上式中解出马赫数，其表达式为(3-62) 用一般数值方法，如四阶龙格库塔法积分上式，即可得到流动的马赫数。 当流动马赫数确定以后，其它流动参数可以方便地直接计算出来，而不必对每一个公式都进行积分计算。三、理想气体广义一维定常流动的一般特征 方程（3-62）式可写成(3-63)代表了多种驱动势的综合影响。 可以看出，广义一维定常流动的变化不仅与流动是亚声速还是超声速有关，而且还和驱动势的符号有关。 对于亚声速流动：当时，流动是加速的；当时，流动是减速的；当时，流动不发生变化。而对于超声速流动：则当时，流动减速；当时，流动加速；当时，流动同样不会发生变化。 当时，无论是亚声速流动，还是超声速流动，均朝着的极限状态发展。因此，与简单流动的分析结果一样，广义一维定常流动也存在壅塞现象。 但当时，亚声速流动