几种经典常见圆锥曲线问题

几种常见圆锥曲线问题 一、圆锥曲线概念、性质类问题例1.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 （ ） 分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程求法.由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，椭圆焦点，双曲线焦点，又双曲线渐近线为.代入，得，选D.例2设，则二次曲线x2cot-y2tan=1的离心率的取值范围为 （ ） 分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较大.解一：因为，所以cot0，tan0，方程所表示的二次曲线是双曲线，离心率必然大于1.从而排除A、B、C，得D.解二：依题设知二次曲线是双曲线，半实轴长a和半虚轴长b分别为，.所以半焦距，离心率为，因为，所以e的取值范围为，选D.二、直线和圆锥曲线关系类问题直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.例3椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率 (II)解： 由(I)可得设直线PQ的方程为由方程组 得 依题意 得 设 则 由直线PQ的方程得 于是 由得从而所以直线PQ的方程为 或(III)证明：由已知得方程组 注意解得 因故 而所以 例4已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切过点作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足（）求双曲线的渐近线的方程；（）求双曲线的方程；（）椭圆的中心在原点，它的短轴是的实轴如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，求椭圆的方程讲解：（）设双曲线的渐近线的方程为：，则由渐近线与圆相切可得：所以，双曲线的渐近线的方程为：（）由（）可设双曲线的方程为：把直线的方程代入双曲线方程，整理得则 （） ，共线且在线段上， ，即：，整理得：将（）代入上式可解得：所以，双曲线的方程为（）由题可设椭圆的方程为：下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹设弦的两个端点分别为，的中点为，则两式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分又由题，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以，所以，椭圆S的方程为：点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）三、与圆锥曲线有关的轨迹类问题解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程例5如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl=，直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点 x0=-， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=-，x1=，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，则 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.下面是探究型的存在性问题：例6直线的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力.解：（）将直线依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故（）设A、B两点的坐标分别为、，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.则由FA