2016年湖南省高考数学文科冲刺试卷(3)含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（ 3） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1复数 z 满足（ z i）（ 2 i） =5则 z=（ ） A 2 2i B 2+2i C 2 2i D 2+2i 2集合 U=0， 1， 2， 3， 4， A=1， 2， B=x Z|5x+4 0，则 U（ A B） =（ ） A 0， 1， 3， 4 B 1， 2， 3 C 0， 4 D 0 3阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为 58，则 判断框中应填入的条件为（ ） A k 3 B k 4 C k 5 D k 6 4设 等比数列 前 n 项和，若 =3，则 =（ ） A 2 B C D l 或 2 5有四个关于三角函数的命题： x+y= 或 x=y； x R， 1； x， y R， x y） = x 0， ， = 其中真命题是（ ） A 若实数 x， y 满足不等式组 ，且 z=y 2x 的最小值等于 2，则实数 m 的值等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 7如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ） 第 2 页（共 22 页） A 8 B 16 C 32 D 64 8若 （ ， ），则 3 ），则 值为（ ） A B C D 9如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于 x 轴的直线l： x=t（ 0 t a）经过原点 O 向右平行移动， l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y（图中阴影部分），若函数 y=f（ t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（ ） A B C D 10在直角坐标系 ，设 P 是曲线 C： （ x 0）上任意一点， l 是曲线 C 在点 l 交坐标轴于 A， B 两点，则下列结论正确的是（ ） A 面积为定值 2 B 面积有最小值为 3 C 面积有最大值为 4 D 面积的取值范围是 3， 4 11已知 别是双曲线 =1（ a 0， b 0）的左，右焦点，点 p 在双曲线的右支上，且 （ O 为坐标原点），若 |，则该双曲线的离心率为（ ） A + B C + D 第 3 页（共 22 页） 12设函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 x R，都有 f（ x） =f（ x+4），且当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1，若在区间（ 2， 6）内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ ， 2 C ， 2） D ， 2 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知函 f（ x） = ，则 f（ f（ ） = 14已知 | |=1， | |=2， ， = + ，则 = 15某种饮料每箱装 5 听，其中有 3 听合格， 2 听不合格，现质检人员从中随机抽取 2 听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 16如图，在 ， ， ， 点 D 在线段 ，且 ，则 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 ， ， = （ n N*） （ 1）求证： 是等比数列，并求 通项公式 （ 2）数列 足 3n 1） ，数列 前 n 项和为 不等式（ 1）对一切 n N*恒成立，求 的取值范围 18某城市随机抽取一个月（ 30 天）的空气质量指数 测数据，统计结果如下： 0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 （ 300，350 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 2 4 5 9 4 3 3 （ ）根据以上数据估计该城市这 30 天空气质量指数 平均值； （ ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失 S（单位：元）与空气质量指数 为 w）的关系式为： 第 4 页（共 22 页） S= 若在本月 30 天中随机抽取一天，试估计该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率 19在三棱锥 S ， 底面 0，且 B，点 M 是 中点，交 点 N （ 1）求证： 平面 （ 2）当 C=1 时，求三棱锥 M 体积 20已知双曲线 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e= ，虚轴长为 2 （ ）求双曲线 C 的标准方程； （ ）若直线 l： y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A， B 两点（ A， B 均异于左、右顶点），且以直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 21设函数 f（ x） =（ 1+x） 2 21+x） （ 1）若关于 x 的不等式 f（ x） m 0 在 0， e 1（ e 为自然对数的底数） 上有实数解，求实数 m 的取值范围； （ 2）设 g（ x） =f（ x） 1，若关于 x 的方程 g（ x） =p 至少有一个解，求 p 的 最小值 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22（几何证明选讲选做题）已知 外角 平分线，交 延长线于点 D，延长 外接圆于点 F，连接 （ 1）求证： C； （ 2）若 接 圆的直径， 20， ，求 长 选修 4标系与参数方程 第 5 页（共 22 页） 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）曲线 C 的极坐标方程为=2 直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 P （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）求 的值 选修 4等式选讲 24设 f（ x） =|x 1| |x+3| （ 1）解不等式 f（ x） 2； （ 2）若不等式 f（ x） 在 x 3， 1上恒成立，求实数 k 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2016 年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（ 3） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1复数 z 满足（ z i）（ 2 i） =5则 z=（ ） A 2 2i B 2+2i C 2 2i D 2+2i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可 【解答】 解：（ z i）（ 2 i） =5z i= z= +i= +i= +i=2+2i 故选 D 2集合 U=0， 1， 2， 3， 4， A=1， 2， B=x Z|5x+4 0，则 U（ A B） =（ ） A 0， 1， 3， 4 B 1， 2， 3 C 0， 4 D 0 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合 B 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出 B，求出 A 与 B 的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求 【解答】 解：集合 B 中的不等式 5x+4 0， 变形得：（ x 1）（ x 4） 0， 解得： 1 x 4， B=2， 3， A=1， 2， A B=1， 2， 3， 集合 U=0， 1， 2， 3， 4， （ A B） =0， 4 故选： C 3阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为 58，则判断框中应填入的条件为（ ） A k 3 B k 4 C k 5 D k 6 【考点】 程序框图 第 7 页（共 22 页） 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 S=0， k=1 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后， S=1， k=2， 当 S=1， k=2 时，不满足输出 条件，故进行循环，执行完循环体后， S=6， k=3， 当 S=6， k=9 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后， S=21， k=4， 当 S=21， k=4 时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后， S=58， k=5， 当 S=58， k=5 时，满足输出条件， 故判断框中应填入的条件为 k 4， 故选： B 4设 等比数列 前 n 项和，若 =3，则 =（ ） A 2 B C D l 或 2 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的前 n 项和公式求解 【解答】 解： 等比数列 前 n 项和， =3， =1+， ， = = = = 故选： B 5有四个关于三角函数的命题： x+y= 或 x=y； x R， 1； x， y R， x y） = x 0， ， = 其中真命题是（ ） A 考点】 命题的真假判断与应用 第 8 页（共 22 页） 【分析】 根据三角函数的定义及周期性，可判断 据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断 据两角差的余弦公式，可判断 据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断 【解答】 解： x+y=+2 x=y+2k Z，故错误； 据同角三角函数基本关系的平方关系，可得： x R， 1，故正确； x， y R， x y） = 一定相等，故错误； x 0， ， = =|正确 故选： D 6若实数 x， y 满足不等式组 ，且 z=y 2x 的最小值等于 2，则实数 m 的值等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z=y 2x 的最小值等于 2，结合数形结合即可得到结论 【解答】 解：由 z=y 2x，得 y=2x+z， 作出不等式对应的可行域， 平移直线 y=2x+z， 由平移可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时， 直线 y=2x+z 的 截距最小，此时 z 取得最小值为 2，即 y 2x= 2， 由 ，解得 ， 即 A（ 1， 0）， 点 A 也在直线 x+y+m=0 上， 则 m= 1， 故选： A 第 9 页（共 22 页） 7如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 【考点】 由三视图求面积 、体积 【分析】 由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积 【解答】 解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其外接球，与以俯视图为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同， 如图所示： 由底面底边长为 4，高为 2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面外接圆的半径为： r=2， 由棱柱高为 4，可得球心距为 2， 故外接球半径为： R= =2 ， 故外接球的表面积 S=42， 故选： C 8若 （ ， ），则 3 ），则 值为（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 【分析】 直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可 【解答】 解： 3 ）， 第 10 页（共 22 页） 可得 3（ ， 3（ = （ （ ， ）， 0， 上式化为： ， 两边平方可得 1+ 故选： D 9如图，有四个平面图形分别 是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于 x 轴的直线l： x=t（ 0 t a）经过原点 O 向右平行移动， l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y（图中阴影部分），若函数 y=f（ t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可 【解答】 解：由函数的图象可知，几何体具有对称性， 选项 A、 B、 D， l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反 选项 C，后面是直线增加，不满足题意； 故选： C、 10在直角坐标系 ，设 P 是曲线 C： （ x 0）上任意一点， l 是曲线 C 在点 l 交坐标轴于 A， B 两点，则下列结论正确的是（ ） A 面积为定值 2 B 面积有最小值为 3 C 面积有最大值为 4 D 面积的取值范围是 3， 4 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 设 P（ a， ），求出曲线 C 在点 P 处的切线方程，再计算面积，即可得出结论 第 11 页（共 22 页） 【解答】 解：由题意， y= （ x 0），则 y= 设 P（ a， ），则曲线 C 在点 P 处的切线方程为 y = （ x a）， x=0 可得 y= ； y=0 可得 x=2a， 面积为 =2，即定值 2， 故选： A 11已知 别是双曲线 =1（ a 0， b 0）的左，右 焦点，点 p 在双曲线的右支上，且 （ O 为坐标原点），若 |，则该双曲线的离心率为（ ） A + B C + D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用 ，可得 ，设 =x，则 = ，利用勾股定理，求出 x= c，由双曲线的定义可得 x x=2a，代入即可得出结论 【解答】 解： （ O 为坐标原点）， ， ， 设 =x，则 = ， x= c， 由双曲线的定义可得 x x=2a， （ 1） c=2a， e= = + 故选： A 第 12 页（共 22 页） 12设函数 f（ x）是定义在 R 上的偶 函数，对任意 x R，都有 f（ x） =f（ x+4），且当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1，若在区间（ 2， 6）内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ ， 2 C ， 2） D ， 2 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由 f（ x） =f（ x+4），推出函数的周期是 4，根据函数 f（ x）是偶函数，得到函数 f（ x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论 【解答】 解：由 f（ x） =f（ x+4），得函数 f（ x）的周期为 4， 当 x 2， 0时， f（ x） =（ ） x 1， 若 x 0， 2，则 x 2， 0， 则 f（ x） =（ ） x 1=2x 1， f（ x）是偶函数， f（ x） =（ ） x 1=2x 1=f（ x）， 即 f（ x） =2x 1， x 0， 2， 由 f（ x） x+2） =0 得 f（ x） =x+2）， 作出函数 f（ x）的图象如图：当 a 1 时，在区间（ 2， 6）要使方程 f（ x） x+2）=0 恰有 3 个不同的实数根， 则等价为函数 f（ x）与 g（ x） =x+2）有 3 个不同的交 点， 则满足 ，即 ，即 ， 解得 a 2， 故 a 的取值范围是（ ， 2， 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 第 13 页（共 22 页） 13已知函 f（ x） = ，则 f（ f（ ） = 【考点】 分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质 【分析】 利用分段函数直接进行求值即可 【解答】 解：由分段函数可知 f（ ） = ， f（ f（ ） =f（ 2） = 故答案为： 14已知 | |=1， | |=2， ， = + ，则 = 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量的数量积运算，进行计算即可 【解答】 解：因为 | |=1， | |=2， ， 且 = + ， 所以 = （ + ） = + = 12+ 1 2 = 故答案为： 15某种饮料每箱装 5 听，其中有 3 听合格， 2 听不合格，现质检人员从中随机抽取 2 听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 至少有一听不合格的对立事件是两听都合格，由此利用对立事件的概率公式能求出检测出至少有一听不合格饮料的概率 【解答】 解： 至少有一听不合格的对立事件是两听都合格， 检测出至少有一听不合格饮料的概率： p=1 = 故答案为： 第 14 页（共 22 页） 16如图，在 ， ， ， 点 D 在线段 ，且 ，则 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 利用二倍角的余弦函数公式即可求出 值，设 BC=a， b，由 D=2b， DC=b，在三角形 ，利用余弦定理得到关于 a 与 b 的关系式，在三角形 三角形 ，利用余弦定理分别表示出 于两角互补，得到 于 个关系式互为相反数，得到 a 与 b 的另一个关系式，求出 a， b 即可得到结论 【解答】 解：因为 ，所以 21 2 （ ） 2=1 2 = ， 在 ，设 BC=a， b， 由余弦定理可得 ： 在 ，由余弦定理可得： ， ， 因为 以有 = ， 所以 3 6 由 可得 a=3， b=1，即 ， 则 = ， 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 ， ， = （ n N*） 第 15 页（共 22 页） （ 1）求证： 是等比数列，并求 通项公式 （ 2）数列 足 3n 1） ，数列 前 n 项和为 不等式（ 1）对一切 n N*恒成立，求 的取值范围 【考点】 数列与不等式的综合；等比关系的确定 【分析】 （ 1）由数列 ， ， = （ n N*），可得 =1+ 变形为 ，利用等比数列的通项公式即可得出 （ 2）由（ 1）可知： 用 “错位相减法 ”即可得出 用不等式（ 1） ，通过对 n 分为偶数与奇数讨论即可 【解答】 解：（ 1）由数列 ， ， = （ n N*），可得 =1+ ， 是首项为 ，公比为 3 的等比数列， ，化为 （ 2）由（ 1）可知： = ， + + + ， 两式相减得 = = （ 1） n + =4 若 n 为偶数，则 ， 3 第 16 页（共 22 页） 若 n 为奇数，则 ， 2，解得 2 综上可得 2 3 18某城市随机抽取一个月（ 30 天）的空气质量指数 测数据，统计结果如下： 0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 （ 300，350 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 2 4 5 9 4 3 3 （ ）根据以上数据估计该城市这 30 天空气质量指数 平均值； （ ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失 S（单位：元）与空气质量指数 为 w）的关系式为： S= 若在本月 30 天中随机抽取一天，试估计该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；分段函数的应用 【分析】 （ ）根据平均数的计算公式即可估计该城市这 30 天空气质量指数 平均值； （ ）根据分段函数的表达式，求出满足经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元对应的天数，根据古典概型的概率公式即可得到结论 【解答】 解：（ ）根据以上数据估计该城市这 30 天空气质量指数 平均值为 25 2+75 4+125 5+175 9+225 4+275 3+325 3= ； （ ）由分段函数的表达式可知，若经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元， 则得 200 4w 400 600，即 600 4w 1000， 解得 150 w 250，此时对应的天数为 9+4=13， 则对应的概率 P= 19在三棱锥 S ， 底面 0，且 B，点 M 是 中点，交 点 N （ 1）求证： 平面 （ 2）当 C=1 时，求三棱锥 M 体积 第 17 页（共 22 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）依题意，可证得 平面 而可证 B，点 M 是中点可证得 B=B，从而 平面 M 一步可证平面 用面面垂直的判断定理即可证得结论 （ 2）利用（ 1）的结果，通过数据关系，求出 后求出棱锥的体积 【解答】 解：（ 1）证明： 平面 角三角形， B=A， 平面 B， M 为 中点， B=B， 平面 M=A， 平面 （ 2）由（ 1）可知 0， B=， M=， ， = = 平面 三棱锥 M 体积： = = 20已知双曲线 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e= ，虚轴长为 2 （ ）求双曲线 C 的标准方程； （ ）若直线 l： y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A， B 两点（ A， B 均异于左、右顶点），且以直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，求证 ：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）由已知得： ， 2b=2，易得双曲线标准方程； 第 18 页（共 22 页） （ ）设 A（ B（ 联立 ，得（ 1 484（ ）=0，以 直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D（ 2， 0）， 1，即，代入即可求解 【解答】 解：（ ）由题设双曲线的标准方程为 ， 由已知得： ， 2b=2，又 a2+b2=得 a=2， b=1， 双曲线的标准方程为 （ ）设 A（ B（ 联立 ，得（ 1 484（ ）=0， 有 ， ， 以 直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D（ 2， 0）， 1，即 ， （ x1+4=0， ， 3160 解得 m=2k 或 m= 当 m=2k 时， l 的方程为 y=k（ x+2），直线过定点（ 2， 0），过双曲线的左顶点，与已知矛盾 ； 第 19 页（共 22 页） 当 m= 时， l 的方程为 y=k（ x+ ），直线过定点（ ， 0），经检验符合已知条件 故直线 l 过定点，定点坐标为（ ， 0） 21设函数 f（ x） =（ 1+x） 2 21+x） （ 1）若关于 x 的不等式 f（ x） m 0 在 0， e 1（ e 为自然对数的底数） 上有实数解，求实数 m 的取值 范围； （ 2）设 g（ x） =f（ x） 1，若关于 x 的方程 g（ x） =p 至少有一个解，求 p 的 最小值 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求导，根据函数单调性求得函数 f（ x）的最大值，由 f（ x） m，即可求得 m 的取值范围； （ 2）求得 g（ x）的导函数 g（ x），求得函数的单调性与最值，从而求得 p 的最小值 【解答】 解：（ 1） ，且当 x 0 时， ， 在 0， e 1上有 f（ x） 0， f（ x） =（ 1+x） 2 21+x）在 0， e 1上单调递增， 得 ， 因为关于 x 的不等式 f（ x） m 0 在 0， e 1（ e 为自然对数的底数） 上有实数解， f（ x） m，即 m 2， 所以实数 m 的取值范围是（ ， 2 （ 2） g（ x） =f（ x） 1=2x 21+x）， ， ，在（ 1， 0）上 g（ x） 0，在（ 0， +）， g（ x） 0， g（ x） g（ 0） =0， x 的方程 g（ x） =p 至少有一个解， p 0， p 最小值为 0 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22（几何证明选讲选做题）已知 外角 平分线，交 延长线于点 D，延长 外接圆于点 F，连接 （ 1）求证： C； （ 2）若 接圆的直径， 20， ，求 长 【考点】 圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理 第 20 页（共 22 页） 【分析】 （ 1）证明 C，即证 用 分 边形 接于圆，可证得； （ 2）先计算得 0， 0， D=30，在 ，求 长，在