高中数学 121第2课时排列的综合应用课件 新人教A版选修23.ppt

课标要求 第2课时排列的综合应用 掌握几种有限制条件的排列 能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题 核心扫描 与数字有关的排列问题 难点 常见的解决排列问题的策略 重点 分类讨论在解题中的应用 易错点 1 2 1 2 3 应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 自学导引 想一想 当从正面直接解排列问题较为复杂时 应采用什么技巧进行求解 提示当直接求解较为复杂时 可考虑从反面入手 用间接法求解 无限制条件的排列应用题解决问题的方法是把问题转化为排列问题 弄清这里n个不同元素指的是什么 以及从n个不同元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情 即把要计算的数转化为一个排列数 直接利用排列数公式计算 有限制条件的排列应用题所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求 解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决 常用的方法有直接法和间接法 直接法又有分步法和分类法两种 1 直接法 名师点睛 1 2 分步法按特殊元素或特殊位置优先安排 再安排一般元素 位置 依次分步解决 特别地 当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排序 这种分步法称为 捆绑法 即 相邻元素捆绑法 当某些特殊元素要求不相邻时 可以先安排其他元素 再将这些不相邻元素插入空档 这种方法称为 插空法 即 不相邻元素插空法 分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决 即直接分类法 2 间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差 故求符合条件的种数时 可先求与其对应的不符合条件的种数 进而求解 即 间接法 题型一数字排列的问题 用0 1 2 9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数 1 五位奇数 2 大于30000的五位偶数 思路探索 利用两个计数原理及排列数公式解题 主要注意特殊元素 0 的位置 例1 规律方法排列问题的本质是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上 或某个位子上不排某个元素 解决此类问题的方法主要按 优先 原则 即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子 若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时 应分类讨论 用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个数字不重复的三位数 2 可以组成多少个数字允许重复的三位数 3 可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数 4 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数 5 可以组成多少个大于3000 小于5421的不重复的四位数 解 1 分三步 先选百位数字 由于0不能作百位数字 因此有5种选法 十位数字有5种选法 个位数字有4种选法 由分步乘法计数原理知所求三位数共有5 5 4 100 个 2 分三步 百位数字有5种选法 十位数字有6种选法 个位数字有6种选法 变式1 故所求三位数共有5 6 6 180 个 3 分三步 先选个位数字 有3种选法 再选百位数字 有4种选法 选十位数字也有4种选法 所以所求三位奇数共有3 4 4 48 个 4 分三类 一位数共有6个 两位数共有5 5 25 个 三位数共有5 5 4 100 个 因此 比1000小的自然数共有6 25 100 131 个 5 分四类 千位数字为3 4之一时 共有2 5 4 3 120 个 千位数字为5 百位数字为0 1 2 3之一时 共有4 4 3 48 个 千位数字为5 百位数字为4 十位数字为0 1之一时 共有2 3 6 个 还有5420也是满足条件的1个 故所求四位数共120 48 6 1 175 个 7名师生站成一排照相留念 其中老师1人 男学生4人 女学生2人 在下列情况下 各有多少种不同站法 1 两名女学生必须相邻而站 2 4名男学生互不相邻 3 若4名男学生身高都不等 按从高到低的顺序站 4 老师不站中间 女学生不站两端 思路探索 1 捆绑法 求解 2 插空法 求解 3 均分法 求解 4 特殊位置分类求解 题型二排队问题 例2 规律方法排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素 特殊位置外 还往往涉及相邻 不相邻 定序等问题 1 对于相邻问题 可采用 捆绑法 解决 即将相邻的元素视为一个整体进行排列 2 对于不相邻问题 可采用 插空法 解决 即先排其余的元素 再将不相邻的元素插入空中 3 对于定序问题 可采用 除阶乘法 解决 即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数 分别求出符合下列要求的不同排法的种数 1 6名学生排3排 前排1人 中排2人 后排3人 2 6名学生排成一排 甲不在排头也不在排尾 3 6人排成一排 甲 乙不相邻 变式2 从数字0 1 3 5 7中取出不同的三个数作系数 可以组成多少个不同的一元二次方程ax2 bx c 0 其中有实根的方程有多少个 审题指导 题型三排列的综合应用 例3 题后反思 该例的限制条件较隐蔽 需仔细分析 一元二次方程中a 0需要考虑到 而对有实根的一元二次方程需有 0 这里有两层意思 一是a不能为0 二是要保证b2 4ac 0 所以需先对c能否取0进行分类讨论 实际问题中 既要能观察出是排列问题 又要能搞清哪些是特殊元素 还要根据问题进行合理分类 分步 选择合适的解法 因此需做一定量的排列应用题 逐渐掌握解决问题的基本思想 从集合 1 2 3 20 中任选出3个不同的数 使这3个数成等差数列 这样的等差数列可以有多少个 解设a b c n 且a b c成等差数列 则a c 2b 即a c应是偶数 因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列 则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数 而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数 当第一个和第三个数选定后 中间数被唯一确定 因此 选法只有两类 变式3 正难则反思想在有限制条件的排列问题中有很明显的作用 限制条件问题的反面有时比较简明 所以我们往往选择从总数中去掉不符合要求的排列数 也就是 间接法 某天课程表要排入政治 语文 数学 物理 化学 体育共6门课程 如果第一节不排体育 最后一节不排数学 一共有多少种不同的排法 思路分析 本题可以采用特殊元素分析法 也可采用位置分析法 考虑在总数中除掉不符合条件的情况 方法技巧正难则反思想在排列中的应