同角三角函数的基本关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系式及诱导公式 回归课本 1 同角三角函数基本关系式平方关系 sin2 cos2 1 商数关系 tan 2 相关角的表示 1 终边与角 的终边关于原点对称的角可以表示为 2 终边与角 的终边关于x轴对称的角可以表示为 或2 3 终边与角 的终边关于y轴对称的角可以表示为 4 终边与角 的终边关于直线y x对称的角可以表示为 3 诱导公式 1 公式一sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan 其中k Z 2 公式二sin sin cos cos tan tan 3 公式三sin sin cos cos tan tan 4 公式四sin sin cos cos tan tan 5 公式五 6 公式六 即 k 2 k Z 的三角函数值 等于 的同名函数值 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 的正弦 余弦 函数值 分别等于 的余弦 正弦 函数值 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 总口诀为 奇变偶不变 符号看象限 其中 奇 偶 是指 k k Z 中k的奇偶性 符号 是把任意角 看作锐角时原函数值的符号 考点陪练 1 2010 全国 cos300 解析 cos300 cos 360 60 cos60 故选C 答案 C 答案 A 答案 B 4 点P tan2008 cos2008 位于 A 第二象限B 第一象限C 第四象限D 第三象限解析 2008 6 360 152 tan2008 tan152 tan28 0 cos2008 cos152 0 点P在第四象限 答案 C 答案 B 类型一利用同角三角函数基本关系式化简求值解题准备 本考点的试题难度不大 而对公式的应用要求准确 灵活 尤其是利用平方关系sin2 cos2 1及其变形形式sin2 1 cos2 或cos2 1 sin2 进行开方运算时 特别注意符号的判断 如果所给的三角函数值是字母给出的 且没有指定角在哪个象限 那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值 典例1 1 已知sin 且 为第二象限角 求tan 2 已知sin 求tan 3 已知sin m m 0 m 1 求tan 3 sin m m 0 m 1 cos 当 为第一 四象限角时取正号 当 为第二 三象限角时取负号 所以当 为第一 四象限角时 tan 当 为第二 三象限角时 tan 反思感悟 本例属同角三角函数关系式的基本题 关键是掌握住 先平方 后作商 的原则 先求与sin 的平方关系相联系的cos 再由公式求tan 在 3 中 为第四象限角 但tan 原因是m此时小于0 所以形式上tan 的表达式前面仍不带负号 类型二诱导公式及其应用解题准备 诱导公式起着变名 变角 变号的作用 应用诱导公式 着眼点应放在 角 上 重点是 函数名称 和 正负号 的判断 求任意角的三角函数值问题 都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题 具体步骤是 化负为正 化大为小 锐角求值 分析 显然应用到诱导公式 既可以直接从诱导公式中合理选用 也可以直接运用十字诀 一般来说用后一方法记忆负担较轻 3 1860 21 90 30 f 1860 cos 1860 cos 21 90 30 sin30 反思感悟 如何运用十字诀 可通过下例来体会 设 且 为锐角 则如图所示 可知 可看成是第二象限角 而在第二象限中余弦取负号 且k 3为奇数 cos cos 3 sin 类型三sin cos 与sin cos 关系的应用解题准备 利用sin2 cos2 1 可以得出如下结论 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 sin cos 2 2 sin cos 2 sin cos 2 4sin cos 对于sin cos sin cos sin cos 这三个式子 已知其中一个式子的值 可求其余二式的值 典例3 已知sinx cosx 求下列各式的值 1 sin3x cos3x 2 sin4x cos4x 3 tan2x cot2x 反思感悟 平方关系sin2x cos2x 1把sinx cosx sinxcosx联系起来 要灵活运用它们之间的变换 熟记立方和公式及和的立方公式 类型四关于sin 与cos 的二次齐次式的求值问题解题准备 这类已知某个三角函数值 求其余三角函数值的问题的常规思路是 利用同角间的三角函数关系 求出其余三角函数值 这就需要根据m的取值符号 确定 角所在的象限 再对它进行讨论 这样计算相当繁琐 而在这里灵活地运用 1 的代换 将所求值的式子的分子 分母同除以cosn 用tann 表示出来 从而简化了解题过程 我们应熟练掌握这种解法 更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证思想方法 反思感悟 形如asin bcos 和asin2 bsin cos ccos2 的式子分别称为关于sin cos 的一次齐次式和二次齐次式 对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用 错源一忽视隐含的平方关系 扩大解的范围而致错 A m 3 9 B m 5 3 C m 0 或m 8D m 8 错解 由已知有解得m 5或m 3 选B 剖析 条件给出了含有参数的正余弦的函数值 而参数值要受到正余弦的平方关系 sin2 cos2 1 的限制 而上述解法就忽视了这个制约关系 以致扩大了解的范围而错 答案 D 评析 如果在题设条件中出现了正余弦 则要注意利用它们之间的平方关系 错源二忽视角的范围 造成多解而致错 评析 解答关于含有 sin cos sin cos 的问题时 一般都要利用平方关系sin2 cos2 1 但必须注意对所求得的结果进行检验 否则会造成多解 技法一整体换元 典例1 已知sin 3cos 2 求的值 技法二快速解法 求根法 典例2 已知 0 且sin cos 是方程25x2 5x 12 0的两个根 求sin3 cos3 和tan cot 的值 解题切入点 由根与系数的关系入手 sin cos sin cos 将sin3 cos3 与tan cot 用sin cos sin cos 表示 分析思维过程 欲求sin3 cos3 的值需先分解因式 出现sin cos 和sin cos 的形式后 即可代入和求出值来 而tan cot 化为正弦 余弦之比后 同样可求出值来 方法与技巧 由题目的形式得知 很明确要利用根与系数的关系 将所求式表示成sin cos sin cos 的形式 求tan cot 时 必须化为 弦 否则用不上已求得的值 由于sin cos 是方程的根 一般地 很自然的想到根与系数的关系 其实此题直接求出两根更简单 得分主要步骤 只要求出两根的和