现 代 控 制 理 论第4章修改完成

第四章李雅普诺夫稳定性分析 1892年 李雅普诺夫 在 运动稳定性的一般问题 中系统的建立了运动稳定性理论 给出了运动稳定性的精确定义 李雅普诺夫第二法 直接法 对于一个动力学系统 如果随着系统的运动 其贮存的能量 能量函数 随着时间的增长而连续地减小 即能量对时间的导数 为负 直至趋于平衡状态而能量趋于极小值 则此系统是稳定的 李雅普诺夫第二法可归结为 在不直接求微分方程解的前提下 通过判断 广义能量函数 李雅普诺夫函数 及其导数的号性 给出系统平衡状态稳定性的信息 应用李氏稳定理论的关键在于能否找到一个合适的李氏函数 经验表明 在很多情况下 可取为二次型 李氏稳定理论既适用于线性系统 也适用于非线性系统 4 1基本定义 平衡状态对于系统对所有t 存在 则称 e为系统的平衡状态 对于线性定常系统 讨论稳定性无关输入u 当 为非奇异时 系统只存在一个平衡状态 即 0是唯一的平衡点 当 为奇异时 则系统存在无穷多个平衡状态 对于非线性系统 可有一个或多个平衡状态 任何平衡状态 总可通过坐标变换 将其移至坐标原点 即f 0 t 0 李雅普诺夫意义下的稳定性系统的平衡状态为 e f Xe t 0 在t t0时 有扰动使系统的初态为 0 产生初始偏差 0 Xe 则t t0后 系统的状态从 0开始发生变化 uclid范数 表示初始偏差都在以 为半径 以平衡状态 e为中心的闭球域S 中 同样 表示平衡状态偏差都在以 为半径 以平衡状态Xe为中心的闭球域S 中 如果对球域S 存在着一个球域S 使当t 时 从S 出发的轨迹不离开S 即有 则称平衡状态 e为在李雅普诺夫意义下稳定的 图a 如果平衡状态 e在李雅普诺夫意义下是稳定的 又当t 时 从 出发的轨迹都不离开 而且收敛于Xe 即有 则称平衡状态为渐近稳定的 图b 如果对状态空间中的任意点 不管初始偏差有多大 由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定特性 则称平衡状态 e为大范围渐近稳定的 大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中 只有一个平衡状态 如果线性定常系统是渐近稳定的 由于其有唯一解 因此它必定也是大范围渐近稳定的 当t 时 在球域 的某个状态 0出发的轨迹最终超越球域 则称平衡状态 e为不稳定的 图c 纯量函数号性广义能量函数通常是一个二次型纯量函数 当且仅当 0时 有 0 对任意非零 恒有 0则称V x 为正定 当 0时 有 0 对任意非零X 有 0 则称为正半定 或称准正定 当且仅当X 0时 有 0 对任意非零X 恒有 0 负定 当X 0时 有 0 对任意非零X 有 0 则负半定 准负定 如果无论取多么小的零点的邻域 可为负值 也可为负值 则称不定 二次型V x 正定性的Sylvester准则李雅普诺夫稳定性理论中的 广义能量函数 V x 通常为二次型 矩阵P为实对称矩阵 V x 的正定性可由Sylvester准则来确定 二次型V x 为正定的充分必要条件是矩阵P的所有主子行列式为正 即 若P是奇异矩阵 并且它的所有主子行列式为非负 则为正半定的 二次型V x 为负定的充分必要条件是矩阵P的所有主子行列式满足 i0 i为偶数 i 1 2 n 李雅普诺夫函数 广义能量函数的物理意义图示系统 质量M 弹簧刚度K 阻尼系数B 系统相对于平衡状态的位移为y 速度取状态变量x1 y 则有 表示系统的自由运动 为一齐次方程 系统在任一个瞬时的具有的总能量为 弹簧的势能 质量的动能 即 显然V x V x1 x2 是正定的 且V 0 0 0 而能量变化率 显然 无论x1 x2取何值 总是负定的 或负半定 若B 0 则 无能量损失 当初始位置偏离平衡位置足够小时 系统将在平衡点足够小的范围内作谐振 系统相对于平衡位置是稳定的 尽管是不断作谐振 若B 0 即B 0 此时 系统沿着其运动轨迹有 阻尼器不断消耗系统能量 总能量V x 不断减小 直至为零 物体趋向平衡位置 系统是渐近稳定的 可见李雅普诺夫函数就是力学系统的能量函数 但并非所有的系统都具有能量概念 如经济系统 生物系统和社会学系统等 因此有必要将上述能量函数的概念推广至系统的所谓李雅普诺夫函数 广义能量函数 的概念上来 4 2李雅普诺夫第二法稳定性分析基本定理 定理一 系统状态方程 且f 0 t 0 如果有连续一阶偏导的纯量函数存在 且满足以下条件 1 V X t 是正定的 2 是负定的 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的 如果随着 X 时 有V X t 则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的 例4 1系统方程为 试确定系统的稳定性解 显然 原点 0 0 为系统唯一的一个平衡状态 若取 V X 为正定 则 显然是负定的 又由于 X 时 因此系统在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的 定理二 系统状态方程 且f 0 t 0 如果有一纯量函数V X 它具有连续的一阶偏导数 且满足 1 V X t 是正定的 2 是负半定的 3 在X 0时不恒等于0则系统在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的 例4 2系统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性 解 显然 原点 0 0 为系统的唯一平衡状态 若取 V X 为正定 则 x1 0 x2 0时 当x1 0 x2 0时 x2 0时 因此是负半定的 反推论 若恒等于零 则x2必为零 这就要求 由于 故x1也必须等于零 这就是说 V X 只有在原点处才恒等于零 因此由定理二 原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的 对该例 可另取 正定 负定 又因 X 时 有V X 由定理一 原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的 可见 选取不同的李氏函数 可得出相同的结论 可简化分析 定理三 系统状态方程 且f 0 t 0 如果有一纯量函数V X 它具有连续的一阶偏导数 且满足 1 V X 是正定的 2 对任意X恒为零 则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的 但非渐近稳定的 这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上 即所谓极限环 试确定系统平衡状态的稳定性 解 显然 原点 0 0 为平衡状态 取 则 例4 3 系统如图 方程为 K 0 正定 可见 在任意X值上均可保持为零 则系统在李雅普诺夫意义下是稳定的 但不是渐进稳定的 存在着极限环 事实上 该系统在古典的控制理论中属结构不稳定的 因其闭环传递函数 为使系统变为渐进稳定 现考虑非齐次状态方程 为使系统渐进稳定 可使设 其中是根据希望的响应选取的常数 这样便符合定理一 上述方法 就是通常采用的所谓速度反馈 必须注意 上述定理只是给出了系统稳定的充分条件 尚未给出必要条件 即对给定的系统如果可以找到满足条件的李雅普诺夫函数 则系统必定是稳定的 但是如果找不到这样的李雅普诺夫函数 即不定 也并不意味着系统是不稳定的 定理四 系统状态方程 且如果有一纯量函数 它具有连续一阶偏导数 且满足1 在原点的某一邻域内是正定的 2 在同样的邻域内是正定的 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的 4 3线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 线性定常系统状态方程 若矩阵A是非奇异的 则唯一的平衡状态在原点处取一个可能的二次型李雅普诺夫函数 式中P是一个正定的Hermitian阵 实对称矩阵 沿导数的轨迹为 对于系统渐进稳定性 要求是负定的则必须有式中系统在平衡渐近稳定的充要条件是Q阵为正定的 则就是该系统的李雅普诺夫函数 注 1 若沿任意轨迹不恒等于零 则Q可取正半定的 2 由Q确定的P 则P的正定性是系统在平衡状态X 0渐进稳定的充分必要条件 3 只要矩阵Q选为正定的 或根据具体情况选为正半定的 则最终结果与矩阵Q的选择无关 可选Q I 则满足渐进稳定的充分必要条件为 由此检验矩阵P是否为正定的 例 控制系统如图 其状态方程为 可见 原点是唯一的平衡状态 试确定该系统的稳定性 解 该可能的李雅普诺夫函数为 式中 矩阵P满足 即 即 解得 即 根据Sylvester准则 有 所以矩阵P是正定 系统在原点处的平衡状态是在大范围渐近稳定的 该系统的李雅普诺夫函数为 4 4线性定常离散系统稳定性分析 定理五 离散时间系统的状态方程为 在处的平衡状态为渐近稳定的充要条件是 对于任意给定的Hermitian矩阵 实对称矩阵 Q 存在一个正定的Hermitian矩阵P 使得 则系统的李雅普诺夫函数便是 证明 设可能的