1.3一元二次方程的根与系数的关系同步训练含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2016 年苏科新版九年级数学上册同步测试： 元二次方程的根与系数的关系 一、选择题（共 11 小题） 1关于 x 的一元二次方程 n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论： 这两个方程的根都负根； （ m 1） 2+（ n 1） 2 2； 1 2m 2n 1，其中正确结论的个数是（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2已知实数 足 x1+， 2，则以 根的一元二次方程是（ ） A 7x+12=0 B x+12=0 C x 12=0 D 7x 12=0 3若关于 x 的方程 x+a=0 有一个根为 1，则另一个根为（ ） A 2 B 2 C 4 D 3 4已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 2， ，则 m+n 的值是（ ） A 10 B 10 C 6 D 2 5设 一元二次方程 2x 3=0 的两根，则 ） A 6 B 8 C 10 D 12 6设 方程 x 3=0 的两个根，则 值是（ ） A 19 B 25 C 31 D 30 7一元二次方程 x 3=0 的两根为 x1值是（ ） A 4 B 4 C 3 D 3 8若 一元二次方程 0x+16=0 的两个根，则 x1+值是（ ） A 10 B 10 C 16 D 16 9若关于 x 的一元二次方程的两个根为 ， ，则这个方程是（ ） A x 2=0 B 3x+2=0 C 2x+3=0 D x+2=0 10已知 一元二次方程 4x+1=0 的两个实数根，则 x1于（ ） A 4 B 1 C 1 D 4 11（ 2014南昌）若 ， 是方程 2x 3=0 的两个实数根，则 2+2 的值为（ ） A 10 B 9 C 7 D 5 二、填空题（共 18 小题） 12若 m， n 是方程 x2+x 1=0 的两个实数根，则 m+n 的值为 第 2 页（共 16 页） 13已知一元二次方程 4x 3=0 的两根为 m， n，则 mn+ 14如果 m， n 是两个不相等的 实数，且满足 m=3， n=3，那么代数式 2n2m+2015= 15已知关于 x 的方程 6x+k=0 的两根分别是 满足 + =3，则 k 的值是 16若方程 2x 1=0 的两根分别为 x1+值为 17已知 是关于 x 的一元二次方程 4x+c=0 的一个根，则方程的另一个根 18如果关于 x 的一元二次方程 bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为 “倍根方程 ”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号） 方程 x 2=0 是倍根方程 若（ x 2）（ mx+n） =0 是倍根方程，则 4mn+； 若点（ p， q）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 x+q=0 是倍根方程； 若方程 bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 M（ 1+t， s）， N（ 4 t， s）都在抛物线 y=bx+c 上，则方程 bx+c=0 的一个根为 19已知方程 2x 3=0 的两根分别为 x1+值等于 20若矩形的长和宽是方程 216x+m=0（ 0 m 32）的两根，则矩形的周长为 21已知关于 x 的一元二次方程 m+3） x+m+1=0 的两个实数根为 ，则 m 的值为 22已知实数 m， n 满足 3m 5=0， 3n 5=0，且 m n，则 = 23已知方程 x2+=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 ， m 的值是 24设 一元二次方程 5x 1=0 的两实数根，则 值为 25已知 x=4 是一元二次方程 3x+c=0 的一个根，则另一个根为 26若关于 x 的方程 k 2） x+ 的两根互为倒数，则 k= 27）若一元二次方程 x 1=0 的两根分别为 + = 28若 、 是方程 2x 3=0 的两个实数根，则 2+2= 29若关于 x 的一元二次方程 a+5） x+8a=0 的两个实数根分别为 2 和 b，则 三、解答题（共 1 小题） 30已知实数 a， b 是方程 x 1=0 的两根，求 + 的值 第 3 页（共 16 页） 2016 年苏科新版九年级数学上册同步测试： 元二次方程的根与系数的关系 参考答案与试题解析 一、选择题（共 11 小题） 1关于 x 的一元二次方程 n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论： 这两个方程的根都负根； （ m 1） 2+（ n 1） 2 2； 1 2m 2n 1，其中正确结论的个数是（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【专题】压轴题 【分析】 根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数； 根据根的判别式，以及题意可以得出 2n 0 以及 2m 0，进而得解； 可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解 【解答】解： 两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有， x1n 0， y1m 0， y1+ 2n 0， x1+ 2m 0， 这两个方程的根都为负根， 正确； 由根判别式有： =48n 0， =48m 0， 48n 0， 48m 0， 2n 0， 2m 0， 2m+1+2n+1=2n+2m+2 2， （ m 1） 2+（ n 1） 2 2， 正确； 由根与系数关系可得 2m 2n=y1+ ）（ ） 1， 由 为负整数，故（ ） （ ） 0，故 2m 2n 1， 同理可得： 2n 2m=x1+ ）（ ） 1，得 2n 2m 1，即 2m 2n 1，故 正确 故选： D 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有一定的难度，注意总结 第 4 页（共 16 页） 2已知实数 足 x1+， 2，则以 根的一元二次方程是（ ） A 7x+12=0 B x+12=0 C x 12=0 D 7x 12=0 【考点】根与系数的关系 【分析】根据以 根的一元二次方程是 x1+x+，列出方程进行判断即可 【解答】解：以 根的一元 二次方程 7x+12=0， 故选： A 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以 根的一元二次方程是 x1+x2）x+ 是具体点关键 3若关于 x 的方程 x+a=0 有一个根为 1，则另一个根为（ ） A 2 B 2 C 4 D 3 【考点】根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出 a 的值和另一根 【解答】解：设一元二次方程的另一根为 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得 1+ 3， 解 得： 2 故选 A 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程 bx+c=0 的两根为 x1+ ，x1 4已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 2， ，则 m+n 的值是（ ） A 10 B 10 C 6 D 2 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系得出 2+4= m， 2 4=n，求出即可 【解答】解： 关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 2， ， 2+4= m， 2 4=n， 解得： m= 2， n= 8， m+n= 10， 故选 A 第 5 页（共 16 页） 【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出 2+4= m， 2 4=n 是解此题的关键 5设 一元二次方程 2x 3=0 的两根，则 ） A 6 B 8 C 10 D 12 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+， x1 3，再变形 到（ x1+2 2x1后利用代入计算即可 【解答】解： 一元二次方程 2x 3=0 的两根是 x1+， x1 3， x1+2 2x12 2 （ 3） =10 故选 C 【点评】本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1+ ， x1 6设 方程 x 3=0 的两个根，则 值是（ ） A 19 B 25 C 31 D 30 【考点】根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得 和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解 【解答】解： 方程 x 3=0 的两个根， x1+ 5， 3， x1+2 25+6=31 故选： C 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的 关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 7一元二次方程 x 3=0 的两根为 x1值是（ ） A 4 B 4 C 3 D 3 【考点】根与系数的关系 第 6 页（共 16 页） 【专题】计算题 【分析】根据根与系数的关系求解 【解答】解： x1 3 故选 D 【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为 1，则常用以下关系： 一元二次方程bx+c=0（ a 0）的两根时， x1+ ， 8若 一元二次方程 0x+16=0 的两个根，则 x1+值是（ ） A 10 B 10 C 16 D 16 【考点】根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可 【解答】解： 元二次方程 0x+16=0 两个根， x1+ 10 故选： A 【点评】此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系： x1+ ， 9若关于 x 的一元二次方程的两个根为 ， ，则这个方程是（ ） A x 2=0 B 3x+2=0 C 2x+3=0 D x+2=0 【考点】根与系数的关系 【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是 1+2=3，两实数根的积是 1 2=2解题时检验两根之和 是否为 3 及两根之积 是否为 2 即可 【解答】解：两个根为 ， 则两根的和是 3，积是 2 A、两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项不正确； B、两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项正确； C、两根之和等于 2，两根之积等于 3，所以此选项不正确； D、两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项不正确， 故选： B 【点评】验算时要注意方程中各项系数的正负 第 7 页（共 16 页） 10已知 一元二次方程 4x+1=0 的两个实数根，则 x1于（ ） A 4 B 1 C 1 D 4 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】直接根据根与系数的关系求解 【解答】解：根据韦达定理得 x1 故选： C 【点评】本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1+ ， x1 11若 ， 是方程 2x 3=0 的两个实数根，则 2+2 的值为（ ） A 10 B 9 C 7 D 5 【 考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系求得 +=2， = 3，则将所求的代数式变形为（ +） 2 2，将其整体代入即可求值 【解答】解： ， 是方程 2x 3=0 的两个实数根， +=2， = 3， 2+2=（ +） 2 2=22 2 （ 3） =10 故选： A 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 二、填空题（共 18 小题） 12若 m， n 是方程 x2+x 1=0 的两个实数根，则 m+n 的 值为 0 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】由题意 m 为已知方程的解，把 x=m 代入方程求出 m2+m 的值，利用根与系数的关系求出 m+n 的值，原式变形后代入计算即可求出值 【解答】解： m， n 是方程 x2+x 1=0 的两个实数根， 第 8 页（共 16 页） m+n= 1， m2+m=1， 则原式 =（ m2+m） +（ m+n） =1 1=0， 故答案为： 0 【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键 13已知一元二次方程 4x 3=0 的两根为 m， n，则 mn+25 【考点】根与系数的关系 【分析】由 m 与 n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出 m+n 与 值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值 【解答】解： m， n 是一元二次方程 4x 3=0 的两个根， m+n=4， 3， 则 mn+ m+n） 2 36+9=25 故答案为： 25 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 14如果 m， n 是两个不相等的实数， 且满足 m=3， n=3，那么代数式 2m+2015= 2026 【考点】根与系数的关系 【分析】由于 m， n 是两个不相等的实数，且满足 m=3， n=3，可知 m， n 是 x 3=0 的两个不相等的实数根则根据根与系数的关系可知： m+n=1， 3，又 n2=n+3，利用它们可以化简 2n2m+2015=2（ n+3） m+2015=2n+6 m+2015=2（ m+n） 021，然后就可以求出所求的代数式的值 【解答】解：由题意可知： m， n 是两个不相等的实数，且满足 m=3， n=3， 所以 m， n 是 x 3=0 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知： m+n=1， 3， 又 n2=n+3， 则 2m+2015 =2（ n+3） m+2015 =2n+6 m+2015 =2（ m+n） 021 第 9 页（共 16 页） =2 1（ 3） +2021 =2+3+2021 =2026 故答案为： 2026 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值 15已知关于 x 的方程 6x+k=0 的两根分别是 满足 + =3，则 k 的值是 2 【考点】根与系数的关系 【分析】找出一元二次方程的系数 a， b 及 c 的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代 入，即可求出所求式子的值 【解答】解： 6x+k=0 的两个解分别为 x1+， k， + = = =3， 解得： k=2， 故答案为： 2 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键 16若方程 2x 1=0 的两根分别为 x1+值为 3 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+， 1，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意得 x1+， 1， 所以 x1+（ 1） =3 故答案为 3 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的两根时， x1+， 17已知 是关于 x 的一元二次方程 4x+c=0 的一个根，则方程的另一个根 1 第 10 页（共 16 页） 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根 【解答】解：设方程的另一个根是 ： 3+， 解得 x=1， 故另一个根是 1 故答案为 1 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根 18如果关于 x 的一元二次方程 bx+c=0 有两个实数根 ，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为 “倍根方程 ”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号） 方程 x 2=0 是倍根方程 若（ x 2）（ mx+n） =0 是倍根方程，则 4mn+； 若点（ p， q）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 x+q=0 是倍根方程； 若方程 bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 M（ 1+t， s）， N（ 4 t， s）都在抛物线 y=bx+c 上，则方程 bx+c=0 的一个根为 【考点】根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】压轴题；新定义 【分析】 解方程 x 2=0 得： ， 1，得到方程 x 2=0 不是倍根方程，故 错误； 由（ x 2）（ mx+n） =0 是倍根方程，且 ， ，得到 = 1，或 = 4， m+n=0 或 4m+n=0 于是得到 4mn+ 4m+n）（ m+n） =0，故 正确； 由点（ p， q）在反比例函数 y= 的图象上，得到 ，解方程 x+q=0 得： ， ，故 正确； 由方程 bx+c=0 是倍根方程，得到 相异两点 M（ 1+t， s）， N（ 4 t， s）都在抛物线 y=bx+c 上， 得到抛物线的对称轴 x= = = ，于是求出 ，故 错误 【解答】解： 解方程 x 2=0 得： ， 1， 方程 x 2=0 不是倍根方程，故 错误； （ x 2）（ mx+n） =0 是倍根方程，且 ， ， 第 11 页（共 16 页） = 1，或 = 4， m+n=0， 4m+n=0， 4mn+ 4m+n）（ m+n） =0，故 正确； 点（ p， q）在反比例函数 y= 的图象上， ， 解方程 x+q=0 得： ， ， 正确； 方程 bx+c=0 是倍根方程， 设 相异两点 M（ 1+t， s）， N（ 4 t， s）都在抛物线 y=bx+c 上， 抛物线的对称轴 x= = = ， x1+， ， ，故 错误 故答案为： 【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解 “倍根方程 ”的定义是解题的关键 19已知方程 2x 3=0 的两根分别为 x1+值等于 2 【考点】根与系数的关系 【分析】根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可 【解答】解： 方程 2x 3=0 的两根分别为 x1+ = 2， 故答案为： 2 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键 20若矩形的长和宽是方程 216x+m=0（ 0 m 32）的两根，则矩形的周长为 16 第 12 页（共 16 页） 【考点】根与系数的关系；矩形的性质 【分析】设矩形的长和宽分别为 x、 y，由矩形的长和宽是方程 216x+m=0（ 0 m 32）的两个根，根据一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系得到 x+y=8； 然后利用矩形的性质易求得到它的周长 【解答】解：设矩形的长和宽分别为 x、 y， 根据题意得 x+y=8； 所以矩形的周长 =2（ x+y） =16 故答案为： 16 【点评】本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为 x1+ ， x1也考查了矩形的性质 21已知关于 x 的一元二次方程 m+3） x+m+1=0 的两个实数根 为 ，则 m 的值为 1 或 3 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【分析】利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解 【解答】解： 这个方程的两个实数根为 x1+（ m+3）， x1x2=m+1， 而 ， （ x1+2 2x1， （ m+3） 2 2m 2=4， m+9 2m 6=0， m+3=0， m= 1 或 3， 故答案为： 1 或 3 【点评】本题 主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析 22已知实数 m， n 满足 3m 5=0， 3n 5=0，且 m n，则 = 【考点】根与系数的关系 第 13 页（共 16 页） 【分析】由 m n 时，得到 m， n 是方程 3x 5=0 的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解 【解答】 解： m n 时，则 m， n 是方程 3x 5=0 的两个不相等的根， m+n= 2， 原式 = = = = ， 故答案为： 【点评】本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系： 一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的两根时， x1+ ， 23（ 2015南京）已知方程 x2+=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 3 ， m 的值是 4 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是 m，两个根的积是 3，即可求解 【解答】解：设方程的另一个解是 a，则 1+a= m， 1 a=3， 解得： m= 4， a=3 故答案是： 3， 4 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键 24设 一元二次方程 5x 1=0 的两实数根，则 值为 27 【考点】根与系数的关系 【分析】首先根据根与系数的关系求出 x1+， 1，然后把 化为 x1+2 2后整体代值计算 【解答】解： 一元二次方程 5x 1=0 的两实数根 ， x1+， 1， x1+2 25+2=27， 故答案为： 27 【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大 25已知 x=4 是一元二次方程 3x+c=0 的一个根，则另一个根为 1 【考点】根与系数的关系 第 14 页（共 16 页） 【专题】计算题 【分析】另一个根为 t，根据根与系数的关系得到 4+t=3，然后解一次方程即可 【解答】解：设另一个根为 t， 根据题意得 4+t=3， 解 得 t= 1， 即另一个根为 1 故答案为 1 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的两根时， x1+， 26若关于 x 的方程 k 2） x+ 的两根互为倒数，则 k= 1 【考点】根与系数的关系 【专题】判别式法 【分析】根据已知和根与系数的关系 得出 ，求出 k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的 k 的值 【解答】解： 根互为倒数， ， 解得 k=1 或 1； 方