高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第八章 第六节空间图形的垂直关系精讲课件 文.ppt

第六节空间图形的垂直关系 第八章 例1 2012 福建卷 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 m为棱dd1上的一点 1 求三棱锥a mcc1的体积 2 当a1m mc取得最小值时 求证 b1m 平面mac 直线与平面垂直的证明 自主解答 2 证明 将侧面cdd1c1绕dd1逆时针转90 展开 与侧面add1a1共面 如图 当a1 m c 共线时 a1m mc取得最小值 由ad cd 1 aa1 2 得m为dd1中点 连接c1m 在 c1mc中 mc1 mc cc1 2 所以cc mc mc2 得 cmc1 90 即cm mc1 又由长方体abcd a1b1c1d1知 b1c1 平面cdd1c1 所以b1c1 cm 又b1c1 c1m c1 所以cm 平面b1c1m 得cm b1m 同理可证 b1m am 又am mc m 所以b1m 平面mac 点评 证明直线与平面的垂直 除了使用线面垂直的判定定理外 还有一些结论可以使用 1 两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 一条直线垂直于两个平行平面中的一个 则也垂直于另一个 3 利用面面垂直的性质定理 1 如图 正方形abcd所在平面与三角形cde所在平面相交于cd ae 平面cde 且ae 3 ab 6 1 求证 ab 平面ade 2 求凸多面体abcde的体积 变式探究 1 证明 ae 平面cde cd 平面cde ae cd 在正方形abcd中 cd ad ad ae a且ad ae 平面ade cd 平面ade ab cd ab 平面ade 2 解析 法一 在rt ade中 ae 3 ad 6 de 3 过点e作ef ad于点f ab 平面ade ef 平面ade ef ab ad ab a ef 平面abcd ad ef ae de 连接bd 则凸多面体abcde分割为三棱锥bcde和三棱锥bade 由 1 知 cd de 又ab cd ab 平面cde cd 平面cde ab 平面cde 点b到平面cde的距离为ae的长度 两直线垂直的证明 例2 2013 潮州二模 如图所示 已知ab为圆o的直径 点d为线段ab上一点 且ad db 点c为圆o上一点 且bc ac 点p在圆o所在平面上的正投影为点d pd db 1 求证 pa cd 2 求二面角cpba的余弦值 思路点拨 1 先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直 由线线垂直 线面垂直 再由线面垂直 线线垂直 2 通过作出二面角的平面角 证明符合定义 再在三角形中求解 自主解答 1 证明 连接oc 由3ad bd知 点d为ao的中点 又因为ab为圆的直径 所以ac bc 因为ac bc 所以 cab 60 所以 aco为等边三角形 所以cd ao 因为点p在圆o所在平面上的正投影为点d 所以pd 平面abc 又cd 平面abc 所以pd cd pd ao d 所以cd 平面pab pa 平面pab 所以pa cd 2 解析 过点d作de pb 垂足为e 连接ce 由 1 知cd 平面pab 又pb 平面pab 所以cd pb 又de cd d 所以pb 平面cde 又ce 平面cde 所以ce pb 所以 dec为二面角c pb a的平面角 由 1 可知cd pd bd 3ad 点评 证明两直线垂直的方法 1 两条平行直线中的一条和第三条直线垂直 则另一条也和第三条直线垂直 2 利用 线面垂直的定义 即 一条直线垂直于一个平面 则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线 变式探究 2 2013 安徽卷 如图 四棱锥的底面是边长为2的菱形 bad 60 已知pb pd 2 pa 1 证明 pc bd 2 若e为pa的中点 求三棱锥pbce的体积 1 证明 连接bd ac交于o点 pb pd po bd 又 abcd是菱形 bd ac 而ac po o bd 面pac bd pc 例3 如图 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 平面与平面垂直的证明 思路点拨 1 证明de da 可以通过图形分割 证明三角形全等 2 证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面 由 1 知dm ea 取ac中点n 连接mn nb 易得四边形mnbd是矩形 从而证明dm 平面eca 证明 1 如图所示 取ec中点f 连接df ec 平面abc bd ce 得db 平面abc db ab ec bc bd ce bd ce fc 则四边形fcbd是矩形 df ec 又ba bc df rt def rt adb de da 2 如右图所示 取ac中点n 连接mn nb m是ea的中点 可得四边形mnbd是矩形 于是dm mn de da m是ea的中点 dm ea 又ea mn m dm 平面eca 而dm 平面bdm 则平面eca 平面bdm 3 由 2 知dm 平面eca dm 平面dea 平面dea 平面eca 点评 面面垂直的证明方法 1 利用 面面垂直的定义 2 利用面面垂直的判定定理 变式探究 3 2013 江门一模 如图 ab是圆o的直径 c是圆o上除a b外的一点 aed在平面abc的投影恰好是 abc 已知cd be ab 4 tan eab 1 证明 平面ade 平面acd 2 当三棱锥cade体积最大时 求三棱锥cade的高 1 证明 因为ab是直径 所以bc ac 因为 abc是 aed的投影 所以cd 平面abc 则cd bc 因为cd ac c 所以bc 平面acd 因为cd 平面abc be 平面abc 所以cd be 又因为cd be 所以bcde是平行四边形 所以bc de 则de 平面acd 因为de 平面ade 所以平面ade 平面acd 面面垂直性质的运用 例4 如图 正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直 ad cd ab cd cd 2ab 2ad 1 求证 bc be 2 在ec上找一点m 使得bm 平面adef 请确定m点的位置 并给出证明 bdc为等腰直角三角形 bd bc 又 bc de bc 平面bde bc be 2 解析 取ec中点m 则有bm 平面adef 证明如下 连接mn 由 1 知bn ad bn 平面adef 又 m n分别为ce cd的中点 mn de 则mn 平面adef 平面bmn 平面adef bm 平面adef 点评 面面垂直的性质常用来证明线面垂直 变式探究 4 2013 江苏卷 如图 在三棱锥sabc中 平面sab 平面sbc ab bc as ab 过a作af sb 垂足为f 点e g分别是侧棱sa sc的中点 求证 1 平面efg 平面abc 2 bc sa 证明 1 e g分别是侧棱sa sc的中点 eg ac ac在平面abc中 eg在平面外 eg 平面abc as ab af sb f为sb中点 ef ab ab在平面abc中 ef在平面外 ef 平面abc ef与eg相交于e ef eg在平面efg中 平面efg 平面abc 2 平面sab 平面sbc sb为交线 af在平面sab中 af sb af 平面sbc af bc bc ab af与ab相交于a af ab在平面sab中 bc 平面sab bc sa 空间线面关系的探索性问题 例5 在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中 e f g分别为棱bb1 dd1和cc1的中点 1 求证 c1f 平面deg 2 求三棱锥d1a1ae的体积 3 试在棱cd上求一点m 使d1m 平面deg 思路点拨 1 连接dg 证明c1f dg 再用线面平行的判定定理证明 2 确认a1d1是三棱锥的高 3 不论点m在线段cd上的什么位置 都有eg d1m 因此只需在cd上确定点m 使得d1m dg即可 1 证明 在正方体abcda1b1c1d1中 f g分别为棱dd1和cc1的中点 df gc1 且df gc1 四边形dgc1f是平行四边形 c1f dg 又c1f 平面deg dg 平面deg c1f 平面deg 2 解析 在正方体abcda1b1c1d1中 有a1d1 平面aa1e a1d1是三棱锥d1a1ae的高 a1d1 1 3 解析 当m为棱cd的中点时 有d1m 平面deg 理由如下 在正方体abcda1b1c1d1中 有bc 平面cdd1c1 又 d1m 平面cdd1c1 bc eg eg d1m 又 m为cd的中点 tan gdc tan md1d gdc md1d md1d d1dg gdc d1dg 90 dd1m 90 d1m dg 又dg eg g d1m 平面deg 点评 第 1 题也可以用面面平行的性质定理来证明 连接b1f 则可证明平面b1c1f 平面deg 第 2 题也可以将平面aa1d1作为底面 e到aa1的距离为高 求得体积 第 3 题是探索性问题 常采用根据题设条件和结论 猜出要探索的结论 再证明其正确性 变式探究 5 2013 茂名一模 如图 多面体abcde中 ab 平面acd de 平面acd ab cd 1 ac ad de 2 g为ad的中点 1 求证 ac ce 2 在线段ce上找一点f 使得bf 平面acd 并给予证明 3 求三棱锥vg bce的体积 1 证明 de 平面acd de ac ac cd 1 ad 2 ad2 ac2 cd2 ac cd cd de d ac 平面cde ac