2008年高考数学(理)试题及答案详解(山东卷)

20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 理科数学理科数学 第 卷 共第 卷 共 60 分 分 参考公式 参考公式 球的表面积公式 球的表面积公式 S 4 R2 其中 其中 R 是球的半径是球的半径 如果事件如果事件 A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 p 那么 那么 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 恰好发生恰好发生 k 次次 的概率 的概率 Pn k C k np k 1 p n k k 0 1 2 n 如果事件如果事件 A B 互斥 那么互斥 那么 P A B P A P B 如果事件如果事件 A B 相互独立 那么相互独立 那么 P AB P A P B 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 在每小题给出的四个 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 满足 M a1 a2 a3 a4 且 M a1 a2 a3 a1 a2 的集合 M 的个数是 A 1 b 2 C 3 D 4 2 设 z 的共轭复数是z 若 z z 4 z z 8 则 z z 等于 A i B i C 1 D i 3 函数 y lncosx 2 x 2 的图象是 4 设函数 f x x 1 x a 的图象关于直线 x 1 对称 则 a 的值为 A 3 B 2 C 1 D 1 5 已知 cos 6 sin 47 3 sin 56 则的值是 A 5 32 B 5 32 C 5 4 D 5 4 6 右图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几 何体的表面积是 A 9 B 10 C 11 D 12 7 在某地的奥运火炬传递活动中 有编号为 1 2 3 18 的 18 名火炬手 若从中任选 3 人 则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列 的概率为 A 51 1 B 68 1 C 306 1 D 408 1 8 右图是根据 山东统计年鉴 2007 中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎 叶图 图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字 右边的数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字 从图中可以 得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数 的平均数为 A 304 6 B 303 6 C 302 6 D 301 6 9 X 3 1 x 12展开式中的常数项为 A 1320 B 1320 C 220 D 220 10 设椭圆 C1的离心率为 13 5 焦点在X轴上且长轴长为 26 若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两 个焦点的距离的差的绝对值等于 8 则曲线 C2的标准方程为 A 1 34 2 2 2 2 yx B 1 513 2 2 2 2 yx C 1 43 2 2 2 2 yx D 1 1213 2 2 2 2 yx 11 已知圆的方程为X2 Y2 6X 8Y 0 设该圆过点 3 5 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD 则四边形 ABCD 的面积为 A 106 B 206 C 306 D 406 12 设二元一次不等式组 0142 08 0192 yx yx yx 所表示的平面区域为 M 使函数 y ax a 0 a 1 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 10 C 2 9 D 10 9 29 1158 30 26 31 0247 第 卷 共第 卷 共 90 分 分 二 填空题 本二 填空题 本大题共大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分分 13 执行右边的程序框图 若 p 0 8 则输出的 n 14 设函数 f x ax2 c a 0 若 0 1 0 xfdxxf 0 x0 1 则 x0的值为 3 3 15 已知 a b c 为 ABC 的三个内角 A B C 的对边 向 量 m 1 3 n cosA sinA 若 m n 且 acosB bcosA csinC 则角 B 16 若不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有 1 2 3 则 b 的取值范围为 5 7 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分分 17 本小题满分 12 分 已知函数 f x 0 0 cos sin 3 xx为偶函数 且函数 y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为 2 求 f 8 的值 将函数 y f x 的图象向右平移 6 个单位后 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 原来的 4 倍 纵坐标不变 得到函数 y g x 的图象 求 g x 的单调递减区间 18 本小题满分 12 分 甲乙两队参加奥运知识竞赛 每队 3 人 每人回答一个问题 答对者为本队赢得一分 答错得零分 假设甲队中每人答对的概率均为 3 2 乙队中 3 人答对的概率分别为 2 1 3 2 3 2 且各人回答正确与否相互之间没有影响 用 表示甲队的总得分 求随机变量 分布列和数学期望 用 A 表示 甲 乙两个队总得分之和等于 3 这一事件 用 B 表示 甲队总得分大于 乙队总得分 这一事件 求 P AB 19 本小题满分本小题满分 12 分分 将数列 an 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数 a1 a2 a4 a7 构成的数列为 bn b1 a1 1 Sn为数列 bn 的前 n 项 和 且满足 n Nn n SSb b 2 2 1 n 2 证明数列 n S 1 成等差数列 并求数列 bn 的通项公式 上表中 若从第三行起 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 且公 比为同一个正数 当 91 4 81 a时 求上表中第 k k 3 行所有项的和 20 本小题满分本小题满分 12 分分 如图 已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD 为菱形 PA 平面 ABCD 60ABC E F 分别是 BC PC 的中点 证明 AE PD 若 H 为 PD 上的动点 EH 与平面 PAD 所成最大角的正 切值为 6 2 求二面角 E AF C 的余弦值 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 ln 1 1 n f xax x 其中n N a为常 数 当 n 2 时 求函数 f x 的极值 当 a 1 时 证明 对任意的正整数 n 当 x 2 时 有 f x x 1 22 本小题满分 14 分 如图 设抛物线方程为 x2 2py p 0 M 为 直线 y 2p 上任意 一点 过 M 引抛物线的切线 切点分别为 A B 求证 A M B 三点的横坐标成等差数列 已知当 M 点的坐标为 2 2p 时 4 10AB 求此时抛物线的方程 是否存在点 M 使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在 抛物线 2 2 0 xpy p 上 其中 点 C 满足OCOA OB O 为坐标原点 若存在 求出所有适合题意的点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 理科数学理科数学 参考答案参考答案 第 卷 共第 卷 共 60 分 分 参考公式 参考公式 球的表面积公式 球的表面积公式 S 4 R2 其中 其中 R 是球的半径是球的半径 如果事件如果事件 A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 p 那么 那么 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 恰好发生恰好发生 k 次次 的概率 的概率 Pn k C k np k 1 p n k k 0 1 2 n 如果事件如果事件 A B 互斥 那么互斥 那么 P A B P A P B 如果事件如果事件 A B 相互独立 那么相互独立 那么 P AB P A P B 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的选项中 只有一项是符合题目要求的 1 B 2 D 3 A 4 A 5 C 6 D 7 B 8 B 9 C 10 A 11 B 12 C 第 卷 共第 卷 共 90 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分分 13 4 14 3 3 15 6 16 5 7 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分分 17 解 f x cos sin 3 xx cos 2 1 sin 2 3 2 xx 2sin x 6 因为 f x 为偶函数 所以 对 x R f x f x 恒成立 因此 sin x 6 sin x 6 即 sinx cos 6 cosx sin 6 sinx cos 6 cosx sin 6 整理得 sinx cos 6 0 因为 0 且 x R 所以 cos 6 0 又因为 0 故 6 2 所以 f x 2sin x 2 2cosx 由题意得 2 2 2 2 所以 故 f x 2cos2x 因此 2 4 cos2 8 f 将 f x 的图象向右平移个 6 个单位后 得到 6 xf的图象 再将所得图象横坐标 伸长到原来的 4 倍 纵坐标不变 得到 46 x f 的图象 2cos 2 2cos 464623 xxx g xff 所以 当 2k 23 x 2 k k Z 即 4k 3 2 x 4k 3 8 k Z 时 g x 单调递减 因此 g x 的单调递减区间为 3 8 4 3 2 4 kk k Z 18 本小题满分 12 分 解法一 由题意知 的可能取值为 0 1 2 3 且 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 27 1 9 2 9 4 27 8 的数学期望为 E 2 27 8 3 9 4 2 9 2 1 27 1 0 解法二 根据题设可知 3 2 3 B 因此 的分布列为 0312 33 2233 33 21222 0 1 1 1 327339 22428 2 1 3 339327 PCPC PCPC 2 3 2 3 3 2 3 3 2 1 0 3 2 3 2 1 3 2 3 3 2 3 EB kCCkP k k kk k 所以 因为 解法一 用 C 表示 甲得 2 分乙得 1 分 这一事件 用 D 表示 甲得 3 分乙得 0 分 这一事件 所以 AB C D 且 C D 互斥 又 3 4 2 1 3 1 3 1 3 2 3 10 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 2 5 2 3 2 4 2 3 2 CDP CCP 由互斥事件的概率公式得 243 34 3 34 35 4 3 10 54 DPCPABP 解法二 用 Ak表示 甲队得 k 分 这一事件 用 Bk表示 已队得 k 分 这一事件 k 0 1 2 3 由于事件 A3B0 A2B1为互斥事件 故事 P AB P A3B0 A2B1 P A3B0 P A2B1 243 34 3 2 2 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 2 1 23 2 3 2 2 3 CC 19 本小题满分本小题满分 12 分分 证明数列 n S 1 成等差数列 并求数列 bn 的通项公式 上表中 若从第三行起 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 且公 比为同一个正数 当 91 4 81 a时 求上表中第 k k 3 行所有项的和 证明 由已知 当 n 2 时 因此 n b 1 n 1 1 2 nn n 2 解 设上表中从第三行起 每行的公比都为 q 且 q 0 因为 12 13 1 21278 2 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 an 的前 78 项 故 a81在表中第 13 行第三列 因此 2 8113 4 91 abq 又 13 2 13 14 b 所以 q 2 记表中第 k k 3 行所有项的和为 S 则 1 2 12 2 12 1 1 12 1 kk kk bq S qk kk k k 3 2 12 1 2 1 1 1 1 111 1 2 1 2 1 2 1 111 2 1 11 1 2 111 11 22 2 1 2 n nnn nn nn nnnn nn nn n n n n n nnn b b SS Sbbb SS SSSS SS SS SS Sba S n n S S n nbSS 又 所以 即 所以 又 所以数列是首项为 公差为 的等差数列 由上可知 即 所以 当时 222 1 1 nnn n 20 本小题满分本小题满分 12 分分 解 设 AB 2 H 为 PD 上任意一点 连接 AH EH 由 知 AE 平面 PAD 则 EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角 在 Rt EAH 中 AE 3 所以 当 AH 最短时 EHA 最大 即 当 AH PD 时 EHA 最大 此时 tan EHA 36 2 AE AHAH 因此 AH 2 又 AD 2 所以 ADH 45 所以 PA 2 解法一 因为 PA 平面 ABCD PA 平面 PAC 所以 平面 PAC 平面 ABCD 过 E 作 EO AC 于 O 则 EO 平面 PAC 过 O 作 OS AF 于 S 连接 ES 则 ESO 为二面角 E AF C 的平面角 在 Rt AOE 中 EO AE sin30 3 2 AO AE cos30 3 2 又 F 是 PC 的中点 在 Rt ASO 中 SO AO sin45 3 2 4 又 22 3930 484 SEEOSO 在 Rt ESO 中 cos ESO 3 2 15 4 530 4 SO SE 即所求二面角的余弦值为 15 5 解法二 由 知 AE AD AP 两两垂直 以 A 为 坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 又 E F 分别 为 BC PC 的中点 所以 E F 分别为 BC PC 的中点 所以 A 0 0 0 B 3 1 0 C 3 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 3 0 0 F 3 1 1 22 所以 3 1 3 0 0 1 22 AEAF 设平面 AEF 的一法向量为 111 mx y z 则 0 0 m AE m AF 因此 1 111 30 31 0 22 x xyz 取 1 1 0 2 1 zm 则 因为 BD AC BD PA PA AC A 所以 BD 平面 AFC 故 BD 为平面 AFC 的一法向量 又 BD 3 3 0 所以 cos m BD 2 315 5 512 m BD mBD 因为 二面角 E AF C 为锐角 所以所求二面角的余弦值为 15 5 21 解 由已知得函数 f x 的定义域为 x x 1 当 n 2 时 2 1 ln 1 1 f xax x 所以 2 3 2 1 1 ax fx x 1 当 a 0 时 由 0fx 得 1 2 1x a 1 2 2 1x a 1 此时 12 3 1 a xxxx fx x 当 x 1 x1 时 0 fxf x 单调递减 当 x x1 时 0 fxf x 单调递增 2 当 a 0 时 0fx 恒成立 所以 f x 无极值 综上所述 n 2 时 当 a 0 时 f x 在 2 1x a 处取得极小值 极小值为 22 1 1 ln 2 a f aa 当 a 0 时 f x 无极值 证法一 因为 a 1 所以 1 ln 1 1 n f xx x 当 n 为偶数时 令 1 1ln 1 1 n g xxx x 则 11 12 10 2 11 1 1 nn nxn g xx xxxx 所以当 x 2 时 g x 单调递增 又 g 2 0 因此 1 1ln 1 1 n g xxx x g 2 0 恒成立 所以 f x x 1 成立 当 n 为奇数时 要证 f x x 1 由于 1 1 nx 0 所以只需证 ln x 1 x 1 令 h x x 1 ln x 1 则 12 1 11 x h x xx 0 x 2 所以 当 x 2 时 1 ln 1 h xxx 单调递增 又 h 2 1 0 所以当 x 2 时 恒有 h x 0 即 ln x 1 x 1 命题成立 综上所述 结论成立 证法二 当 a 1 时 1 ln 1 1 n f xx x 当 x 2 时 对任意的正整数 n 恒有 1 1 nx 1 故只需证明 1 ln x 1 x 1 令 1 1 ln 1 2ln 1 2 h xxxxxx 则 12 1 11 x h x xx 当 x 2 时 h x 0 故 h x 在 2 上单调递增 因此 当 x 2 时 h x h 2 0 即 1 ln x 1 x 1 成立 故 当 x 2 时 有 1 ln 1 1 n x x x 1 即 f x x 1 22 证明 由题意设 22 12 12120 2 22 xx A xB xxx M xp pp 由 2 2xpy 得 2 2 x y p 则 x y p 所以 12 MAMB xx kk pp 因此直线 MA 的方程为 1 0 2 x ypxx p 直线 MB 的方程为 2 0 2 x ypxx p 所以 2 11 10 2 2 xx pxx pp 2 22 20 2 2 xx pxx pp 由 得 2 12 120 2 xx xxx 因此 12 0 2 xx x 即 012 2 xxx 所以 A M B 三点的横坐标