2018丰台理数二模.doc

2018北京丰台区高三（下）综合练习（二） 数 学（理） 2018.5第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知，则(A) 或(B) (C) (D) （2）设，为非零向量，则“与方向相同”是“”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（3）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为(A) (B) (C) (D) （4）执行如图所示的程序框图，输出的值为 (A) (B) (C) (D) （5）在的展开式中，若二项式系数的和为32，则的系数为(A) (B) (C) (D) （6）设下列函数的定义域为，则值域为的函数是(A) (B) (C) (D) （7）已知满足约束条件若目标函数的最大值是，则(A) (B) (C) (D) （8）某游戏开始时，有红色精灵个，蓝色精灵个游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色(A) 只与的奇偶性有关(B) 只与的奇偶性有关(C) 与，的奇偶性都有关(D) 与，的奇偶性都无关第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知复数，则 （10）已知等比数列中，则数列的前5项和 （11）在极坐标系中，如果直线与圆相切，那么 （12）甲乙两地相距km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不能超过km/h已知汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是 ，当汽车的行驶速度为 km/h时，全程运输成本最小（13）若函数(，)的部分图象如图所示，则_，_（14）如图，在矩形中，为边的中点将沿翻折，得到四棱锥设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题： 总有平面； 三棱锥体积的最大值为； 存在某个位置，使与所成的角为其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）如图所示，在中，是边上的一点，且，（）求；（）求的长和的面积（16）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“”表示B组的客户 注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值（）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为，根据图中数据，试比较，的大小（结论不要求证明）；（）从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望（17）（本小题共14分）如图所示，在三棱柱中，是中点，平面，平面与棱交于点，（）求证：；（）求证：；（）若与平面所成角的正弦值为，求的值（18）（本小题共13分）已知函数，（）当时，求的单调区间；（）求证：有且仅有一个零点（19）（本小题共14分） 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，（）求椭圆的方程；（）若，求的值（20）（本小题共13分）已知数列的前项和为，当时， 其中，是数列的前项中的数对的个数，是数列的前项中的数对的个数（）若，求，的值；（）若为常数，求的取值范围；（）若数列有最大项，写出的取值范围（结论不要求证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DABCDDCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）（10）（11）（12）；（13）；（14）注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分；第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分三、解答题： （15）（本小题共13分）解：（）在中，因为 ，所以 2分因为 ， ，所以 4分所以 5分（）在中，由余弦定理可得， 7分所以 ，所以 ， 即 所以 或（舍）所以 8分在中，由正弦定理得 ，即 ， 10分所以 11分所以 即 13分（16）（本小题共13分）解：（） 3分（）设“从抽取的位客户中任意抽取位，至少有一位是A组的客户”为事件M，则 6分 所以从抽取的位客户中任意抽取位至少有一位是A组的客户的概率是（III）依题意的可能取值为， 则； ； 10分所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望 12分即 13分（17）（本小题共14分）（）证明：在三棱柱 中，侧面 为平行四边形，所以 又因为 平面，平面，所以 平面 2分因为 平面，且平面平面，所以 4分（）证明：在中，因为 ，是的中点， 所以因为平面，如图建立空间直角坐标系 5分设，在中 ，所以 ，所以 ，所以 ，7分所以 ，所以 9分（）解：因为 ， 所以 ，即因为 ，所以 10分设平面的法向量为 ， 因为 ，即，令 ，则，所以 12分因为 所以 ，即 ，所以 或，即 或 14分（18）（本小题共13分）（）解：依题意 2分令 ， 则 所以在区间上单调递减因为 ，所以 ，即 ， 4分所以的单调递减区间是，没有单调递增区间 5分（）证明：由（）知，在区间上单调递减，且，当 时，在上单调递减因为 ，所以有且仅有一个零点 7分当 ，即时，即 ，在上单调递增因为 ，所以有且仅有一个零点 9分当 时，所以存在，使得 10分，的变化情况如下表：+0-极大值所以 在上单调递增，在上单调递减 11分因为 ，且，所以 ，所以有且仅有一个零点12分综上所述，有且仅有一个零点 13分（19）（本小题共14分） 解：（）依题意得 ，所以 1分因为 ，所以 2分所以 3分所以椭圆的方程为 4分（）椭圆的右焦点 5分设直线 ：，设 ， 6分联立方程组 ， 消得 ，成立 8分所以 ， 9分因为 ， 10分所以 ，即 ，11分所以 恒成立 12分因为 ，所以 ，即 ， 13分化简为 ，所以 14分（20）（本小题共13分）解：（）因为， 所以 ，所以 1分因为 ，所以 2分因为 ，所以 4分所以 ，（）当 时， 5分当