[精品]单组样本的假设检定

第 10 章 單組樣本的假設檢定,10-1,10-2,目標,定義假設與假設檢定。描述假設檢定的 5 個步驟。區別單尾檢定與雙尾檢定間的不同。進行母體平均數的假設檢定。進行母體比例的假設檢定。定義型 I 與型 II 誤差。,何謂假設？,假設是一個關於母體參數的陳述，之後則使用資料與計算機率驗證這個陳述是否合理。 母體參數的假設例子為： 對於系統分析師的平均月收入為 $3,625。 Bovines Chop House 約有 20% 的顧客會在一個月內來用餐兩次。,10-3,何謂假設檢定？,假設檢定(hypothesis testing)：基於樣本證據與機率理論來判斷假設是否合理而要接受，或是假設不合理而要拒絕的過程。,10-4,假設檢定的五個步驟,10-5,步驟 1：建立虛無假設與對立假設,虛無假設（null hypothesis）H0 ：關於母體參數值的假設性敘述。 對立假設（alternate hypothesis）H1 ：當樣本資料提供足夠證明虛無假設不為真時，接受的對立敘述就是對立假設。,10-6,母體平均數的假設檢定有三種情形,1. 2. 3. 記得虛無假設始終包含等式,10-7,定義,型 I 誤差（type I error）：當虛無假設 H0 為真時卻被拒絕， 用 表示。型 II 誤差（type II error）：當虛無假設不正確時卻被接受， 用 表示。,10-8,步驟 2：選擇顯著水準,10-9,單尾檢定,當對立假設 H1 ，表示一個方向時，即為單尾檢定，例如：H1：全職員工的年終獎金超過 $35,000。（ $35,000）H1：行駛在 I-95 公路上的卡車時數每小時小於 60 英里。（ 60）H1：對於加油的顧客，付現的人數少於 20 %。（ 2.58或 z 0 .05，所以不拒絕 H0。,10-25,p值假設檢定 - Example,10-26,上個問題，利用p值檢定：H0: 200H1: 200拒絕 H0 若f Z Z其中 Z = 1.55 and Z =2.33拒絕H0 若 p-value 0.0606 不小於 0.01結論: 不能拒絕 H0,p值小於 之意義?,=0.10，具有一些證據證明 H0 不真。= 0.05，具有較強證據證明H0 不真。= 0.01，具有強烈證據證明H0 不真。= 0.001，具有極端強烈證據證明H0 不真。,10-27,母體平均數檢定：大樣本與母體標準差已知,因為母體標準差已知，且樣本個數 n大於 30，計算公式如下所示：,10-28,母體平均數檢定：大樣本與母體標準差未知,因為母體標準差未知，因此使用樣本標準差來估計。同樣的，若樣本個數 n 大於 30，可以使用 s 來代替，計算公式如下所示：,10-29,母體平均數檢定：小樣本與母體平均數未知,必須使用 t 分配取代標準常態分配。 其檢定統計量為：,10-30,範例,McFarland保險公司處理一件理賠案件需要花費 $60。與其他保險公司比較，McFarland 保險公司處理理賠案件的成本比其他公司高，因此該公司進行了降低成本的計畫。為了評估降低成本計畫的成效，McFarland 保險公司隨機抽選最近的 26 件理賠案件，其樣本資料如下所示： 在 0.01 的顯著水準下，可以說處理理賠案件的平均成本低於 $60 嗎？,10-31,範例 continued,10-32,步驟 1：建立虛無假設與對立假設。 H0: 60；H1: 60步驟 2：選擇顯著水準。 其為 0.01,範例 continued,步驟 3： 計算檢定統計量。 檢定統計量是 t 分 配。 因為樣本數小於 30。我們可以合理地假設每件理賠案件的平均成本服從常態分配。,10-33,範例 continued,步驟 4：陳述決策法則。 附錄 B.2 表格最左邊的那一行標示為 df（自由度），即樣本內觀測資料數量減去樣本的組數，寫成 n1。此範例的樣本數量是 26，組數是 1 組，所以自由度是261 = 25，在表格中找到自由度是 25 的那一列。此範例為單尾檢定，因此在表格中找到標示單尾部分，找出顯著水準 0.01 的那一行，再從左邊找到自由度為 25 的那一列，交叉點是 2.485，也就是所計算之檢定統計量值。此外，又因本例為單尾檢定且拒絕域在左邊，所以臨界值為負數（2.485）。而決策法則是如果t值小於2.485，就必須拒絕H0。,10-34,範例 continued,步驟 5：做決策。 26 個樣本的平均成本是 $56.42，樣本標準差是 $10.04。把這些值代入公式 10-2 中，計算出 t 值： 因為1.818 落在臨界值 2.485 的右邊，所以在 0.01 顯著水準下，不能拒絕虛無假設。這表示降低成本計畫，並沒有將平均處理成本降至 $60 以下。也就是樣本平均數 $56.42與母體平均數 $60 之間的差距 $3.58，可能源自抽樣誤差。,10-35,t-Distribution Table (portion),10-36,範例 continued,t 分配的拒絕域，顯著水準為 0.01,10-37,範例,一個小型平衡錘的平均長度是 43 公釐。生產主管認為調整後的機器所生產之平衡錘的長度已經改變，他要求工程部門進行調查。工程部門選取了 12 個平衡錘的樣本進行測量。其測量結果如下表所示：可以說平衡錘的平均長度已經改變了嗎？請使用 0.02 顯著水準。,10-38,範例 continued,先建立虛無假設與對立假設。 H0： = 43 H1： 43 本例為雙尾檢定，且其自由度是 n1 = 121 = 11。根據以上資料，從附錄B.2中的雙尾檢定，使用 0.02 顯著水準找出 t 值是2.718。決策法則是：如果檢定統計量 t 落在2.718的左邊或是 2.718 的右邊，則拒絕虛無假設。我們將上述資訊整理成圖10-7。,10-39,範例 continued,t 分配雙尾檢定的拒絕域，其中= 0.02,10-40,範例 continued,使用公式 10-2 計算 t 值： 因為計算出來的 t 值是2.913，落在2.718的左邊區域，所以拒絕母體平均數是 43 公釐的虛無假設，接受對立假設。因此結論是母體平均數不是 43 公釐，機器需要再做調整。,10-41,Population Standard Deviation- Example 2 continued,10-42,母體比例的檢定,比例的定義是成功次數與觀測資料總數量的比例。,10-43,母體比例的檢定,計算樣本比例 p 的公式為,10-44,假設檢定，單一比例,10-45,： 為母體比例p ：為樣本比例,範例,在前一次的印地安那州長選舉顯示，如果候選人要當選，那麼至少要在北區贏得 80% 的選票。現任州長想要了解繼續連任的機會有多大，他計畫在本州北區隨機抽選 2,000 位合格選民進行調查。 使用假設檢定的步驟，了解現任州長連任機會。,10-46,範例 continued,州長選舉的情形符合二項分配的條件，但這個範例可以使用常態分配去近似二項分配，因為n與 n(1) 皆超過 5。 n = 2,000，= 0.8（是在本州北區的得票率，也就是 80%），所以 n = 2,000 0.8 = 1,600與 n(1) = 2,000 (10.8) = 400 都大於 5，可以進行母體比例的檢定。,10-47,範例 continued,10-48,步驟 1：建立虛無假設與對立假設。 H0: 0.8；H1: 0.8 步驟 2：選擇顯著水準。 其為 0.05,範例 continued,步驟 3：選擇檢定統計量。 使用 z 統計量，,10-49,範例 continued,步驟 4：建立決策法則。 顯著水準是 0.05，這機率是左尾拒絕域的面積。因此，z 值介於 0與臨界值之間的機率是0.50.05 = 0.45。再參考附錄 B.1 中面積接近0.45所相對應的 z 值是 1.65。所以在左尾的臨界值是1.65。因此決策法則是：如果透過樣本計算出來的檢定統計量小於1.65時，必須拒絕虛無假設，並接受對立假設；反之，則不得拒絕虛無假設 H0。,10-50,範例 continued,步驟 5：做決策。 抽選 2,000 位合格選民進行調查，其中指出有1,550 位選民打算投給現任州長。樣本比例是1,550/2,000 = 0.775。,10-51,範例 continued,z 值2.8落在拒絕域中，因此在顯著水準0.05 下，拒絕虛無假設。這表示在樣本比例 77.5% 與假設母體比例 80% 間，2.5%的差距在統計上是顯著的，因此差距可能不是抽樣誤差所引起的。換句話說，樣本證據無法支持現任州長會繼續連任