二阶微分方程.doc

二阶微分方程1 可降阶的二阶微分方程一、 形如 （6.7）型的微分方程形如（6.7）式的微分方程是最简单的二阶微分方程，可以通过方程两边两次积分求解。【例题1】 求微分方程 的通解. 解 对所给方程接连积分二次, 得,这就是方程的通解. 【例题2】 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动. 设力F仅是时间t函数:F=F(t). 在开始时刻t=0时F(0)=F0, 随着时间t的增大, 此力F均匀地减小, 直到t=T时, F(T)=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律. 解 设x=x(t)表示在时刻t时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为.由题设, 力F(t)随t增大而均匀地减小, 且t=0时, F(0)=F0, 所以F(t)=F0-kt; 又当t=T时, F(T)=0, 从而.于是质点运动的微分方程又写为,其初始条件为, . 把微分方程两边积分, 得.再积分一次, 得.由初始条件x|t=0=0, , 得于是所求质点的运动规律为, 0tT.二、形如 （6.8）型的微分方程。形如（6.8）式的微分方程特点是右端不含有。若设则方程化为这是自变量为、未知函数为的一阶微分方程。因此可用上一节的方法求解。而后通过积分求出的表达式。【例题3】 求微分方程满足初始条件，的特解. 解 所给方程是（6.8）型的. 设 代入方程并分离变量后, 有.两边积分, 得即 其中 由条件 得所以 两边再积分, 得 又由条件，得于是所求的特解为三、形如 （6.9）的微分方程形如（6.9）式的微分方程的特点是等式右边没有自变量，若设则有.方程（6.9）化为.这是一个关于自变量为，未知函数的一阶微分方程。若得到的表达式，则可以利用分离变量法，求出的表达式。【例题4】 求微分方程的通解. 解 设，则, 代入方程, 得.在，时, 约去并分离变量, 得.两边积分得整理得 即 .分离变量后两边积分, 便得原方程的通解为即 其中，为任意实数6.3.2二阶常系数齐次线性微分方程形如 (6.10)的二阶微分方程,称为二阶线性微分方程,其中都是的已知函数. （1） 当时,方程 (6.11)称为二阶线性齐次微分方程;（2）当时,方程（6.10）称为二阶线性非齐次微分方程.本节我们主要介绍二阶常系数线性齐次方程的通解形式,关于其它形式的二阶方程，由于求解较为繁难,我们在此不涉及.一、二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构有如下定理.定理6.1 若与是二阶线性齐次微分方程(6.11)的两个解,是任意常数,则也是方程(6.11)的解.证明 根据定理,假设有 , .分别用乘上面两式并相加,得即 这就是说, 是方程的解.从形式上看,中包含两个任意常数,而方程又是二阶的,那么,它是否就是该方程的通解呢?我们的回答是不一定.这还要看这两个任意常数能否合并成一个任意常数.例如,假设是某个齐次微分方程的两个解,则也是齐次方程的一个解,但是由于两个常数合并成了一个任意常数,它就不能构成通解了.一般地,设是两个函数,若，（为非零常数），则称与是线性相关的;若则称与是线性无关的.因此我们有如下定理.定理6.2 如果与是二阶线性齐次微分方程(6.11)的两个线性无关的特解,则就是所求方程(6.11)的通解. 例如,可以验证与都是二阶线性齐次微分方程的解,且不为常数,即与线性无关,所以与的线性组合就是方程的通解.二、二阶常系数线性齐次微分方程的通解表示由定理6.2可知,求方程(6.10)通解的关键在于找出它的两个线性无关的解与.而方程(6.11)可以看出,必须是同类型的函数才可能使等式右端等于零,又指数函数（为常数）的各阶导数正好具有这种特性,因此,它有可能是微分方程的解.将代入微分方程(6.11),得 而，因此有 (6.12)由此可见,只要是代数方程(6.12)的一个根, 就是微分方程(6.11)的一个解,从而求微分方程的解就转化为求代数方程的解.代数方程(6.12)称为微分方程(6.11)的特征方程,特征方程的两个根叫做特征根.求解特征方程会出现三种情况:(1) 当时,是不相等的两个实根:(2) 当时,是相等的两个实根:(3) 当时,是一对共轭复根根据特征根的三种不同情况,我们讨论常系数齐次微分方程(6.10)的通解.1)因为是方程的两个特解,且线性无关,所以微分方程的通解是.【例题5】 求微分方程的通解.解 特征方程为即特征根为微分方程对应的两个解为且与线性无关,因此 所求微分方程的通解为.2) 因为,常系数齐次微分方程只有一个特解,因此要求出通解就需要寻找一个与线性无关的特解,为此我们设（不是常数）,即,求导后代入微分方程(6.11),整理得因为是特征方程的重根,所以于是上式可化成.满足上式的函数有很多,我们只需要取最简单的一个,此时得到另一个与线性无关的特解.为方便,设,则方程(6.11)的通解为 【例题6】 求微分方程为满足初始条件的特解.解 特征方程为解得特征根为所以微分方程的通解为.代入初始条件,得所以所求微分方程的特解为.3) 是一对共轭复根当微分方程的特征方程无实数根时，必定有两个不等的复数根。设与是一对共轭复根,则是常系数微分方程的两个线性无关的特解,于是是微分方程的通解.这里我们得到的是微分方程的复数形式解,不便于应用,为了得到实数形式的通解,利用欧拉公式,可得出：是微分方程的两个实数形式的解,因此微分方程的通解为【例题7】 求微分方程的通解.解 特征方程为,有共轭复根.所以方程通解为【例题8】 求微分方程满足的特解.解 微分方程的