青海省西宁市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年青海省西宁市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题给出四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内） 1如果 a b 0，那么下面一定成立的是（ ） A a b 0 B D 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ） A恰有 1 名男生与恰有 2 名女生 B至少有 1 名 男生与全是男生 C至少有 1 名男生与至少有 1 名女生 D至少有 1 名男生与全是女生 3在 ， A=60， B=45， a=1，则最短边的边长等于（ ） A B C D 4某校高一、高二年级各有 7 个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是（ ） A高一的中位数大，高二的平均数大 B高一的平均数大，高二的中位数大 C高一的中位数、平均数都大 D高二的中位数、平均数都大 5已知数列 其通项公式 n 18，则其前 n 项和 最小值时 n 的值为（ ） A 4 B 5 或 6 C 6 D 5 6一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0， 1， 2， 59，依编号顺序平均分成 6 个小组，组号依次为 1， 2， 3， 6现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是（ ） A 33 B 43 C 53 D 54 7已知 三内角 A， B， C 成等差数列，且 ， ，则该三角形面积为（ ） A B 2 C 2 D 4 8秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，依次输 入 a 为 2，2， 5，则输出的 s=（ ） 第 2 页（共 16 页） A 7 B 12 C 17 D 34 9现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率：先由计算器给出0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0、 1 表示没有击中目标， 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为（ ） A 0某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表 广 告 费 用 x （万元） 4 2 3 5 销 售 额 y （万元） 49 26 a 54 已知由表中 4 组数据求得回归直线方程 =8x+14，则表中的 a 的值为（ ） A 37 B 38 C 39 D 40 11边长为 5， 7， 8 的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A 90 B 120 C 135 D 150 12设 a 0， b 0，若 是 5a 与 5b 的等比中项，则 + 的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，请把答案 填写在题中的横线上） 13数列 ， ， =，那么这个数列的通项公式是 第 3 页（共 16 页） 14如图，一不规则区域内，有一边长为 1 米的正方形，向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 360 颗，以此实验数据 1000 为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米（用分数作答） 15已知 0 x 8，则（ 8 x） x 的最大值是 16某船在海面 A 处测得灯塔 B 在北偏东 60方向，与 A 相距 6 海里船由 A 向正北方向航行 8 海里达到 C 处，这时灯塔 B 与船之间的距离为 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17如图，在 ， 2， ， ，点 D 在边 ，且 0 （ ）求 （ ）求线段 长 18某小型餐馆一天中要购买 A， B 两种 蔬菜， A， B 蔬菜每公斤的单价分别为 2 元和 3 元根据需要， A 蔬菜至少要买 6 公斤， B 蔬菜至少要买 4 公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过 60 元 （ 1）写出一天中 A 蔬菜购买的公斤数 x 和 B 蔬菜购买的公斤数 y 之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）， （ 2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出， A， B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为 2 元和 1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？ 19一个袋子中装 有大小和形状相同的红球、白球和篮球，其中有有 2 个红球， 3 个白球，n 个篮球 第 4 页（共 16 页） （ ）若从中任取一个小球为红球的概率为 ，求 n 的值； （ ）若从中任取一个小球为白球或篮球的概率为 ，求从中任取一个小球不是篮球的概率 20已知等差数列 前 n 项和为 ， 2 （ ）求 通项公式； （ ）求证： 等比数列 21某班 50 名学生在一次数学测试中，成绩全介于 50 与 100 之间，测试结果的频率分布表如表： 分组（分数段） 频数（人数） 频率 50， 60） a 60， 70） 9 70， 80） 20 80， 90） 16 90， 100 b c 合计 50 ）请根据频率分布表写出 a， b， c 的值，并完成频率分布直方图； （ ）从测试成绩在 50， 60） 或 90， 100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为 m， n，求事件 “|m n| 10”的概率 22不等式（ 2m 3） m 3） x 1 0 对一切 x R 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2015年青海省西宁市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题给出四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内） 1如果 a b 0，那么下面一定成立的是（ ） A a b 0 B D 考点】 不等式比较大小 【分析】 利用不等式的性质即可得出 【解答】 解： a b 0， a b 0， 故选： D 2某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ） A恰有 1 名男生与恰有 2 名女生 B至少有 1 名男生与全是男生 C至少有 1 名男生与至少有 1 名女生 D至少有 1 名男生与全是女生 【考点】 互斥事件与对立事件 【分析】 互斥事件是两 个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案 【解答】 解： A 中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件； B 中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求； C 中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥； D 中的两个事件是对立的，故不符合要求 故选 A 3在 ， A=60， B=45， a=1，则最短边的边长等于（ ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 由三角形内角和公式可得 C=75，再根据大角对大边可得 b 为最小边，再根据正弦定理求得 b 的值 【解答】 解： ，由三角形内角和公式可得 C=75， 再根据大角对大边可得 b 为最小边 再根据正弦定理可得 = ， 即 b= = ， 第 6 页（共 16 页） 故选： B 4某校高一、高二年级各有 7 个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是（ ） A高一的中位数大，高二的平均数大 B高一的平均数大，高二的中位数大 C高一的中位数、平均数都大 D高二的中位数、平均数都大 【考 点】 茎叶图；众数、中位数、平均数 【分析】 根据给出的两组数据，把数据按照从小到大排列，根据共有 7 个数字，写出中位数，观察两组数据的集中区域，得到结果 【解答】 解：由题意知， 高一的得分按照从小到大排列是 82， 83， 85， 93， 97， 98， 99 共有 7 个数字，最中间一个是 93， 高二得分按照从小到大的顺序排列是 88， 88， 89， 89， 97， 98， 99 共有 7 个数据，最中间一个是 89， 高一的中位数大， 再观察数据的集中区域，高二的更大些，故高二的平均数大 故选 A 5已知数列 其通项 公式 n 18，则其前 n 项和 最小值时 n 的值为（ ） A 4 B 5 或 6 C 6 D 5 【考点】 数列的函数特性 【分析】 由 n 18 0，解得 n即可得出 【解答】 解：由 n 18 0，解得 n 6 其前 n 项和 最小值时 n 的值为 5，或 6 故选： B 6一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0， 1， 2， 59，依编号顺序平均分成 6 个小组，组号依次为 1， 2， 3， 6现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是（ ） A 33 B 43 C 53 D 54 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由总体容量及组数求出间隔号，然后用 3 加上 40 即可 【解答】 解：总体为 60 个个体，依编号顺序平均分成 6 个小组，则间隔号为 =10， 所以在第 5 组中抽取的号码为 3+10 4=43 故选： B 第 7 页（共 16 页） 7已知 三内角 A， B， C 成等差数列，且 ， ，则该三角形面积为（ ） A B 2 C 2 D 4 【考点】 三角形的面积公式 【分析】 由 A， B， C 成等差数列 A+B+C= 可求 B，利用三角形的面积公式 S= 求 【解答】 解： 内角 A， B， C 成等差数列， B=60又 ， ， ； 故选 A 8秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出多项式 求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，依次输入 a 为 2，2， 5，则输出的 s=（ ） A 7 B 12 C 17 D 34 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的 s， k 的值，即可得出跳出循环时输出 s 的值 【解答】 解：初始值 k=0， s=0，程序运行过程如下： a=2， s=2 0+2=2， k=1，不满足 k 2，执行循环； a=2， s=2 2+2=6， k=2，不满足 k 2，执行 循环； a=5， s=2 6+5=17， k=3，满足 k 2，退出循环； 输出 s=17 故选： C 第 8 页（共 16 页） 9现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率：先由计算器给出0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0、 1 表示没有击中目标， 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为（ ） A 考点】 模拟方法估计概率 【分析】 由题意知模拟射击 4 次的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组随机数中表示种射击 4 次至少击中 3 次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果 【解答】 解：由题意知模拟射击 4 次的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数， 在 20 组随机数中表示射击 4 次至少击中 3 次的有： 7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共 15 组随机数， 所求概率为 故选： C 10某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表 广 告 费 用 x （万元） 4 2 3 5 销 售 额 y （万元） 49 26 a 54 已知由表中 4 组数据求得回归直线方程 =8x+14，则表中的 a 的值为（ ） A 37 B 38 C 39 D 40 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出数据中心（ ， ），代入回归方程解出 a 【解答】 解： = = = = =8 4，解得 a=39 故选： C 11边长为 5， 7， 8 的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A 90 B 120 C 135 D 150 【考点】 余弦定理 【分析】 设长为 7 的边所对的角为 ，根据余弦定理可得 值，进而可得 的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是 180 ，即可得答案 【解答】 解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为 8 与 5， 设长为 7 的边所对的角为 ，则最大角与最小角的 和是 180 ， 有余弦定理可得， = ， 易得 =60， 则最大角与最小角的和是 180 =120， 故选 B 第 9 页（共 16 页） 12设 a 0， b 0，若 是 5a 与 5b 的等比中项，则 + 的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 【考点】 等比数列的性质 【分析】 根据等比数列的性质，建立方程关系，利用 1 的代换，结合基本不等式进行求解即可 【解答】 解： 是 5a 与 5b 的等比中项， 5a5b=（ ） 2=5， 即 5a+b=5， 则 a+b=1， 则 + =（ + ）（ a+b） =1+1+ + 2+2 =2+2=4， 当且仅当 = ，即 a=b= 时，取等号， 即 + 的最小值为 4， 故选： B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，请把答案填写在题中的横线上） 13数列 ， ， =，那么这个数列的通项公式是 n 1 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的定义及其通项公式即可得出 【解答】 解： 数列 ， ， =，即 ， 数列 等差数列，公差为 5 +5（ n 1） =5n 1 故答案为： n 1 14如图，一不规则区域内，有一边长为 1 米的正方形，向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 360 颗，以此实验数据 1000 为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米（用分数作答） 【考点】 模拟方法估计概率 【分析】 根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图 形的面积，利用面积比可得结论 【解答】 解： 向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 360 颗， 记 “黄豆落在正方形区域内 ”为事件 A， 第 10 页（共 16 页） P（ A） = = ， S 不规则图形 = 平方米， 故答案为： 15已知 0 x 8，则（ 8 x） x 的最大值是 16 【考点】 基本不等式 【分析】 利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： 0 x 8， 则 x（ 8 x） （ ） 2=16，当且仅当 x=4 时取等号， 则（ 8 x） x 的最大值是 16， 故答案为： 16 16某船在海面 A 处测得灯塔 B 在北偏东 60方向，与 A 相距 6 海里船由 A 向正北方向航行 8 海里达到 C 处，这时灯塔 B 与船之间的距离为 2 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 由题意画出示意图，利用余 弦定理解三角形 【解答】 解：由题意，示意图为：已知 ， ， A=60， 由余弦定理得到 6+64 2 6 8 =52， 所以 所以灯塔 B 与船之间的距离为： 2 海里； 故答案为： 2 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17如图，在 ， 2， ， ，点 D 在边 ，且 0 （ ）求 （ ）求线段 长 【考点】 余弦定理；正弦定理 第 11 页（共 16 页） 【分析】 （ ）由已知根据余弦定理可得 代入计算即可得解 （ ）由 0 C ，可得 0，从而可求 值，利用正弦定理即可求得 值 【解答】 （本小题共 13 分） 解：（ ） 2， ， ， 根据余弦定理： = （ ） 0 C ， 0， 根据正弦定理得： ，即： =8 18某小型餐馆一天中要购买 A， B 两种蔬菜， A， B 蔬菜每公斤的单价分别为 2 元和 3 元根据需要， A 蔬菜至少要买 6 公斤， B 蔬菜至少要买 4 公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过 60 元 （ 1）写出一天中 A 蔬菜购买的公斤数 x 和 B 蔬菜购买的公斤数 y 之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）， （ 2）如果 这两种蔬菜加工后全部卖出， A， B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为 2 元和 1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？ 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 （ 1）利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域 （ 2）利用线性规划的内容进行图象平移，然后确定目标函数是最值 【解答】 解：（ 1）依题意， A 蔬菜购买的公斤数 x 和 B 蔬菜购买的公斤数 y 之间的满足的不等式组如下： 画出的平面区域 如图 （ 2）设餐馆加工这两种蔬菜利润为 z 元，则目标函数为 z=2x+y 第 12 页（共 16 页） y= 2x+z z 表示过可行域内点斜率为 2 的一组平行线在 y 轴上的截距 联立 解得 即 B（ 24， 4） 当直线过点 B（ 24， 4）时，在 y 轴上的截距最大， 即 24+4=52 答：餐馆应购买 A 蔬菜 24 公斤， B 蔬菜 4 公斤，加工后利润最大为 52 元 19一个袋子中装有大小和形状相同的红球、白球和篮球，其中有有 2 个红球， 3 个白球，n 个篮球 （ ）若从中任取一个小球为红球的概率为 ，求 n 的值； （ ）若从中任取一个小球为白球或篮球的概率为 ，求从中任取一个小球不是篮球的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为 A， B， C，由 P（ A）= ，得 = ，由此能求出 n （ ）由 P（ B+C） = ，得 P（ A） =1 P（ B+C） = ，从而得到 n=1，由此能求出从中任取一个小球不是篮球的概率 【解答】 解：（ ）设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为 A， B， C， 它们是互斥事件， 由已知得 P（ A） = ， = ， 解得 n=3 （ ） P（ B+C） = ， 由对立事件的概率计算公式知 P（ A） =1 P（ B+C） =1 = ， = ，解得 n=1， P（ C） = ， 从中任取一个小球不是篮球的概率 P（ ） =1 = 第 13 页（共 16 页） 20已知等差数列 前 n 项和为 ， 2 （ ）求 通项公式； （ ）求证： 等比数列 【考点】 等差关系的确定；等 差数列的通项公式 【分析】 （ I）设等差数列 公差为 d，由 ， 2可得 ，解出即可得出 （ 用等差数列的求和公式分别计算： ， 8即可证明 【解答】 （ I）解：设等差数列 公差为 d， ， 2 ，解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n （ 明： ， =12， =72， =122=144， 8=2 72=144 =8 即 等比数列 21某班 50 名学生在一次数学测试中，成绩全介于 50 与 100 之间，测试结果的频率分布表如表： 分组（分数段） 频数（人数） 频率 50， 60） a 60， 70） 9 70， 80） 20 80， 90） 16 90， 100 b c 合计 50 ）请根据频率分布表写出 a， b， c 的值，并完成频率分布直方图； 第 14 页（共 16 页） （ ）从测试成绩在 50， 60）或 90， 100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩