2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算教案新人教B版.docx

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学 习 目 标核 心 素 养1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(重点)2会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算(重点)3会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题(重点、难点)1通过学习向量的正交分解，培养学生的数学抽象核心素养2通过向量的直角坐标运算提升学生的数学运算核心素养.1向量的正交分解2向量的直角坐标(1)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a(a1，a2)(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则(x，y)符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量3向量的直角坐标运算向量的加、减法设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a(a1，a2)，R，则a(a1，a2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标思考：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？提示向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同1已知点A(1，3)，的坐标为(3,7)，则点B的坐标为()A(4,4)B(2,4)C(2,10)D(2，10)A设点B的坐标为(x，y)，由(3,7)(x，y)(1，3)(x1，y3)(3,7)，得B(4,4)2已知a(1，1)，b(3,0)，则3a2b等于()A(5,3)B(4，1)C(2，1)D(3，3)D3a2b3(1，1)2(3,0)(3，3)(6,0)(3，3)3已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x_.1易得(2,0)，由a(x3，x23x4)与相等得解得x1.平面向量的坐标表示【例1】(1)已知A(3,1)，B(2，1)，则的坐标是()A(2，1)B(2,1)C(1,2)D(1，2)(2)已知(1,3)，且点A(2,5)，则点B的坐标为()A(1,8)B(1,8)C(3,2)D(3,2)(3)如图，在正方形ABCD中，O为中心，且(1，1)，则_；_；_.思路探究(1)C(2)B(3)(1，1)(1,1)(1,1)(1)(3,1)(2，1)(1,2)(2)设B的坐标为(x，y)，(x，y)(2,5)(x2，y5)(1,3)，所以解得所以点B的坐标为(1,8)(3)如题干图，(1，1)(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，1)，所以(1，1)，同理(1,1)求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标1已知点A(2,4)，a(3,4)，且2a，则点B的坐标为_(8,12)设B点坐标为(x，y)，则(x2，y4)2(3,4)(6,8)，解得所以B点的坐标为(8,12)平面向量的坐标运算【例2】(1)设(2,3)，(m，n)，(1,4)，则()A(1m,7n)B(1m，7n)C(1m,7n)D(1m ，7n)(2)已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C.D(8,1)(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标思路探究(1)可利用向量加法的三角形法则将分解为来求解(2)可借助来求坐标(3)可利用(xBxA，yByA)来求解(1)B(2)A(1)(1,4)(m，n)(2,3)(1m，7n)(2)A()(8,1)，.(3)解：(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3)平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).向量坐标运算的综合应用探究问题1已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？提示t(1,2)t(3,3)(13t,23t)若点P在x轴上，则23t0，t.若点P在y轴上，则13t0，t.若点P在第二象限，则t.2对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由提示(1,2)，(33t,33t)若四边形OABP为平行四边形，则，该方程组无解故四边形不能为平行四边形3已知在非平行四边形ABCD中，ABDC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？提示当ABCD为平行四边形时，则(2,0)(1,1)(3,1)，故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)(3，)【例3】已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若AAA(R)，试求为何值时，(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内思路探究先用表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解解设点P的坐标为(x，y)，则A(x，y)(2,3)(x2，y3)，AA(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)AAA，则(1)若P在一、三象限角平分线上，则5547，即时，点P在一、三象限角平分线上(2)若点P在第三象限内，则1.即1时，点P在第三象限内1.解答本题可用待定系数法，此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用2坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值3向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.4以向量a的终点为原点，以过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由ca b，即(1，3)(1，1)(6,2)，得61，23，故2，则4.(教师用书独具)1向量坐标(1)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的，对应一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个2平面向量坐标运算的注意点(1)要弄清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关(2)进行向量的坐标运算时，向量的始点、终点的顺序不能颠倒1若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()A(5,3)B(4,3)C(8,3)D(0，1)B3a2b3(2,1)2(1,0)(4,3)2若向量(1,2)，(3,4)，则()A(4,6)B(4，6)C(2，2)D(2,2)A(1,2)(3,4)(4,6)故选A.3已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_(3，4)，则与