定积分的概念和性质ppt课件

4 3定积分的概念和性质 1 定积分基本概念2 定积分的性质 定积分概念 一 定积分问题举例1 求曲边梯形的面积 思想方法 在区间 a b 中任取若干分点 把曲边梯形的底 a b 分成n个小区间 过各分点作垂直于x轴的直线段 把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形 其中第i个小曲边梯形的面积记为 x y 0 y f x 1 分割 将曲边梯形分成许多细长条 2 取近似 将这些细长条近似地看作一个个小矩形 3 求和 小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值 把n个小矩形的面积相加得和式 它就是曲边梯 形面积A的近似值 即 4 取极限 当分割无限时 所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值 分割越细 就越接近于曲边梯形的面积A 当 可见 曲边梯形的面积是一和式的极限 2 变速直线运动的路程设某物体作直线运动 已知速度是时间间隔上t的连续函数 且 计算在此段时间内物体经过的路程 思想方法 1 分割 在区间中任取若干分点 2 近似求和 3 取极限 表示所有小区间的长度的最大者 把分成n个小区间 二 定积分的定义定义设函数f x 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入若干个分点 分划任取 作和式近似求和记 如果取极限 存在 且极限值I不依赖于的选取 也不依赖于 a b 的分法 则称I为f x 在 a b 上的定积分 简称积分 记作 即其中 f x 叫做被积函数 f x dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a叫做积分下限 b叫做积分上限 a b 叫做积分区间 如果f x 在 a b 上的定积分存在 也称f x 在 a b 上可积 否则 称f x 在 a b 上不可积 注 定积分的值只与被积函数以及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 三 函数可积的充分条件定理1若f x 在 a b 上连续 则f x 在 a b 上可积 定理2若f x 在 a b 上有界 且只有有限个间断点 则f x 在 a b 上可积 四 定积分的几何意义若f x 0 则的几何意义表示由曲线y f x 直线x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 一般情形 的几何意义为 它是介于x轴 曲线y f x 直线x a x b之间的各部分面积的代数和 y b 0 a x 定积分的性质中值定理 规定 1 当a b时 2 当a b时 性质1函数的和 差 的定积分等于它们的定积分的和 差 即 证注 此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形 性质2被积函数的常数因子可以提到积分符号外 即证 性质3 定积分的区间可加性 证因f x 在区间 a b 上可积 所以对 a b 的任意分划 积分和的极限总是不变的 考虑 a b 的一个特殊分划 使c作为一个分点 那么 a b 上的积分和等于 a c 上的积分和加 c b 上的积分和 记为 令 0 上式两端同时取极限 得注 不论a b c的相对位置如何 性质3总是成立的 例如 当a b c时 由性质3 有于是 性质4证因f x 1 所以性质5若在区间 a b 上 则证因 所以又由于 因此 所以推论1如果在区间 a