圆锥曲线综合测试题汇编

圆锥曲线综合测试题一、选择题1. 如果x2ky 22 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）a 0,b 0,2c 1,d 0,1x 2y 22. 以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2 的双曲线方程（）2516x 2y 2x 2y 2x2y2x2y 2a 1b. 1c. 1 或1d. 以上都不对164892716489273. 过双曲线的一个焦点离心率 e 等于（）f2 作垂直于实轴的弦pq ， f1 是另一焦点，若pf1q，则双曲线的212a 21b 2c21d224. f1, f 2x2y2是椭圆1 的两个焦点，a 为椭圆上一点，且af1 f245 0 ，则 af f 的97面积为（）7775a 7b cd4225. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2y22 x6 y90 的圆心的抛物线的方程（）a y3x 2 或 y3x2b. y3x 2c. y29 x 或 y3x 2d. y3x2 或 y 29 x6. 设 ab 为过抛物线y22 px( p0) 的焦点的弦，则ab 的最小值为（）a pb pc 2 p2d 无法确定7. 若抛物线y 2x 上一点 p 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点p 的坐标为（）12a (,)4412b (,)8412c (,)4412d (,)84x 2y 28. 椭圆1 上一点 p 与椭圆的两个焦点f1、f 2 的连线互相垂直，则pf1f2 的面积为4924a 20b 22c 28d 249. 若点 a 的坐标为 (3, 2) ，f 是抛物线 y 2取得最小值的m 的坐标为（）2 x 的焦点， 点 m 在抛物线上移动时，使 mfmaa 0,0b1 ,12c 1,2d 2,2x210. 与椭圆4y 21 共焦点且过点q(2,1)的双曲线方程是（）2a xy 21b xy 21x 2y 2c. 1d. x 2y1222433211. 若直线ykx2 与双曲线x2y 26 的右支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是（）a （15 ,315 ）b （ 0,315）c（315 ,0 ）d（315 ,1 ）312. 抛物线 y2 x 2 上两点a( x1, y1) 、 b( x2, y2) 关于直线yxm 对称，且 x1x2，则12m 等于（）35a b 2c22d 3二、填空题1. 椭圆22xyk891 的离心率为12，则 k 的值为 。2. 双曲线228kxky8 的一个焦点为(0,3) ，则 k 的值为 。3. 若直线xy2 与抛物线y24 x 交于 a 、 b 两点，则线段ab 的中点坐标是 。4. 对于抛物线y24 x 上任意一点q ，点p(a,0)都满足pqa ，则 a 的取值范围是 。x2y 235. 若双曲线1 的渐近线方程为yx ，则双曲线的焦点坐标是 4m2x2y26. 设 ab 是椭圆221 的不垂直于对称轴的弦，m 为 ab 的中点， o 为坐标原点，ab则 k abkom 。x 2y 27. 椭圆1 的焦点f1 、f2 ，点 p 为其上的动点，当f1 pf 2 为钝角时 ,点 p 横坐标的94取值范围是。8. 双曲线tx 2y21 的一条渐近线与直线2 xy1 0 垂直，则这双曲线的离心率为 _。9. 若直线ykx2 与抛物线y28 x 交于 a 、 b 两点，若线段ab 的中点的横坐标是2 ，则ab 。10. 若直线ykx1 与双曲线 x2y24 始终有公共点，则k 取值范围是。11. 已知a(0,4), b(3,2)，抛物线y28 x上的点到直线ab 的最段距离为 。12. 已知定点a(2,3) ，f 是椭圆 xy1 的右焦点， 则过椭圆上一点m 使 am2 mf取221612得最小值时点m 的坐标为。三、解答题1. 当从00 到180 0 变化时，曲线x2y2 cos1 怎样变化？x 2y 202. 设 f1 , f2 是双曲线1 的两个焦点， 点 p 在双曲线上， 且f1 pf260，求f1pf2 的面积。916x 2y 23. 双曲线与椭圆1 有相同焦点，且经过点(15, 4) ，求其方程。273624. 已知椭圆xa 22y1 (ab b 20) ， a 、 b 是椭圆上的两点，线段ab 的垂直平分线与 x 轴相交于点p( x0 ,0). 证明：a 2b2 aa 2b 2x0.ax25. 已知椭圆y1 ，试确定 m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线y4xm 对243称。6. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线程。y2x1 截得的弦长为15 ，求抛物线的方一、选择题圆锥曲线综合测试题解答y2x221. d焦点在 y 轴上，则22k1,20k1kx2y22. c当顶点为 (4,0) 时， a4, c8, b43,1 ；1648y2x2当顶点为 (0,3) 时， a3, c6, b33,19273. c pf1f2 是等腰直角三角形，pf2f1 f22c, pf12 2cpf1pf22a, 22c2c2a, ec a121214. cf1f222, af1af26, af26af1af 2af 2f f 22 aff fcos 450af 24 af8211211211(6af ) 2af 24 af8, af7 ,11112d圆心为 (1,3) ，设 x22 py, p1 , x21 y ；63设 y 22 px, p9 , y29 x26. c垂直于对称轴的通径时最短，即当xp , yp, 2ab min2 p7. b点 p 到准线的距离即点p 到焦点的距离，得popf ，过点 p 所作的高也是中线12px，代入到y 8x 得 py212，p(,) 4848. dp fp f1 4 , (p fp2f)1 9 6 ,2p f2p f( 22 c)，相1 减0 得01212122 p fp f9 6 , s 1p fp f2 4121229. dmf可以看做是点m 到准线的距离，当点m 运动到和点a 一样高时，mfma 取得最小值，即 m y2 ，代入 y 22 x 得 m x210. ac241， c3，且焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x2y2a 23a 21 过点q(2,1)x24122得 a 2x23a 21ay262,y1211. dykx, x22(kx2)26,(1k 2 ) x24kx100 有两个不同的正根24024k02则xx4k0, 得15k1121k23x1x21001k 212. aky2y11,而yy2( x 2x 2 ), 得xx1 ，且( x2x 1, y 2y)1abx2x1212121222在直线 yxm上，即y2y 1x 2x1m, y2y 1x 2x1 2m222 (x 2x 2 )xx2 m, 2 x(x2)2xxxx2m , 2m32121212121二、填空题3 m, 251. 4,或当 k489 时， e2c2a 2k891, k4 ；k842当 k89 时， e2c9k815, ka 2944y2x2812. 1焦点在 y 轴上，则811,kkk()9, k1k3 ( 4 , 2 )y24x, x28x40x,xy8 ,yxx44yx2121212中点坐标为( x1x 2 , y 1y2)( 4 , 2 )t 24,2设 q(,t4222)， 由 p qa 得 (t 4a )2t2a 2 ,t 2 ( t 21 68a)0 ,2t168a20, t8a16 恒成立，则8a1 60a,25. (7,0)渐近线方程为ym x ，得 m 23, c7 ，且焦点在x 轴上b 2xxyyyy26. 设a(x , y), b(x , y) ，则中点 m (12 ,12 ) ，得 k21 ,1122ayy22y 2y 2abx2x1k21， kk21， b 2 x 2a 2 y 2a 2b2 ,omxxabomx 2x 2112122222221222222y 2y 2b2b x2a y2a b , 得 b( x2x1 )a ( y2y1 )0, 即21x 2x 2a22135352227 (,)55可以证明pf1aex, pf2aex, 且pf1pf2f1f2而 a3,b2, c5, e5 ，则 (aex)23(aex) 2(2c) 2 , 2a22e2 x220, e2 x21x21 ,1x1 , 即35e35e2ee5585渐近线为 yt x ，其中一条与与直线2 xy10 垂直，得t1 , t12242xy21,a2, c5, e5429 215y28x, k 2 x2(4k8)x40, xx4k84ykx212k2得 k1,或2 ，当 k1 时，x24x40 有两个相等的实数根，不合题意当 k2 时， ab1k 2 xx5(xx )24x x51642 155x2y2412121 2101,2ykx, x21(kx1)24,(1k 2 )x2kx50当 1k 20, k1 时，显然符合条件；当 1k 20 时，则2016k 20, k5235115直线 ab 为 2xy40 ，设抛物线y28 x 上的点2p(t, t)2tt 24dt 22t4(t1)233355555512m (23,3)解：显然椭圆xy1 的 a4, c2, e1 ，记点 m 到右准线的距离为mn2216122mf1则emn2, mn2 mf ，即am2 mfammn当 a, m , n 同时在垂直于右准线的一条直线上时，am2mf取得最小值，此时 m yay3 ，代入到xy1 得 m2322x1612而点 m 在第一象限，m (23,3)三、解答题1. 解：当00 时，cos001 ，曲线 x22y1为一个单位圆；当 00900 时， 0cos1，曲线yx1 为焦点在y 轴上的椭圆；2211cos当900 时，cos90 00 ，曲线x21 为两条平行的垂直于x 轴的直线；002当 90180时，1cos0 ，曲线 x1y21cos1 为焦点在 x 轴上的双曲线；当180 0 时，cos18001 ，曲线 x2y21为焦点在 x 轴上的等轴双曲线。x 2y 22. 解：双曲线1 的 a3,c5, 不妨设pf1pf2 ，则pf1pf22 a6916f f 2pf 2pf 22pfpfcos 600 ，而 f f2c1012121212得 pf 2pf 2pfpf(pfpf )2pfpf10012121212pfpf64, s1 pfpfsin 60016312122y2x2y2x23. 解：椭圆1 的焦点为 (0,3), c3 ，设双曲线方程为2213627a9a过点 (15, 4) ，则16151 ，得a24,或36 ，而a29 ，a 29a222a 24 ，双曲线方程为yx1 。4. 证明：设a(x , y), b(x , y45) ，则中点m ( x1x2 , y1y2 ) ，得 kaby2y1 ,112222x2x111b2 x 2a 2 y 2a 2 b2 ,b2 x 2a 2 y 2a2 b2 , 得 b2 ( x 2x 2 )a 2 ( y 2y 2 )0,222121222即 y2y1b， ab 的垂直平分线的斜率kx2x1 ,x 2x 2a2yy2121的垂直平分线方程为yy1y2 2x2x1 ( xy2y1x1x2 ), 2y 2y 2x 2x 2b2xx当 y0 时， x2121(1)21022(x2x1 )a2a 2b 2a 2b2而2ax2x12a ，x0.aa5. 解：设a(x , y ), b(x , y) ， ab 的中点m (x, y ) ， ky2y11 ,112200abx2x1411而 3 x 24 y 212, 3x 24 y 212, 相减得3( x 2x 2