圆的方程经典例题

高中数学圆的方程典型例题-可编辑修改 -类型一：圆的方程（ 1 ）标准方程，圆心a,b，半径为r；点 m (x0 , y0 ) 与圆2( xa)2( yb)2r的位置关系：当，点在圆外当，点在圆上当，点在圆内（ 2 ）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。（ 3 ）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a，b， r；若利用一般方程，需要求出d， e， f；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。1. 若过点 p(a,a) 可作圆 x2 +y 2-2ax+a 2+2a-3=0的两条切线 ,则实数 a 的取值范围是.2. 圆 x2 y2 2x 6y 5 a0 关于直线y x2 b 成轴对称图形，则ab 的取值范围是() a (，4)b (，0)c ( 4，)d (4 ，)3. 求过两点a(1 , 4) 、b(3 , 2) 且圆心在直线y0 上的圆的标准方程并判断点p( 2 , 4) 与圆的关4. 求半径为4，与圆 x2y24 x2 y40 相切，且和直线y0 相切的圆的方程5. 求经过点a(0 , 5) ，且与直线x2 y0 和 2 xy0 都相切的圆的方程6. 已知直线l:x+y-2=0和圆 c:x 2 +y 2 -12x-12y+54=0,则与直线l 和圆 c 都相切且半径最小的圆的标准方程是.7 、 设圆满足： (1) 截 y 轴所得弦长为2；(2) 被 x 轴分成两段弧， 其弧长的比为3 : 1，在满足条件 (1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l： x2 y0 的距离最小的圆的方程8. 已知点 p(2,2), 点 m 是圆 o1 :x2+(y-1) 2 =错误！未找到引用源。上的动点 ,点 n 是圆 o2:(x-2) 2+y 2= 错误！未找到引用源。上的动点 ,则|pn|-|pm| 的最大值是()a. 错误！未找到引用源。-1b. 错误！未找到引用源。-2c.2- 错误！未找到引用源。d.3- 错误！未找到引用源。类型二：直线与圆的位置关系（ 1 ） 设 直 线 l : axbyc0 ， 圆 c : xa2yb2r 2 ， 圆 心 c a, b到l的 距 离 为daaa2bbc，则有b 2（ 2 ）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a) 2+(y-b) 2=r2，圆上一点为(x0，y0) ，则过此点的切线方程1 、已知直线3xy230 和圆 x2y 24 ，判断此直线与已知圆的位置关系.2 ：直线 xy1 与圆 x2y 22ay0 (a0) 没有公共点，则a 的取值范围是3 ：若直线 ykx2 与圆 ( x2) 2( y3) 21有两个不同的交点， 则 k 的取值范围是.4 圆 x2 y2 2x 2y 1 0 上的动点q 到直线 3x 4 y8 0 距离的最小值为5.圆 ( x3)2( y3) 29 上到直线 3x4 y110 的距离为1 的点有几个？6. 、若直线yxm 与曲线 y4x 2 有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围 .直线与圆的位置关系有三种情况：7.已知圆m : x( y2)1 ,q 是 x 轴上的动点 ,qa、qb 分别切圆m 于 a， b 两点22(1) 若点 q 的坐标为（ 1，0），求切线 qa、qb 的方程；(2) 求四边形 qamb 的面积的最小值；(3) 若 ab42 ，求直线mq 的方程 .3类型三：圆与圆的位置关系2a222通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。2设圆 c1 : xa12yb1r， c 2 :x2yb2r两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含；当 d0 时，为同心圆。2注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点1 、判断圆c1 : xy 22 x6 y260 与圆 c 2: x2y 24 x2 y40 的位置关系，2 ：圆 x 2y 22x0 和圆 x2y 24 y0 的公切线共有条。3 圆 x2 y2 2x5 0 与圆 x2 y2 2x 4 y 4 0 的交点为a， b，则线段ab 的垂直平分线的方程是 ()a x y 1 0b 2x y 10c x 2y 1 0d xy 1 04 ：求与圆x2y 25 外切于点p(1,2) ，且半径为25 的圆的方程 .5. 在平面直角坐标系xoy 中,圆 c 的方程为x 2+y 2 -8x+15=0, 若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心 ,1 为半径的圆与圆c 有公共点 , 则 k 的最小值是 ()a. 4b. 5c. 3d. 534536. 已知圆c : ( x2) 2y24 ，相互垂直的两条直线l1 、 l2 都过点a(a,0) .（）若l1 、 l2 都和圆 c 相切，求直线l1 、 l2 的方程；（）当a2 时，若圆心为m (1,m) 的圆和圆 c 外切且与直线l1 、 l2 都相切，求圆m 的方程；（）当 a1 时，求l1 、 l2 被圆 c 所截得弦长之和的最大值.类型四：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1. 已知圆o： x2y24 ，求过点p 2，4与圆 o 相切的切线12. 两圆c ： x2yd1 xe1 yf10 与 c ： x2y2d xe2 yf20 相交于 a 、 b 两点，222求它们的公共弦ab所在直线的方程3 、过圆x2y 21 外一点m (2,3)，作这个圆的两条切线ma 、 mb ，切点分别是a 、 b ，求直线 ab 的方程。4 求过点m (3,1) ，且与圆 ( x1)2y 24 相切的直线l 的方程25 、过坐标原点且与圆x25y4x2 y20 相切的直线的方程为类型五：弦长、弧问题1 、求直线l : 3 xy60 被圆c : x2y 22 x4 y0 截得的弦ab 的长 .2 、直线3xy230截圆x 2y24 得的劣弧所对的圆心角为3 、求两圆 x2y 2xy20 和 x 2y25 的公共弦长4 过点 a(11,2) 作圆 x2y2 2 x 4y 164 0 的弦，其中弦长为整数的共有()a 16 条b 17 条 c 32 条d 34 条类型六：圆中的对称问题1 、圆 x2y22 x6y90 关于直线 2 xy50 对称的圆的方程是2自 点 a3，3发 出 的 光 线 l 射 到 x 轴 上 ， 被 x 轴 反 射 ， 反 射 光 线 所 在 的 直 线 与 圆c： x2y 24 x4 y70 相切（ 1）求光线 l 和反射光线所在的直线方程（2 ）光线自a 到切点所经过的路程类型七：圆中的最值问题1 ：圆 x 2y 24x4 y100 上的点到直线xy140 的最大距离与最小距离的差是2(1) 已知圆o1：(x3) 2( y4)21 ，p( x ,y) 为圆 o 上的动点， 求 dx2y 2 的最大、最小值(2)已知圆o2：( x2) 2y 21 ， p( x ,y) 为圆上任一点求y2的最大、最小值，求x1x 2 y 的最大、最小值3 已知圆o： x2 y2 c(0 c1) ，点p(a， b)是该圆面 ( 包括 o 圆周及内部 )上一点，则a b c的最小值等于 4 、已知点a(2,2),b(2,6),c(4,2) ，点 p 在圆x 2y224 上运动，求pa22pbpc的最大值和最小值.类型八：轨迹问题1 设 a 为圆(x 1) 2 y2 1 上的动点， pa 是圆的切线，且|pa| 1 ，则 p 点的轨迹方程是() a (x 1) 2 y2 4b (x1) 2 y2 2c y22 xd y2 2x2 、已知线段ab 的端点 b 的坐标是（ 4， 3 ），端点 a 在圆 ( x1) 2y 24 上运动，求线段ab 的中点 m 的轨迹方程 .3. 如图所示， 已知圆o： x2y24 与 y 轴的正方向交于a 点，点 b 在直线 y2 上运动， 过 b 做圆 o 的切线，切点为c ，求abc 垂心 h 的轨迹4. 已知圆的方程为x2y2r 2 ，圆内有定点p(a , b) ，圆周上有两个动点a 、 b ，使 papb ，求矩形 apbq 的顶点 q 的轨迹方程练习：1 、由动点 p 向圆x 2y 21 引两条切线pa 、 pb ，切点分别为a 、 b ，apb =60 0，则动点 p的轨迹方程是.2 、已知定点b(3,0) ，点 a 在圆x2y 21 上运动，aob 的平分线交ab 于点 m ，则点 m 的轨迹方程是.3. 已知直线ykx1 与圆x 2y 24 相交于a 、 b 两点，以oa 、 ob 为邻边作平行四边形oapb ，求点 p 的轨迹方程 .类型九：圆的综合应用例 25、 已知圆 x2y2x6 ym0 与直线 x2 y30 相交于 p 、 q 两点， o 为原点，且opoq ，求实数 m 的值例 26 、已知对于圆x2( y1)21上任一点p( x ,y) ，不等式xy m0 恒成立，求实数m 的取值范围例 27 有一种大型商品，a、 b 两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离 a 地的运费是 b 地的运费的 3 倍已知 a、 b 两地距离为 10 公里，顾客选择 a 地或 b 地购买这种商品的标准是： 包括运费和价格的总费用较低 求 a 、 b 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法解：以 a 、 b 所确定的直线为x 轴， ab 的中点 o 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系 ab10 ，a(5 , 0) ， b(5 , 0) 设某地 p 的坐标为( x ,y) ，且 p 地居民选择a 地购买商品便宜， 并设 a 地的运费为3a 元/公里，b 地的运费为 a 元/公里因为p 地居民购货总费用满足条件：价格 a地