八年级数学上册 第十三章《轴对称》小专题（四）活用等腰三角形“三线合一”解题试题 （新版）新人教版.doc

小专题(四)活用等腰三角形“三线合一”解题等腰三角形“顶角平分线,底边上的高,底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等,线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程.类型1利用“三线合一”求角1.如图,房屋顶角BAC=100,过屋顶A的立柱ADBC,屋檐AB=AC.求顶架上的B,C,BAD,CAD的度数.解:在ABC中,AB=AC,B=C.B=C=(180-BAC)=40.又ADBC,BAD=CAD=100=50.类型2利用“三线合一”求线段2.在等腰ABC中,AB=AC,ADBC于点D,且AB+AC+BC=50 cm,而AB+BD+AD=40 cm,则AD=15 cm.3.如图,在ABC中,AB=AC,AD=DB=BC,DEAB于点E,若CD=4,且BDC的周长为24,求AE的长.解:BD+BC+CD=24,CD=4,BD+BC=20,AD=BD=BC=10.又AB=AC=AD+CD=14,DEAB,AE=BE=7.类型3利用“三线合一”证角(线段)相等4.如图,已知点D,E,F在ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE,DF=FE.求证:CAE=BAD.证明:AD=AE,DF=FE,DAF=EAF,AFBC.又AB=AC,BAF=CAF,BAF-DAF=CAF-EAF,即CAE=BAD.5.如图,已知AB=AD,AC=AE,BAD=CAE,DB交AC于点F,且AF平分BD,CE交AD于点G,求证:CG=GE.证明:AB=AD,AF平分BD,BF=DF.在BAF和DAF中,BAFDAF(SSS),BAF=DAF.BAD=CAE,BAD-CAD=CAE-CAD,BAC=DAE,CAD=EAG.又AC=AE,CG=GE.类型4利用“三线合一”证垂直6.如图,在ABC中,D是BC上一点,P是AD上一点,若1=2,PB=PC.求证:ADBC.证明:作PMAB于点M,PNAC于点N.1=2,PM=PN.在RtBPM和RtCPN中,RtBPMRtCPN(HL),ABP=ACP.PB=PC,PBC=PCB.ABC=ACB,AB=AC.1=2,ADBC.类型5利用“三线合一”证线段(或角)的倍数关系(构造三线法)7.已知:如图,ABC中,AB=AC,CDAB于点D.求证:BAC=2DCB.解:过点A作AEBC于点E,AEB=90,BAE+B=90.CDAB,DCB+B=90,DCB=BAE.AB=AC,AEBC,BAC=2BAE,BAC=2DCB.8.如图,已知等腰RtABC中,AB=AC,BAC=90,BF平分ABC,CDBD交BF的延长线于点D.试说明:BF=2CD.解:延长BA,CD交于点E.BF平分ABC,CDBD,BD=BD,BDCBDE,BC=BE.又BDCE,CE=2CD.BAC=90,BDC=90,AFB=DFC,ABF=DCF.又AB=AC,BAF=CAE=90,ABFACE,BF=CE.BF=2CD.类型6利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)9.如图,在ABC中,ADBC于点D,且ABC=2C.试说明:CD=AB+BD.解:在线段DC上取一点E,使DE=BD,连接AE.ADBC