北京市怀柔区2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 出符合题目要求的一项） 1命题 p： xR， x 1 的否定是（ ） A p： xR， x1 B p： xR， x1 C p： xR， x 1 D p： xR， x 1 2双曲线 的实轴长为（ ） A 4 B 2 C D 1 3点 P（ 1， 2）到直线 8x 6y+15=0 的距离为（ ） A 2 B C 1 D 4如果直线 y+2=0 与直线 3x y 2=0 平行，则 a=（ ） A 3 B C 6 D 5下列四个命题 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； 垂直于同一个平面的两条直线相 互平行； 垂直于同一条直线的两个平面相互平行； 垂直于同一个平面的两个平面相互平行； 其中错误的命题有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 “平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数 ”是 “平面内一动点 P 的轨迹为椭圆 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知点 P（ x， y）为圆 C： x2+6x+8=0 上的一点，则 x2+最大值是（ ） A 2 B 4 C 9 D 16 8如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 直线 正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分，请把正确答案填在答题卡上） 9直线 y=2x+1的斜率为 9直线 y=2x+1 的斜率为 10命题 “若 1，则 1 x 1”的逆命题是 11抛物线 y 的焦点坐标为 12一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 第 2 页（共 14 页） 13一个球的体积在数值上等于其表面积的 2 倍，则该球半径为 14平面上一机器人在行进中始终保持与点 F（ 1， 0）的距离和到直线 x= 1 的距离相等，若机器人接触不到过点 P（ 1， 0）且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6小题，共 80分 明过程或演算步骤 15已知正方形 边长为 2， 平面 ， E 是 点以 A 为原点，建立如图所示的 空间直角坐标系 A （ ）求点 A， B， C， D， P， E 的坐标； （ ）求 16已知点 A（ 0， 6）， B（ 1， 5），且 D 为线段 中点 （ ）求中点 D 的坐标； （ ）求线段 垂直平分线的方程 17如图，正四棱柱 ，点 E 在 且 （ ）证明： 平面 （ ）求向量 和 所成角的余弦值 18已知直线 l 过点（ 2， 1）和点（ 4， 3） （ ）求直线 l 的方程； （ ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，且与 y 轴相切于（ 0， 3）点，求圆 C 的方程 19如图， 矩形 在的平面， M， N 分别是 中点，且 B=2 （ I）求证： （ ）求二面角 P M 的余弦值大小； 第 3 页（共 14 页） （ ）在线段 是否存在一点 G，使 平面 不存在，说明理由；若存在，确定点 c 的位置 20已知椭圆 （ a b 0）的离心率为 ，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为 （ ）求圆的方程； （ ）四边形 顶点在椭圆 C 上，且对角线 过坐标原点 O，若 （ 1）求 的取值范围； （ 2）证明：四边形 面积为定值 第 4 页（共 14 页） 2015年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 出符合题目要求的一项） 1命题 p： xR， x 1 的否定是（ ） A p： xR， x1 B p： xR， x1 C p： xR， x 1 D p： xR， x 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据特称 命题的否定是全称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是特称命题， 则命题的否定是： xR， x1， 故选： A 2双曲线 的实轴长为（ ） A 4 B 2 C D 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的 a=2，即可得到双曲线的实轴长 2a 【解答】 解：双曲线 的 a=2， 则双曲线的实轴长为 2a=4， 故 选 A 3点 P（ 1， 2）到直线 8x 6y+15=0 的距离为（ ） A 2 B C 1 D 【考点】 点到直线的距离公式 【分析】 点 P（ 直线 ax+by+c=0 的距离： d= ，由此能求出点 P（ 1， 2）到直线 8x 6y+15=0 的距离 【解答】 解：点 P（ 1， 2）到直线 8x 6y+15=0 的距离： d= = ， 故选 B 4如果直线 y+2=0 与直线 3x y 2=0 平行，则 a=（ ） A 3 B C 6 D 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 第 5 页（共 14 页） 【分析】 由于直线 y+2=0 与直线 3x y 2=0 平行，故它们的斜率相等，故有 =3，由此解得 a 的值 【解答】 解：由于直线 y+2=0 与直线 3x y 2=0 平行，故它们的斜率相等，故有 =3，解得 a= 6， 故选 C 5下列四个命题 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； 垂直于同一个平面的两条直线相互平行； 垂直于同一条直线的两个平面相互平行； 垂直于同一个平面的两个平面相互平行； 其中错误的命题有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间 的位置关系 【分析】 对选项 可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项 根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可 【解答】 解： 垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立 垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确； 垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确； 垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立； 故选 B 6 “平面内一动点 P 到两个定点的距 离的和为常数 ”是 “平面内一动点 P 的轨迹为椭圆 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的定义进行判断即可 【解答】 解：若平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数，当常数小于等于两定点的距离时，轨迹不是椭圆， 若平面内一动点 P 的轨迹为椭圆，则平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数成立， 即 “平面内一动点 是 “平面内一动点 的必要不充分条件， 故选： B 7已知点 P（ x， y）为圆 C： x2+6x+8=0 上的一点，则 x2+最大值是（ ） A 2 B 4 C 9 D 16 【考点】 圆的一般方程 【分析】 将圆 C 化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，根据图形得到当 P 与 A 重合时，离原点距离最大，求出所求式子的最大值即可 第 6 页（共 14 页） 【解答】 解：圆 C 化为标准方程为（ x 3） 2+， 根据图形得到 P 与 A（ 4， 0）重合时，离原点距离最大，此时 x2+2=16 故选 D 8如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 直线 正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 直线 正方体的左右两个侧面平行，与另外的四个面都相交 【解答】 解：由题意可知直线 正方体的左右两个侧面平行， 与正方体的上下底面相交，前后侧面相交， 所以直线 正方体的六个 面所在的平面相交的平面个数为 4 故答案为： 4 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分，请把正确答案填在答题卡上） 9直线 y=2x+1的斜率为 9直线 y=2x+1 的斜率为 2 【考点】 直线的斜率 【分析】 根据斜截式直线方程 y=kx+b 的斜率为 k，写出斜率即可 【解答】 解：直线 y=2x+1 的斜率为 2 故答案为： 2 10命题 “若 1，则 1 x 1”的逆命题是 若 1 x 1，则 1 第 7 页（共 14 页） 【考点】 四种命题 【分析】 根据逆命题的定义进行求解，注意分清命题的题设和结论 【解答】 解：命题 “若 1，则 1 x 1”的逆命题是： 若 1 x 1，则 1， 故答案为： 1 x 1，则 1 11抛物线 y 的焦点坐标为 （ 0， 1） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线 y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标 【解答】 解：抛物线 y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p=4， 抛物线 y 的 焦点坐标为（ 0， 1） 故答案为：（ 0， 1） 12一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积 【解答】 解：由三视图复原几何体，如图， 它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为 2， 这个几何体的体积： 故答案为 4 13一个球的体积在数值上等于其表面积的 2 倍，则该球半径为 6 第 8 页（共 14 页） 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可 【解答】 解：设球的半径为 r，则球的体积为： ，球的表面积为： 4 R=6 故答案为： 6 14平面上一机器人在行进中始终保持与点 F（ 1， 0）的距离和到直线 x= 1 的距离相等，若机器人接触不到过点 P（ 1， 0）且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 k 1 或 k 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点 P（ 1， 0）且斜率为 k 的直线方程为 y=k（ x+1），代入 x，利用判别式，即可求出 k 的取值范围 【解答】 解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为 x， 过点 P（ 1， 0）且斜率为 k 的直线方程为 y=k（ x+1）， 代入 x，可得 24） x+， 机器人接触不到过点 P（ 1， 0）且斜率为 k 的直线， =（ 24） 2 40， k 1 或 k 1 故答案为： k 1 或 k 1 三、解答题（本大题共 6小题，共 80分 明过程或演算步骤 15已知正方形 边长为 2， 平面 ， E 是 点以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A （ ）求点 A， B， C， D， P， E 的坐标； （ ）求 【考点】 空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标 【分析】 （ ）利用空间直角坐标系的性质能求出点 A， B， C， D， P， E 的坐标 （ ）先求出向量 ，再求 | |的长 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ ） 正方形 边长为 2， 平面 ， E 是 点 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 2， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 0， 1， 0） （ ） =（ 2， 1， 0）， | |= = 第 9 页（共 14 页） 16已知点 A（ 0， 6）， B（ 1， 5），且 D 为线段 中点 （ ）求中点 D 的坐标； （ ）求线段 垂直平分线的方程 【考点】 待定系数法求直线方程 【分析】 （ ）由已 知条件求出 中点坐标为（ ， ），（ ）求出 ，由此能求出线段 垂直平分线的方程 【解答】 解：（ ） A（ 0， 6）， B（ 1， 5）， 中点 D 坐标为（ ， ）， （ ） =1， 线段 垂直平分线的斜 率是 1， 线段 垂直平分线的方程为： y+ =（ x ）， 整理，得 x+y+5=0 17如图，正四棱柱 ，点 E 在 且 （ ）证明： 平面 （ ）求向量 和 所成角的余弦值 【考点】 平面向量数量积的运算；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）建立空间直角坐标系，求出 =0， =0，证明 平面 （ ）根据向量的夹角公式，即可求出余弦值 第 10 页（共 14 页） 【解答】 解：（ ）以 D 为坐标原点，射线 x 轴的正半轴，建立如图所示直 角坐标系D 依题设， B（ 2， 2， 0）， C（ 0， 2， 0）， E（ 0， 2， 1）， 2， 0， 4）， 0， 2， 4）， D（ 0， 0， 0） =（ 0， 2， 1）， =（ 2， 2， 0）， =（ 2， 2， 4）， =（ 0， 2， 4）， = 22+22+0（ 4） =0， =0+4 4=0 又 E=D， 平面 （ ） =（ 2， 2， 4）， =（ 0， 2， 4）， = 20+22+（ 4） 4= 12， | |= =2 ， = =2 ， = = = 18已知直线 l 过点（ 2， 1）和点（ 4， 3） （ ）求直线 l 的方程； （ ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，且与 y 轴相切于（ 0， 3）点，求圆 C 的方程 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）由两 点式，可得直线 l 的方程； （ ）利用圆 C 的圆心在直线 l 上，且与 y 轴相切于（ 0， 3）点，确定圆心坐标与半径，即可求圆 C 的方程 【解答】 解：（ ）由两点式，可得 ，即 x y 1=0； （ ） 圆 C 的圆心在直线 l 上，且与 y 轴相切于（ 0， 3）点， 圆心的纵坐标为 3， 横坐标为 2，半径为 2 圆 C 的方程为（ x+2） 2+（ y 3） 2=4 19如图， 矩形 在的平面， M， N 分别是 中点，且 B=2 第 11 页（共 14 页） （ I）求证： （ ）求二面角 P M 的余弦值大小； （ ）在线段 是否存在一点 G，使 平面 不存在，说明理由；若存在，确定点 c 的位置 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ I）建立空间直角坐标系，证明 ，可得 （ 出平面 法向量、平面 法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角 P M 的余弦值大小； （ ）设出 G 的坐标，由 ，即可求得结论 【解答】 （ I）证明：设 B=2，以 x 轴，以 y 轴，以 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 1， 0）， N（ 1，0， 0） ， ， （ ）解：由（ I）知， M（ 1， ， 1）， =（ 1， ， 1）， =（ 2， 0， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z），则 =0， =0， ， =（ 2， 0， 1）， 平面 法向量 =（ 1， 0， 0）， 二面角 P M 的余弦值 = = ； （ ：假设线段 是存在一点 G（ 0， ， 0）（ 0 1），使 平面 则 =（ 1， ， 1）， =（ 0， 1， 0）， =（ 2， 1， 2） 由 ，可得 ，解得 线段 中点 G，使 平面 第 12 页