北京市朝阳区2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 出符合题目要求的一项） 1圆（ x 2） 2+ 被直线 x=1 截得的弦长为（ ） A 1 B C 2 D 2抛物线 x 上与其焦点距离等于 3 的点的横坐标是（ ） A 1 B 2 C D 3已知 p： “x 2”， q： “4”，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 4已知两条不同的直线 a， b，三个不同的平面 ， ， ，下列说法正确的是（ ） A若 a ， b a，则 b B若 a ， a ，则 C若 ， a ，则 a D若 ， ，则 5在圆 x2+6 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 D 为垂足，当点 P 在圆 上运动时，线段 中点 M 的轨迹方程是（ ） A B x2+ C D 6如图，在平行六面体 ， M 为 交点，若 = ， = ， = 则下列向量中与 相等的向量是（ ） A + + B C D + 7若由方程 和 y b） 2=2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数 b 的取值范围是（ ） A 或 B b 2 或 b 2 C 2 b 2 D 8设 O 是坐标原点，若直线 l： y=x+b（ b 0）与圆 x2+ 交于不同的两点 ，则实数 b 的最大值是（ ） A B 2 C D 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 10已知动圆 C 位于抛物线 y 的内部（ 4y），且过该抛物 线的顶点，则动圆 C 的周长的最大值是（ ） A B 2 C 4 D 16 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，请把正确答案填在答题卡上） 11写出命题 p： ”任意两个等腰直角三角形都是相似的 ”的否定 p： ；判断 命题（后一空中填 “真 ”或 “假 ”） 12已知 A（ 8， 0）， B（ 0， 6）， O（ 0， 0），则 外接圆的方程是 13中心在原点，焦点在 y 轴上，虚轴长为 并且离心率为 3 的双 曲线的渐近线方程为 14过椭圆 C： + =1 的右焦点 直线与椭圆 C 相交于 A， B 两点若 = ，则点 A 与左焦点 距离 | 15如图为四棱锥 P 表面展开图，四边形 矩形， ， 已知顶点 P 在底面 的射影为点 A，四棱锥的高为 ，则在四棱锥 P ， 成角的正切值为 第 3 页（共 19 页） 16如图，正方体 棱长为 1， N 为 点， M 为线段 的动点，（ M 不与 B， 合）有四个命题： 平面 平面 平面 平面 三棱锥 D 体积有最大值 其中真命题 的序号是 三、解答题（本大题共 3 小题，共 40 分 明过程或演算步骤 17如图，长方体 ， B=1， ， E 为 中点，点 M， 中点 （ ）求证：平面 平面 （ ）求证：平面 平面 18如图，四棱锥 P 底面 直角梯形， C，且 ， C， 0，平面 底面 E 为 中点， 等边三角形， M 是第 4 页（共 19 页） 棱 的一点，设 （ M 与 C 不重合） （ ）求证： （ ）若 平面 k 的值； （ ）若二面角 M A 的平面角为 150，求 k 的值 19已知椭圆 W： ，过原点 O 作直线 椭圆 W 于 A， B 两点， P 为椭圆上异于 A， B 的动点，连接 直线 斜率分别为 0），过 A， 平行线 别交椭圆 W 于 C， D 和 E， F （ ）若 A， B 分别为椭圆 W 的左、右顶点，是否存在点 P，使 0？说明理由 （ ）求 k1值； （ ）求 |+| 的值 第 5 页（共 19 页） 2015年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 出符合题目要求的一项） 1圆（ x 2） 2+ 被直线 x=1 截得的弦长为（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 算出已知圆的圆心为 C（ 2， 0），半径 r=2利用点到直线的距离公式，算出点 l 的距离 d=1，由垂径定理加以计算，可得直线 l 被圆截得的弦长 【解答】 解：圆（ x 2） 2+ 的圆心为 C（ 3， 0），半径 r=2， 点 C 到直线直线 x=1 的距离 d=1， 根据垂径定理，得圆（ x 2） 2+ 被直线 x=1 截得的弦长为 2 =2 故选： D 2抛物线 x 上与其焦点距离等于 3 的点的横坐标是（ ） A 1 B 2 C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 确定抛物线 x 的 焦点为（ ， 0），准线方程为 x= 设所求点 P 的坐标为（ 利用 |3，结合抛物线的定义即可得出 【解答】 解：由抛物线方程 x 的焦点为（ ， 0），准线方程为 x= 设所求点 P 的坐标为（ 由抛物线的定义可得， |=3 解得 故选： C 3已知 p： “x 2”， q： “4”，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 4，解得 x 2 或 x 2，即可判断出结论 【解答】 解：由 4，解得 x 2 或 x 2， p 是 q 的充分不必要条件 故选： A 第 6 页（共 19 页） 4已知两条不同的直线 a， b，三个不同的平面 ， ， ，下列说法正确的是（ ） A若 a ， b a，则 b B若 a ， a ，则 C若 ， a ，则 a D若 ， ，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：对于 A，若 a ， b a，则 b ， b 与 相交或 b，不正确； 对于 B，若 a ， a ，则 或 ， 相交，不正确； 对于 C，若 ， a ，则 a 或 a，不正确； 对于 D，若 ， ，在 内存在直线与 垂直，根据平面与平面垂 直的判定，可得 ，正确 故选： D 5在圆 x2+6 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 D 为垂足，当点 P 在圆上运动时，线段 中点 M 的轨迹方程是（ ） A B x2+ C D 【考点】 轨迹方程 【分析】 设出 M 为线段 中点得到 P 的坐标，把 P 的坐标代入圆 x2+6整理得线段 中 点 M 的轨迹 【解答】 解：设 M（ x， y），由题意 D（ x， 0）， P（ x， M 为线段 中点， =2y， y 又 P（ x， 圆 x2+6 上， x2+6， 6，即 =1 点 M 的轨迹方程为 =1 故选： C 6如图，在平行六面体 ， M 为 交点，若 = ， = ， = 则下列向量中与 相等的向量是（ ） 第 7 页（共 19 页） A + + B C D + 【考点】 相等向量与相反向量 【分 析】 由题意可得 = + = + = + ，化简得到结果 【解答】 解：由题意可得 = + = + = + = + （ ） = + （ ） = + + ， 故选 A 7若由方程 和 y b） 2=2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数 b 的取值范围是（ ） A 或 B b 2 或 b 2 C 2 b 2 D 【考点 】 曲线与方程 【分析】 由方程 和 y b） 2=2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解，直线与 y b） 2=2 相切或相离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论 【解答】 解：由题意， 表示两条直线 x y=0 由方程 和 y b） 2=2 所组成的方程组至多有两组不同的实数解， 直线与 y b） 2=2 相切或相离， ， b 2 或 b 2， 故选： B 8设 O 是坐标原点，若直线 l： y=x+b（ b 0）与圆 x2+ 交于不同的两点 ，则实数 b 的最大值是（ ） A B 2 C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设 点为 D，则 定 | |2 2，即可求出实数 b 的最大值 【解答】 解：设 点为 D，则 ， | | 2| |， | |2+ | |2=4 | |2 2 直线 l： y=x+b（ b 0）与圆 x2+ 交于不同的两点 | |2 4 | |2 2 （ ） 2 2 第 8 页（共 19 页） b 0 b 2 实数 b 的最大值是 2 故选： B 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 根据三视图作出三棱锥的直观图，根据三视图中的数据计算棱锥的体积 【解答】 解：由三视图可知三棱锥是从边长为 4 的正方体中截出来的 M 其中 M 为中点 三棱锥的体积 V= = = 故选： C 10已知动圆 C 位于抛物线 y 的内部（ 4y），且过该抛物线的顶点，则动圆 C 的周长的最大值是（ ） A B 2 C 4 D 16 【考点】 抛物线的简单性质 第 9 页（共 19 页） 【分析】 设圆的方程为 y b） 2= y 联立可得 4 2b） y=0，利用 4 2b=0，求出 b，即可求出动圆 C 的周长的最大值 【解答】 解：设圆的方程为 y b） 2= 与 y 联立可得 4 2b） y=0， 4 2b=0， b=2， 动圆 C 的周长的最大值是 2 2=4 故选： C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，请把正确答案填在答题卡上） 11写出命题 p： ”任意两个等腰直角三角形都是相似的 ”的否定 p： 存在两个等腰直角三角形，它们不相似 ；判断 p 是 假 命题（后一空中填 “真 ”或 “假 ”） 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定是：存在两个等腰直角三角形，它们不相似， 任意两个等腰直角三角形都是相似的为真命题， 原命题为真命题，则命题的否定为假命题， 故答案为：存在两个等腰直角三角形，它们不相似 假 12已知 A（ 8， 0）， B（ 0， 6）， O（ 0， 0），则 外接圆的方程是 （ x 4） 2+（ y 3） 2=25 【考点】 圆的标准方程 【分析】 根据题意， 以 斜边的直角三角形，因此外接圆是以 直径的圆由此算出 点 C 的坐标和 度，结合圆的标准方程形式，即可求出 外接圆的方程 【解答】 解： 顶点坐标为 A（ 8， 0）， B（ 0， 6）， O（ 0， 0）， 得 外接圆是以 直径的圆 点为 C（ 4， 3）， |10 圆的圆心为 C（ 4， 3），半径为 r=5 可得 外接圆的方程为（ x 4） 2+（ y 3） 2=25 故答案为：（ x 4） 2+（ y 3） 2=25 13中心在原点，焦点在 y 轴上， 虚轴长为 并且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为 y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的方程为 =1（ a， b 0），由题意可得 b，运用离心率公式和 a，b， c 的关系，可得 a=1，可得双曲线的方程，即可得到渐近线方程 【解答】 解：设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 由题意可得 2b=4 ，即 b=2 ， 第 10 页（共 19 页） 又 e= =3， c2=a2+ 解得 a=1， 可得双曲线的方程为 =1， 即有渐近线的方程为 y= x 故答案为： y= x 14过椭圆 C： + =1 的右焦点 直线与椭圆 C 相交于 A， B 两点若 = ，则点 A 与左焦点 距离 | 【考点】 椭圆的 简单性质 【分析】 求得椭圆的 a， b， c，右焦点坐标，由 = ，可得 中点，即有x 轴，令 x=1，可得 |再由椭圆的定义，即可得到所求值 【解答】 解：椭圆 C： + =1 的 a=2， b= ， c=1， 右焦点 （ 1， 0）， 由 = ，可得 中点， 即有 x 轴，令 x=1，可得 y= = ， 由椭圆的定义可得， |2a=4， 可得 |4 |4 = 故答案为： 15如图为四棱锥 P 表面展开图，四边形 矩形， ， 已知顶点 P 在底面 的射影为点 A，四棱锥的高为 ，则在四棱锥 P ， 成角的正切值为 第 11 页（共 19 页） 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 作出四棱锥的直观图，根据 平面 可得出 所求角，利用勾股定理计算 可得出线面角的正切值 【解答】 解：作出四棱锥的直观图如图所示： 顶点 P 在底面 的射影为点 A， 平面 直线 平面 成的角， 四边形 矩形， ， ， ， 故答案为： 16如图，正方体 棱长为 1， N 为 点， M 为线段 的动点，（ M 不与 B， 合）有四个命题： 平面 平面 平面 平面 三棱锥 D 体 积有最大值 其中真命题的序号是 第 12 页（共 19 页） 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐一判断 4 个命题得答案 【解答】 解： 60角， 平面 垂直， 错误； 平面 平面 平面 正确； 平面 平面 合，而平面 平面 正确； M 与 B 重合时，三棱锥 D 体积最大，而 M 不与 B， 合， 错误 z 正确 命题的序号为 故答案为： 三、解答题（本大题共 3 小题，共 40 分 明过程或演算步骤 17如图，长方体 ， B=1， ， E 为 中点，点 M， 中点 （ ）求证：平面 平面 （ ）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；平面与平面平 行的判定 第 13 页（共 19 页） 【分析】 （ I）由中位线定理可得 长方体的结构特征可得四边形 平行四边形，故 而平面 平面 （ 平面 得 线段的长度可由勾股定理的逆定理得出 平面 而平面 平面 【解答】 解：（ ） M， N 分别为棱 中点， 面 面 平面 E 是 点， N 是 中点， E， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 又 N=N， 面 面 平面 平面 （ ） 平面 面 ， ， E 为 中点， ， 面 面 ， 平面 又 面 以平面 平面 18如图，四棱锥 P 底面 直角梯形， C，且 ， C， 0，平面 底面 E 为 中点， 等边三角形， M 是棱 的一点，设 （ M 与 C 不重合） （ ）求证： （ ）若 平面 k 的值； （ ）若 二面角 M A 的平面角为 150，求 k 的值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）推导出 而 平面 而 由 平面 此能证明 . （ ）连接 N，连接 导出 而 0，进而 此能求出 k=1 第 14 页（共 19 页） （ ）法一：连接 点 M 作 F，过 A（ 0， 1， 0）作 G，连接 二面角 M C 的平面角，由 此能示出 k 法二：以 E 为原点，射线 别为 x 正半轴， y 正半轴， z 正半轴建立空间直角坐标系，利用和量法能求出 k 【解答】 （本题满分 14 分） 证明：（ ）因为 等边三角形， E 为 中点，所以 因为平面 平面 平面 面 D， 面 所以 平面 又 面 以 由已知得 D=E，所以 平面 双 面 以 . 解：（ ）连接 N， 连接 因为 平面 面 平面 面 N，所以 因为 以 0 又 E， 以 所以 A，则 M 为 中点， k=1 . （ ）方法一： 依题意，若二面角 M A 的大小为 150，则二面角 M C 的大小为 30 连接 点 M 作 F，过 A（ 0， 1， 0）作 G，连接 因为 平面 以 平面 又 面 以 又 G=F， 面 面 所以 平面 而 则 二面角 M C 的平面角，即 0 在等边 ， 由于 ，所以 又 ，所以 在 ， 解得 k=3 . 方法二：由于 E 为原点， 射线 别为 x 正半轴， y 正半轴， z 正半轴建立空间直角坐标系， 如图 ， 0， A（ 0， 1， 0）， ， ， D（ 0， 1， 0）， E（ 0， 0， 0）， 平面 面的一个法向量为 =（ 0， 0， 1） 设 M（ x， y， z），由条件 可知： （ k 0）， 即 ， 第 15 页（共 19 页） ，解得： 即 ， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， x=0，令 ，则 z=k即 =（ 0， ） 因为二面角 M A 的平面角为 150， 所以 | |=|，即 = = ， 解得 k= 3 因为 k 0，所以 k=3 . 19已知椭圆 W： ，过原点 O 作直线 椭圆 W 于 A， B 两点， P 为椭圆上异于 A， B 的动点，连接 直线 斜率分别为 0），过 A， 平行线 别交椭圆 W 于 C， D 和 E， F （ ）若 A， B 分别为椭圆 W 的左、右顶点，是否存在点 P，使 0？说明理由 （ ）求 k1值； （ ）求 |+| 的值 第 16 页（共 19 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）不存在点 P，使 0理由如下：设 P（ 运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可判断； （ ）设 P（ A（ 运用直线的斜率公式和点差法，化简整理可得所求值； （ ）方法一：由于 别平行于直线