新乡市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1直线 x y+a=0（ a R）的倾斜角为（ ） A 30 B 60 C 150 D 120 2复数 z= 的共轭复数是（ ） A 1 i B 1+i C 2+i D 2 i 3某单位有 840 名职工，现采用 系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2， ，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 481， 720的人数为（ ） A 11 B 12 C 13 D 14 4在锐角 ，角 A， B 所对的边长分别为 a， b若 2b，则角 A 等于（ ） A B C D 5设集合 M=x|x 2016， N=x|y=x ，则下列关系中正确的是（ ） A N M B M N=R C MN=x|0 x 1 D MN= 6已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 60，则 “m=1”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7从 （其中 m， n 1， 2， 3）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为（ ） A B C D 8已知函数 f（ x） =2x+），其中 0 2，若 恒成立，且，则 等于（ ） A B C D 9设 m， n 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，有以下四个命题： 第 2 页（共 21 页） 其中，真命题是（ ） A B C D 10已知 + ） + ， 0，则 + ）等于（ ） A B C D 11已知 ，则二项式 的展开式中 x 的系数为（ ） A 10 B 10 C 80 D 80 12已知函数 y=f（ x）是定义在 R 上的增函数，函数 y=f（ x 1）的图象关于（ 1， 0）对称若对任意的 x， y R，不等式 f（ 6x+21） +f（ 8y） 0 恒成立，则当 x 3 时， x2+ ） A（ 9， 25） B（ 13， 49） C（ 3， 7） D（ 9， 49） 二 、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13设等比数列 公比 ，前 n 项和为 = 14已知不等式组 ，表示的平面区域的面积为 4，点 P（ x， y）在所给平面区域内，则 z=2x+y 的最大值为 15如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间 2， 内，则输入的实数 x 的取值范围是 16一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是 第 3 页（共 21 页） 三、解答题（本大题共 5 小题， 70 分） 17已知等差数列 足 ， a5+6，数列 前 n 项和 （ ）求 （ ）令 （ n N*），求数列 前 n 项和 18为了体现国家 “民生工程 ”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供 A、 B、 C 三人自主申请，他们的申请是相互独立的 （ ）求 A、 B 两人都申请甲套住房的概率； （ ）求 A、 B 两人不申请同一套住房的概率； （ ）设 3 名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为 ，求 的分布列和数学期望 19如图已知四棱锥 P 底面 边长为 2 的正方形， 底面 E，F 分别为棱 中点 （ ）若 ，求异面直 线 成角的余弦值 （ ）若二面角 P C 的余弦值为 ，求四棱锥 P 体积 20已知椭圆 物线 焦点均在 x 轴上， 中心和 顶点均为原点 O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： x 3 2 4 y 2 0 4 （ ）求 标准方程； （ ）请问是否存在直线 l 满足条件： 过 焦点 F； 与 不同两点 M、 N 且满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 21已知函数 f（ x） =x R（ e 是自然对数的底数） （ 1）若 k R，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 k 0，讨论函数 f（ x）在（ ， 4上的零点个数 选修 4何证明选讲 第 4 页（共 21 页） 22如图， O 是等腰三角形 外接圆 ， C，延长 点 D，使 C，连接 O 于点 E，连接 于点 F （ 1）判断 否平分 说明理由； （ 2）若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 （ 为参数）与曲线 =4 1）写出曲线 普通方程和曲线 直角坐标方程； （ 2）求曲线 共弦的长度 选修 4等式选 讲 24（选做题）已知 f（ x） =|x+1|+|x 1|，不等式 f（ x） 4 的解集为 M （ 1）求 M； （ 2）当 a， b M 时，证明： 2|a+b| |4+ 第 5 页（共 21 页） 2015年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1直线 x y+a=0（ a R）的倾斜角为（ ） A 30 B 60 C 150 D 120 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角 【解答】 解：由题意，直线的斜率为： k= ，即直线倾斜角的正切值是 ， 又倾斜角 0， 180），且 故直线的倾斜角为： 60， 故选： B 2复数 z= 的共轭复数是（ ） A 1 i B 1+i C 2+i D 2 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算法则即可得到结论 【解答】 解： z= = = ， 则复数 z= 的共轭复数是 1 i， 故选： A 3某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽 取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1， 2， ，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 481， 720的人数为（ ） A 11 B 12 C 13 D 14 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，那么从 20 人抽取 1 人从而得出从编号 481 720 共 240 人中抽取的人数即可 【解答】 解：使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 20 人抽取 1 人 所以从编号 1 480 的人中，恰好抽取 =24 人，接着从编号 481 720 共 240 人中抽取=12 人 故： B 4在锐角 ，角 A， B 所对的边长分别为 a， b若 2b，则角 A 等于（ ） 第 6 页（共 21 页） A B C D 【考点 】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理可求得 合题意可求得角 A 【解答】 解： 在 ， 2b， 由正弦定理 = =2R 得： 2 ，又 锐角三角形， A= 故选 D 5设集合 M=x|x 2016， N=x|y=x ，则下列关系中正确的是（ ） A N M B M N=R C MN=x|0 x 1 D MN= 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 N 中 x 的范围确定出 N，求出 M 与 N 的交集、并集，即可作出判断 【解答】 解：由 N 中 y=x 得到 x 0，即 x 0， 分解因式得： x（ x 1） 0， 解得： 0 x 1，即 N=x|0 x 1， M=x|x 2016， MN=x|0 x 1， M N=x|x 2016， 故选： C 6已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 60，则 “m=1”是 “ ”的（ ） A充分不必要条 件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 由已知中平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 60，分别判断 “m=1”“ ”与 “ ”“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论 【解答】 解： 向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 60， =1， =1 当 m=1 时， = = =0 故 当 时， m =1 m=0， 第 7 页（共 21 页） 故 m=1 故 “m=1”是 “ ”的充要条件 故选 C 7从 （其中 m， n 1， 2， 3）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线） 方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 m 和 n 的所有可能取值共有 3 3=9 个，其中有两种不符合题意，故共有 7 种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线 的选法，即 m 和 n 都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率 【解答】 解：设（ m， n）表示 m， n 的取值组合，则取值的所有情况有（ 1， 1），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 3）共 7 个，（注意（ 1， 2），（ 1， 3）不合题意） 其中能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的有：（ 2， 2），（ 2， 3），（ 3， 2），（ 3， 3）共 4 个 此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 故选 B 8已知函数 f（ x） =2x+），其中 0 2，若 恒成立，且，则 等于（ ） A B C D 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由 对 x R 恒成立，结合函数最值的定义，求得 f（ ）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角 的值，结合 f（ ） f（ ），易求出满足条件的具体的 值 【解答】 解：若 对 x R 恒成立， 则 f（ ）等于函数的最大值或最小值 即 2 +=， k Z 则 =， k Z 第 8 页（共 21 页） 又 ，即 0， 0 2 当 k=1 时，此时 = ，满足条件 故选 C 9设 m， n 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，有以下四个命题： 其中，真命题是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论 【分析】 对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可 【解答】 解： 对于 利用平面与平面平行的性质定理可证 ， ，则 ，正确 对于 面 面 面 时 面 正确 对应 m 内有一直线与 m 平行，而 m ， 根据面面垂直的判定定理可知 ，故正确 对应 m 有可能在平面 内，故不正确， 故选 C 10已知 + ） + ， 0，则 + ）等于（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答 第 9 页（共 21 页） 【解答】 解： + ） + ， ， ， ） = ， + ） =+（ ） = ） = 故选 C 11已知 ，则二项式 的展开式中 x 的系数为（ ） A 10 B 10 C 80 D 80 【考点】 二项式定理；微积分基本定理 【分析】 利用定积分的意义可求得 a，再利用二项展开式的通项公式即可求得二项式的展开式中 x 的系数 【解答】 解： a=2 （ x+ ） x+ ） =2（ ） = 2， = ， 设其二项展开式的通项公式 =（ 2） r （ 5 rx r=（ 2） r 3r， 令 10 3r=1 得： r=3 =（ 2） 3 x= 8 10x= 80x， 二项式 的展开式中 x 的系数为 80 故选 D 12已知函数 y=f（ x）是定义在 R 上的增函数，函 数 y=f（ x 1）的图象关于（ 1， 0）对称若对任意的 x， y R，不等式 f（ 6x+21） +f（ 8y） 0 恒成立，则当 x 3 时， x2+ ） A（ 9， 25） B（ 13， 49） C（ 3， 7） D（ 9， 49） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 由函数 y=f（ x 1）的图象关于点（ 1， 0）对称，结合图象平移的知识可知函数 y=f（ x）的图象关于点（ 0， 0）对称，从而可知函数 y=f（ x）为奇函数，由 f（ 6x+21） +f（ 8y） 0 恒成立，可把问题转化为（ x 3） 2+（ y 4） 2 4，即可求 【解答】 解： 函数 y=f（ x 1）的图象关于点（ 1， 0）对称， 函数 y=f（ x）的图象关于点（ 0， 0）对称， 第 10 页（共 21 页） 即函数 y=f（ x）为奇函数，则 f（ x） = f（ x）， 又 f（ x）是定义在 R 上的增函数且 f（ 6x+21） +f（ 8y） 0 恒成立 f（ 6x+21） f（ 8y） =f（ 8y 成立， 6x+21 8y （ x 3） 2+（ y 4） 2 4 恒成立， 设 M （ x， y），则当 x 3 时， M 表示以（ 3， 4）为圆心 2 为半径的右半圆内的任意一 点， 则 d= 表示区域内的点和原点的距离 由图可知： d 的最小值是 ， C+5+2=7， 当 x 3 时， x2+范围为（ 13， 49） 故选 B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13设等比数列 公比 ，前 n 项和为 = 15 【考点】 等比数列的性质 【分析】 先通过等比数列的求和公式，表示出 知 a4=而把 q 代入 约分化简可得到答案 【解答】 解：对于 ， 14已知不等式组 ，表示的平面区域的面积为 4，点 P（ x， y）在所给平面区域内，则 z=2x+y 的最大值为 6 【考点】 简单线性规划的应用 第 11 页（共 21 页） 【分析】 先画出满足约束条件 的平面区域，利用平面区域的面积为 4 求出 a=2然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 2x+y 中，求出 2x+y 的最大值 【解答】 解：满足约束条件 的平面区域如图 所以平面区域的面积 S= a2a=4a=2， 此时 A（ 2， 2）， B（ 2， 2） 由图得当 z=2x+y 过点 A（ 2， 2）时， z=2x+y 取最大值 6 故答案为 6 15如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间 2， 内，则输入的实数 x 的取值范围是 （ ， 1 ， 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图 得出函数 y=f（ x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量 x 的取值范围即可 第 12 页（共 21 页） 【解答】 解：由程序框图可知： f（ x） = ， 输出的函数值在区间 2， 内， 必有当 x 0 时， 0 2x ； 当 x 0 时， 2 解得 x 1 或 x 故答案为：（ ， 1 ， 16一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是 【考点】 球的体积和表面积；由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图 知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的体积 【解答】 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱 三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形 棱长是 2， 三棱柱的两个底面的中心连接的线段 中点 O 与三棱柱的顶点 A 的连线 是外接球的半径， 边长为 3 的等边三角形， ， = ， ， 这个球的半径 r= =2， 这个球的体积 V= 23= ， 故答案为： 第 13 页（共 21 页） 三、解答题（本大题共 5 小题， 70 分） 17已知等差数列 足 ， a5+6，数列 前 n 项和 （ ）求 （ ）令 （ n N*），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 （ I）设等差数列 公差为 d，由 ， a5+6，可得 ，解出利用等差数列的前 n 项和公式即可得出； （ ） = = ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ I）设等差数列 公差为 d， ， a5+6， ，解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n+1 数列 前 n 项和 =n （ ） = = ， 数列 前 n 项和 + + = 18为了体现国家 “民生工程 ”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房现有条件相同的甲、已 、丙、丁四套住房供 A、 B、 C 三人自主申请，他们的申请是相互独立的 （ ）求 A、 B 两人都申请甲套住房的概率； （ ）求 A、 B 两人不申请同一套住房的概率； （ ）设 3 名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为 ，求 的分布列和数学期望 第 14 页（共 21 页） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ ）设 “A 申请甲套住房 ”为事件 “B 申请甲套住房 ”为事件 事件 A 和B 是独立事件，能求出 A， B 两人都申请甲套住房的概率 （ ）设 “A， B 两人选择同一套住房 ”为事件 N，先求出事件 N 的概率，再求 A， B 两人不选择同一套住房的概率 （ ）法一：随机变量 可能取的值为 0， 1， 2， 3，分别求出 P（ =0）， P（ =1）， P（ =2），P（ =3），由此能求出 的分布列和 法二：依题意得 ，由此能求出 的分布列和 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）设 “A 申请甲套住房 ”为事件 “B 申请甲套住房 ”为事件 么 A， B 两人都申请甲套住房的概率 所以甲、乙两人都申请甲套住房的概率为 （ ）设 “A， B 两人选择同一套住房 ”为事件 N， 所以 A， B 两人不选择同一套住房的概率是 （ ）（方法一）随机变量 可能取的值为 0， 1， 2， 3，那么 ； ； ； ； 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 所以 （方法二）依题意得 所以 的分布列为 ， k=0， 1， 2， 3 即 0 1 2 3 第 15 页（共 21 页） P 所以 19如图已知四棱锥 P 底面 边长为 2 的正方形， 底面 E，F 分别为棱 中点 （ ）若 ，求异面直线 成角的余弦值 （ ）若二面角 P C 的余弦值为 ，求四棱锥 P 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角 【分析】 （ 1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到 ，利用余弦定理求出角的余弦值 （ ）以 D 为原点，射线 别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，设 出线段的长，根据条件中所给的两个平面的二面角的值，求出设出的 a 的值，再求出四棱锥的体积 【解答】 证明：（ ） E， F 分别为棱 中点， 边长为 2 的正方形 E 平行四边形 所成角 ， ， ， ， ， 异面直线 成角的余弦值为 ； 解：（ ）如图，以 D 为原点，射线 别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系设PD=a， 可得如下点的坐标： P（ 0， 0， a）， F（ 1， 0， 0）， B（ 2， 2， 0） 则有： =（ 1， 0， a）， =（ 1， 2， 0） 因为 底面 以平面 一个法向量为 =（ 0， 0， 1） 第 16 页（共 21 页） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z），则可得 ，令 x=1，得 z= ， y= ， 所以 =（ 1， ， ） 由已知，二面角 P C 的余弦值为 ，所以得 = ，解得 a=2 因为 四棱锥 P 高， 所以其体积为 2 4= 20已知椭圆 抛物线 焦点均在 x 轴上， 中心和 顶点均为原点 O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： x 3 2 4 y 2 0 4 （ ）求 标准方程； （ ）请问是否存在直线 l 满足条件： 过 焦点 F； 与 不同两点 M、 N 且满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程 【分析】 （ ）设抛物线 p 0），则有 ，据此验证 4 个点知（ 3， 2 ）、（ 4， 4）在抛物线上，易求 x，设 ，把点（ 2， 0）（ ）代入得： ，由此能够求出 程 （ ）容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线 l 斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点 F（ 1， 0）， 设其方程为 y=k（ x 1），与 交点坐标为 M（ N（ 由 消掉 y，得（ 1+48（ 1） =0，再由韦达定理能够导出存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为： y=2x 2 或 y= 2x+2 第 17 页（共 21 页） 【解答】 解：（ ）设抛物线 p 0），则有 ，据此验证 4 个点知（ 3， 2 ）、（ 4， 4）在抛物线上，易求 x 设 ，把点（ 2， 0）（ ）代入得： 解得 程为 （ ）容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意； 当直线 l 斜率存在时，假设存在直线 l 过抛物线焦点 F（ 1， 0）， 设其方程为 y=k（ x 1），与 交点坐标为 M（ N（ 由 消掉 y，得（ 1+48（ 1） =0， 于是 ， k（ 1） k（ 1） =k2 x1+1 即 由 ，即 ，得 （ *）， 将 、 代入（ *）式，得 ，解得 k= 2； 所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为： y=2x 2 或 y= 2x+2 21已知函数 f（ x） =x R（ e 是自然对数的底数） （ 1）若 k R，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 k 0，讨论函数 f（ x）在（ ， 4上的零点个数 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对 k 进行分类讨论，确定 而可得函数的单调性 （ 2）根据（ 1）中函数的单调性 k 0 时，讨论 k 取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =x R，得 f（ x） =k， 当 k 0 时，则 f（ x） =k 0 对 x R 恒成立， 第 18 页（共 21 页） 此时 f（ x）的单调递增，递增 区间为（ ， +）； 当 k 0 时， 由 f（ x） =k 0，得到 x 由 f（ x） =k 0，得到 x 所以， k 0 时， f（ x）的单调递增区间是（ +）；递减区间是（ ， 综上，当 k 0 时， f（ x）的单调递增区间为（ ， +） （ 2）当 k 0 时， f（ x）的单调递增区间是（ +）；递减区间是（ ， 当 k 0 时，令 f（ x） =k=0， 得 x= f（ x）在（ ， 单调递减，在（ +）上单调递增， f（ x）在 x= 即 f（ x）在（ ， 4上最多存在两个零点 （ ）若函数 f（ x）在（ ， 4上有 2 个零点， 则 ， 解得 k （ e， ； （ ）若函数 f（ x）在（ ， 4上有 1 个零点， 则 f（ 4） 0 或 ， 解得 k （ ， +）或 k=e； （ ）若函数 f（ x）在（ ， 4上没有零点， 则 或 f（ =k（ 1 0， 解得 k （ 0， e） 综上所述，当 k （ e， 时， f（ x）在（ ， 4上有 2 个零点； 当 k （ ， +） （ ， 0）或 k=e 时， f（ x）在（ ， 4上有 1 个零点； 当 k 0， e）