[九年级数学]北京师大附中一、二次函数的复习

正比例函数、一次函数的重要知识点,正比例函数和一次函数是分别用和 来定义的，其中x 是自变量，y是自变量x的函数，k是自变量的系数，b 是常数，这两种函数解析式都是方程，而且它的图象上的点的坐标都是对应方程的解，因此，一次函数与一次方程有密不可分的关系。,的图象的性质中 的增大而增大，此性质反映在图象上时是图象自左而右是“上升”的； 的增大而减少，此性质反映在图象上时，图象自左而右是“下降”的，如图,直线 图象在一、二、三象限 图象在一、三、四象限 图象在一、二、四象限 图象在二、三、四象限,如果在x轴上有两个点 ，则A、B两点的距离是| x2-x1|，如(-1，0)和(3，0)两点的距离就是 |3-(-1)|=4。在y轴上有两点A(0，y1)和B(0，y 2)，则A、B两点的距离是：|y2-y1|，如(0，2)和(0，-5)的距离是 |-5-2|=7。,两条直线 的交点坐标是方程组 的解。,例如：求y=x-2和y=-3x+1的交点坐标 。,例1.(1)在 中，当常数n为何值时，y 是x 的正比例函数？,(2).下列函数 (1) y 32x；（2）y x； （3）y 2；（4）y ;（5）y + 2其中一次函数的是_;,(3).某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出，100分钟可以流尽，则油箱中余油量Q（升）与流出时间t（分）之间的函数关系是_，自变量t 的取值范围是_,例2.在一次函数y （m 3） 3中，若x0，则m 的取值为_,例3.从A地向B地打长途电话，按时收费，3分钟之内收费2.4元，3分钟后每加1分钟收1元（不足1分钟按1分钟计算），求t 3（分）时电话费y（元）与t 之间的函数关系式,例4.下面图象中，不可能是关于x 的一次函数y mx （m 3）的图象的是（ ）,A B C D,例5.已知一次函数y kx k ，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过第（ ）象限 A一、二、三 B一、三、四 C一、二、四 D二、三、四,例6.已知：y b 与x a（其中a，b 是常数）成正比例如果该函数图象过点（3，5），（2，2）求其解析式,所求函数的解析式为y 3x 4,例7.已知一次函数y kx b 的图象经过点A（3，2），及点B（1，6）（1）求此一次函数的解析式，并画图象（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积,练习: 1.一次函数y kx b 的图象经过第二、三、四象限，则k 和b 的值为（ ）Ak 0，b 0 Bk 0，b 0Ck 0，b 0 Dk 0，b 0,2.已知直线y 2x b 与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b 的值是（ ）,3.一次函数y kx b，当3x 1时，对应的y 值为1y 9，则kb 的值为（ ）,6或14,4.若直线y x a 和直线y x b 的交点坐标为（m ，8），则a b _,5.如果正比例函数y 3x 和一次函数y 2x k 的图象的交点在第三象限，那么k 的取值范围是_,6.已知m 是整数，且一次函数y （m 4）x m 2的图象不过第二象限，则m _,7.若一次函数y kx b 与y 轴交点的纵坐标为2，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为1，则k _,8.在一定范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，在这个范围内，现有一根弹簧，如果拴上3 kg物体后，弹簧为13.5 cm，挂上10 kg物体后，弹簧长17 cm，则当弹簧长为15 cm时，所挂物体重量是_ kg,由物理学可知，在弹性限度内，挂上物体的弹簧长度与所挂物体质量是一次函数关系，故可设为y kx b ，再分别代值求出解析式答案 6,9.已知直线y x b 经过点P（4，1），求直线与x 轴交点的坐标,10.已知M（3，2），N（1，-1），点P 在y 轴上且PM PN 最短，求点P的坐标,11.如图所示，是某学校一电热淋浴器水箱水量y（升），与供水时间x（升）的函数关系（1）求y 与x 的函数关系式；（2）在（1）的条件下，求在30分钟时水箱有多少升水？,【解】（1）图象过（10，50），（50，150）两点，则可求得 y x 25（10x 50）；（2）当x 30时，y 100（升）,12.已知一次函数的图象与x 轴交于A（a ，0），和y 轴交于点B（0，b），其中a ，b 是方程x27x 120的两个实数根，且a b （1）求A，B 两点的坐标；（2）求该一次函数的解析式,13.已知关于x 的方程x2（2m 1）xm220有两个不相等的实数根，试判断直线y （2m 3）x 4m 7能否通过点A（2，4），并说明理由,依题意得D (2m 1) 24（m22）0 m .当x 2时，y 8m 130故直线不过点A,二次函数 的图象是顶点在原点的抛物线.其性质是 时,抛物线的开口向上； 时,抛物线的开口向下；对称轴是y轴；顶点坐标是(0,0)； 时, =0； =0.,二次函数y ax2bx c顶点 对称轴是 直线,二次函数的三种常用解析式（1）一般式y ax2bx c （2）顶点式y a (x h) 2k其中（ h ， k ）是顶点坐标（3）双根式 y a （x x1 ）（x x2 ）其中x1 、 x2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标。,抛物线与x 轴的交点可利用相应的一元二次方程根的判别式来确定(1) D 0,抛物线与x 轴有两个不同的交点；(2) D 0,抛物线与x 轴只有一个交点，也即顶点在x 轴上；(3) D 0,抛物线与x 轴没有交点,求抛物线与x 轴两交点间距离的常用公式：设x1，x2是两交点A、B的横坐标 |AB|x2x1| = =,下列抛物线中，开口方向向下且开口最大的是（ ）Ay x2 By x2Cy x2 Dy x2,如图，桥拱是抛物线形，其函数解析式为y x2，当水位线在AB 位置时，水面的宽为12米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）,例1. 已知抛物线y ax2bx c如图所示，对称轴是直线x = -1（1）确定a，b，c，D 的符号；（2）确定：a b c的符号；（3）当x 取何值时，y 0；当x 取何值时，y 0；当x 取何值时，y 0,当ab 0时，函数y ax2与y axb 的图象是（ ）A B C D,函数y m 0，n 0的图象是下图中的（ ）,如果 ，那么二次函数 y ax2bx c 的图象大致是（ ）,如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可用二次函数 y4x x2的图象表示，斜坡可以用一次函数y x的图象表示 求小球到达最高点的坐标； 若小球的落点是A，求点A的坐标,已知抛物线y ax2与直线y kx 1交于两点，其中一点的坐标是（1，4），求另一点的坐标,二次函数y x2的图象和一次函数y x 5的图象的交点的横坐标为a ，b (a b )，求 的值,已知，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC=90，过C作CDx轴，垂足为D。 （1）求点A、B的坐标和AD的长。 （2）求过B、A、D三点的抛物线的解析式。,解：（1）由题设，可得A（1，0），B（0，2） 在ABO和CAD中， BAC=90 ABO=CAD=90-OAB 又AB=AC RtABORtCAD AD=BO=2 （2）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a(x-m)(x-n) 所求解析式为,已知，RtOAB的斜边OA在x轴的正半轴上，O是原点，直角的顶点B在第一象限内，已知点A（10，0），OAB的面积为20。（1）求B点的坐标；（2）求过O、B、A三点抛物线的解析式；（3）判断该抛物线的顶点P与OAB的外接圆的位置关系，并说明理由。,（1）B（2，4）或B（8，4）,（2） y x2 + x P（5， ）,已知：如图，直线AB 过x 轴上一点A（2，0），且与抛物线y ax2相交于B，C两点，B 点坐标为（1,1）（1）求直线AB 和抛物线y ax2的解析式；(2)若抛物线上有一点D（在第一角限内），使得SOAD SOBC ，求D 点坐标,已知直线y2xb(b0)与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yx2(b10)xc.若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；过点B作直线BCAB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.,已知抛物线与x轴交于不同的两点A和B（4，0），与y轴交于点C（0，8），其对称轴为x=1.（I）求此抛物线的解析式；（II）过A、B、C三点作 O与y轴的负半轴交于点D，求经过原点O且与直线AD垂直（垂足为E）的直线OE的方程；（III）设O与抛物线的另一个交点为P，直线OE与直线BC的交点为Q，直线与抛物线的交点为R，直线与直线OE的交点为S. 是否存在整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,（3）,抛物线yax2bxc (a0)交x轴于A（1，0）、B（3，0），交y轴于C，顶点为D，以BD为直径的M恰好经过点C. 求顶点D的坐标（用a的代数式表示）； 求抛物线的解析式； 抛物线上是否存在点P，使PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。,如图，已知 抛物线经过点A（3，0）， B（0，3），C（2，0）三点。（1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D（1，m）在这条抛物线上，求m的值及点D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出tanADE的值。,抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1， ），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是 A、2 B、4 C、5 D、6,在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0 ） （1）抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，若所有过A，B两点的抛物线与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点， 如果ACM与ACB的面积比不变， 请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物 线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C， 过C作CPx轴交l于点P，M为此抛物 线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角 为60的菱形，求次抛物线的解析式.,（1） ，顶点坐标为（1，4）.