圆复习课件(人教新课标九年级上)

读书改变命运 刻苦成就事业 态度决定一切 圆的复习 第24章圆知识体系复习 圆 圆的基本性质 知识结构 与圆有关的位置关系 正多边形和圆 有关圆的计算 圆的对称性 弧 弦 圆心角之间的关系 垂径定理及推论 圆周角定理及推论 点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 圆和圆的位置关系 外接圆 切线 内切圆 关系 和正多边形有关的计算 弧长 扇形面积 圆锥的侧面积 全面积 一 圆的基本概念 1 圆的定义 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 2 有关概念 1 弦 直径 圆中最长的弦 2 弧 优弧 劣弧 等弧 3 弦心距 二 圆的基本性质 1 圆的对称性 1 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 圆有无数条对称轴 2 圆是中心对称图形 并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合 即圆具有旋转不变性 2 同圆或等圆中圆心角 弧 弦之间的关系 1 在同圆或等圆中 如果圆心角相等 那么它所对的弧相等 所对的弦相等 2 在圆中 如果弧相等 那么它所对的圆心角相等 所对的弦相等 3 在一个圆中 如果弦相等 那么它所对的弧相等 所对的圆心角相等 COD AOB AB CD 如由条件 AB A B OD O D AOB A O B 在同圆或等圆中 如果 两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距中 有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 3 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 CD是圆O的直径 CD AB AP BP 垂径定理的逆定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理及推论 直径 过圆心的线 2 垂直弦 3 平分弦 4 平分劣弧 5 平分优弧 知二得三 注意 直径平分弦则垂直弦 这句话对吗 错 常见的基本图形及结论 1 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D 则 AC BD 若大圆的弦切小圆于C 则 O AC BC 两圆之间的环形面积 S AB2 对于一个圆中的弦长a 圆心到弦的距离d 圆半径r 弓形高h 这四个量中 只要已知其中任意两个量 就可以求出另外两个量 如图有 d h r 垂径定理的应用 A B C P 1如图 AB是 O的任意一条弦 OC AB 垂足为P 若CP 7cm AB 28cm 你能帮老师求出这面镜子的半径吗 O 7 14 综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径 2 一圆弧形桥拱 水面AB宽32米 当水面上升4米后水面CD宽24米 此时上游洪水以每小时0 25米的速度上升 再通过几小时 洪水将会漫过桥面 典型例题 解 过圆心O作OE AB于E 延长后交CD于F 交弧CD于H 设OE x 连结OB OD 由勾股定理得OB2 x2 162OD2 x 4 2 122 X2 162 x 4 2 122 X 12 OB 20 FH 44 0 25 16 小时 答 再过16小时 洪水将会漫过桥面 4 圆周角 定义 顶点在圆周上 两边和圆相交的角 叫做圆周角 性质 1 在同一个圆中 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的所有的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧相等 圆周角的性质 2 ADB与 AEB ACB是同弧所对的圆周角 ADB AEB ACB 性质3 半圆或直径所对的圆周角都相等 都等于900 直角 性质4 900的圆周角所对的弦是圆的直径 AB是 O的直径 ACB 900 圆周角的性质 圆内接四边形的性质 1 对角互补 2 任意一个外角都等于它的内对角 1 如图 AB是圆O的直径 BD是圆O的弦 延长BD到C AC AB BD与CD的大小有什么关系 为什么 补充 若 B 70 则 DOE E 40 2 如图 以等腰 ABC的腰AB为直径作 O交底边BC于点D 则 O C B A D 点D是BC的中点 2 已知ABC三点在圆O上 连接ABCO 如果 AOC 140 求 B的度数 3 平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm 最短为2cm 则圆O的半径为 D 解 在优弧AC上定一点D 连结AD CD AOC 140 D 70 B 180 70 110 2或4cm 二 和圆有关的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 相离 相切 相交 外离 外切 相交 内切 内含 d r d r d r d r d r d r d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 切线的识别方法 1 与圆有一个公共点的直线 2 圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 3 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 A l OA是半径 OA l 直线l是 O的切线 切线的性质 1 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 3 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 A l OA l 直线l是 O的切线 切点为A 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角 B A P O PA PB为 O的切线 PA PB APO BPO 不在同一直线上的三点确定一个圆 三角形的外接圆与内切圆 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点 115 100 典型例题 问题一 当点O为 ABC的外心时 BOC 问题二 当点O为 ABC的内心时 BOC 特殊三角形外接圆 内切圆半径的求法 直角三角形外接圆 内切圆半径的求法 等边三角形外接圆 内切圆半径的求法 基本思路 构造直角三角形BOD BO为外接圆半径 DO为内切圆半径 O D 重要结论 或r 等边三角形的外心与内心重合 特别的 内切圆半径与外接圆半径的比是1 2 O D O P B A D C 1 如图 已知PA PB切圆O于点A B 过弧AB上任一点E作圆O的切线 交PA PB于点C D 则 1 PCD的周长 2PA 2 COD 900 APB E 2 如图 AB是圆O的直径 AD BC DC均为切线 则 1 DC AD BC 2 DOC 900 切线的证明 例如图 已知 O是 ABC的外接圆 AB是 O的直径 D是AB延长线的一点 AE CD交DC的延长线于E CF AB于F 且CE CF 求证 DE是 O的切线 典型例题 1 如图 O的直径AB 12 以OA为直径的 O1交大圆的弦AC于D 过D点作小圆的切线交OC于点E 交AB于F E O1 O D C B A F 2 猜想DF与OC的位置关系 并说明理由 1 说明D是AC的中点 3 若DF 4 求OF的长 2 如图 正方形ABCD的边长为2 P是线段BC上的一个动点 以AB为直径作圆O 过点P作圆O的切线交AD于点F 切点为E D C B A F P O E 1 求四边形CDFP的周长 2 设BP x AF y 求y关于x的函数解析式 Q 三 正多边形 2 半径 正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径 中心 一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 3 中心角 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角 4 边心距 中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距 O 三 正多边形和圆 1 正多边形和圆的关系 面积S 边长 半径 边心距知一求二 1 圆的周长和面积公式 2 弧长的计算公式 3 扇形的面积公式 或 四 圆中的有关计算 周长C 2 r 面积s r2 S弓形 S扇形 S S弓形 S扇形 S 4 圆柱的展开图 r h S侧 2 rh S全 2 rh 2 r2 5 圆锥的展开图 底面 侧面 a a h r S侧 ra S全 ra r2 小试牛刀 1 如图所示 A B C D E相互外离 它们的半径都是1 顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE 求图中五个扇形 阴影部分 的面积之和 心动不如行动 乙 甲 典型例题 2 如图甲 A是半径为2的 O外一点 OA 4 AB是 O的切线 B为切点 弦BC OA 连接AC 求阴影部分的面积 点拨 图中的阴影是不规则图形 不易直接求出 所以要将其转化为与其面积相等的规则图形 在等积转化中 可根据平移 旋转或轴对称等图形变换 可根据同底 等底 同高 等高 的三角形面积相等进行转化 典型例题 转化的思想 17 如图 为一圆锥形粮堆 从正面看是边长为6米的正三角形ABC 粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食 此时 小猫正在B处 它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠 则小猫所经过的最短路线是 米 结果保留根号 解析 此类问题是将立体图形问题转化到平面图形问题来解决 该题是将圆锥侧面展开为扇形 如图 连接BP 则最短距离即为线段BP的长 与圆有关的辅助线的作法 辅助线 莫乱添 规律方法记心间 圆半径 不起眼 角的计算常要连 构成等腰解疑难 切点和圆心 连结要领先 遇到直径想直角 灵活应用才方便 弦与弦心距 亲密紧相连 三 基本图形 重要结论 辅助线一 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦长构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 在遇到与直径有关的问题时 应考虑作出直径或直径所对的圆周角 这也是圆中的另一种辅助线添法 辅助线二 当遇到已知切线和切点时 要注意连接圆心和切点 以便得到直角去帮助解题 辅助线三 在解决有关中点和圆心的问题时 可先连结中点与圆心 利用垂径定理 或者是三角形 梯形的中位线定理 可求出所需要的结论 辅助线四中点圆心线 有中点和圆心 可连结中点与圆心 例 O的半径为10cm 弦AB CD AB 16 CD 12 则AB CD间的距离是 2cm 或14cm 辅助线怎么作 典型例题 60度 30或150度 2 如图 圆O中弦AB等于半径R 则这条弦所对的圆心角是 圆周角是 90度 45或135度 A C B 45 60 15 CAD 105 或15 说明 圆中的计算问题常会出现有两解的情况 在涉及自己作图解题时 同学们要仔细分析 以防漏解 3 已知AB是 O的直径 AC是弦 AB 2 AC 在图中画出弦AD 使得AD 1 求 CAD的度数 4 如图 已知 O的弦AB所对的圆心角等于140o 则弦AB所对的圆周角的度数为 70o或110o C C 错解 70 错因 忽视了弦所对的圆周角有两类 正解 当圆周角在优弧上时 圆周角为140 的一半70 当圆周角在劣弧上时 则与70 互补 为110 5 如图 以O为圆心的两同心圆的半径分别是11cm和9cm 若 P与这两个圆都相切 则这个圆的半径为 错解 1cm 错因 忽视了和两圆都是内切关系的情况 正解 先考虑夹在圆环内的小圆半径为1cm 再看和中间小圆内切的圆半径为4 5cm 典型例题 1cm或4 5cm 典型例题 6 已知圆内接 ABC中 AB AC 圆心O到BC的距离为3 半径为7 求腰长AB 典型例题 错因分析 只考虑圆心 ABC在内部 而忽略了圆心 ABC在外部的情况 正解 除上述第一种情况外 还有另一种情况 7 在直径为400mm的圆柱形油槽内 装入一部分油 油面宽320mm 求油的深度 分析 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题 没有给出图形 直径长