广东省汕头市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A=x|0 x 2， B=x|x2+x 2 0，则 AB=（ ） A（ 0， 1 B 1， 2） C 2， 2） D（ 0， 2） 2 （ ） A B C D 3下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A y=x R B y=x R C y= x， x R D y=（ ） x， x R 4已知 ，并且 =（ 3， x）， =（ 7， 12），则 x=（ ） A B C D 5若 ，则 于（ ） A B C 1 D 6某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m+ ） A 10 B 11 C 12 D 13 7已知 0 x y a 1，则有（ ） A 0 B 0 1 C 1 2 D 2 8要得到 y= 2x+ ）的图象，只需将 y= 2x）的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 9已知平面向量 、 满足： 2| |=| |=|2 | 0，则 与 的夹角为（ ） A B C D 10如果执行如图所示的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 11已知 a， b 均为正数，且 a+b=1，则 + 的最小值为（ ） A 24 B 25 C 26 D 27 12已知 x R，用 A（ x）表示不小于 x 的最小整数，如 A（ ） =2， A（ 1， 2） = 1，若 A（ 2x+1） =3，则 x 的取值范围是（ ） A 1， ） B（ 1， C ， 1） D（ ， 1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13高一（ 4）班有 5 位同学参加夏令营植树活动，其中男生 2 人，女生 3 人，从这 5 人中任意选出 2 人去浇水，选出的 2 人都是男生的概率是 14已知 x， y 满足不等式 ，且函数 z=2x+y a 的最大值为 8，则常数 a 的值为 15已知函数 f（ x） =的一条对称轴方程为 x= ，则函数 f（ x）的最大值为 16定义一种运算 ab= ，令 f（ x） =（ 3x） （ 2x+3 则函数 f（ x）的最大值是 三、解答题（共 6 小题， 满分 70 分） 17已知 等差数列 前 n 项和，且 15， 55 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若不等式 t 对于任意的 n N*恒成立，求实数 t 的取值范围 第 3 页（共 16 页） 18在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，且满足 （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 c=2，求 面积 S 的最大值 19从某大学一年级女生中，选取身高分别是 150155160165170学生各一名，其身高和体重数据如表所示： 身高 /x） 150 155 160 165 170 体重 /y） 43 46 49 51 56 （ 1）求 y 关于 x 的线性回归方程； （ 2）利用（ 1）中的回归方程，计算身高为 168，体重的估计值 为多少？ 参考公式：线性回归方程 = x+ ，其中 = ， = 20设函数 f（ x） = a+1） x+1 （ 1）若不等式 f（ x） 解集为 x|1 x 2，求实数 a、 m 的值； （ 2）解不等式 f（ x） 0 21已知 数列 前 n 项和，且 an+n 4 （ 1）求 值； （ 2）若 bn=1，试证明数列 等比数列； （ 3）求数列 通项公式，并证明： + + 1 22对于函数 y=f（ x），若 足 f（ =称 函数 f（ x）的一阶不动点，若 ff（ =称 函数 f（ x）的二阶不动点， （ 1）设 f（ x） =2x+3，求 f（ x）的二阶不动点 （ 2）若 f（ x）是定义在区间 D 上的增函数，且 函数 f（ x）的二阶不动点，求证： f（ x）的一阶不动点； （ 3）设 f（ x） =ex+x+a， a R，若 f（ x）在 0， 1上存在二阶不动点 实数 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A=x|0 x 2， B=x|x2+x 2 0，则 AB=（ ） A（ 0， 1 B 1， 2） C 2， 2） D（ 0， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式变形得：（ x 1）（ x+2） 0， 解得： x 2 或 x 1，即 B=（ ， 2 1， +）， A=（ 0， 2）， AB=1， 2）， 故选： B 2 （ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数；运用诱导公式化简求值 【分析】 由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得所给式子的值 【解答】 解： 20+10） = ， 故选： C 3下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A y=x R B y=x R C y= x， x R D y=（ ） x， x R 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据奇函数的定义，幂函数和一次函数，正弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A y=定义域 R 上是增函数， 该选项错误； B y=定义域上没有单调性， 该选项错误； C y= x 是奇函数，且在定义域上为减函数， 该选项错误； D. 的图象不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误 故选： C 4已知 ，并且 =（ 3， x）， =（ 7， 12），则 x=（ ） A B C D 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据向量垂直得到关于 x 的方程，解出即可 第 5 页（共 16 页） 【解答】 解： ， =（ 3， x）， =（ 7， 12）， 21+12x=0，解得： x= ， 故选： A 5若 ，则 于（ ） A B C 1 D 【考点】 二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用 【分析】 利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得 值 【解答】 解： ，则 = = = ， 故选： B 6某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组 ，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m+ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考点】 茎叶图 【分析】 利用平均数求出 m 的值，中位数求出 n 的值，解答即可 【解答】 解： 甲组学生成绩的平均数是 88， 由茎叶图可知 78+86+84+88+95+90+m+92=88 7， m=3 又乙组学生成绩的中位数是 89， n=9， m+n=12 故选： C 7 已知 0 x y a 1，则有（ ） A 0 B 0 1 C 1 2 D 2 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数的性质，比较 1 的大小，可得结论 【解答】 解： 0 x y a 1 ， =2 故选 D 第 6 页（共 16 页） 8要得到 y= 2x+ ）的图象，只需将 y= 2x）的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律，诱导公式，得出结论 【解答】 解： y= 2x+ ） = 2（ x ） ， 将 y= 2x）的图象向右平移 个单位，可得 y= 2（ x ） = 2x+ ）的图象， 故选： D 9已知平面向量 、 满足： 2| |=| |=|2 | 0，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 对条件 的两边平方即可得出，这样即可求出 的值，从而得出向量的夹角 【解答】 解：根据条 件， ，且 ； ； ； ； 与 的夹角为 故选： A 10如果执行如图所示的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ） 第 7 页（共 16 页） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S= 的值 【解答】 解： n=5 时， k=1， S=0， 第一次运行： S=0+ = ， k=1 5， 第二次运行： k=1+1=2， S= = ， k=2 5， 第三次运行： k=2+1=3， = ， k=3 5， 第四次运行： k=3+1=4， S= = ， k=4 5， 第五次运行： k=4+1=5， S= = ， k=5， 结束运行，输出 S= 故选： D 11已知 a， b 均为正数，且 a+b=1，则 + 的最小值为（ ） A 24 B 25 C 26 D 27 【考点】 基本不等式 【分析】 运用 1 的代换和基本不等式即可求得 + 的最小值 【解答】 解： 已知 a， b 均为正数，且 a+b=1， + =（ + ）（ a+b） =4+ + +9 13+2 =13+12=25， 第 8 页（共 16 页） 当且仅当 2b=3a 时取得等号， 故 + 的最小值为 25 故选： B 12已知 x R，用 A（ x）表示不小于 x 的最小整数，如 A（ ） =2， A（ 1， 2） = 1，若 A（ 2x+1） =3，则 x 的取值范围是（ ） A 1， ） B（ 1， C ， 1） D（ ， 1 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 由 A（ 2x+1） =3 可得 2 2x+1 3，从而解得 x 的取值范围 【解答】 解： A（ 2x+1） =3， 2 2x+1 3， 解得， x （ ， 1， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13高一（ 4）班有 5 位同学参加夏令营植树活动，其中男生 2 人，女生 3 人，从这 5 人中任意选出 2 人去浇水，选出的 2 人都是男生的概率是 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 先求得所有的取法总数为 ，再求出选出的 2 人中都是男生的取法数是 ，从而求得选出的 2 人都是男生的概率 【解答】 解：由题意得， 选出的 2 人都是男生的概率是： = ； 故答案为： 14已知 x， y 满足不等式 ，且函 数 z=2x+y a 的最大值为 8，则常数 a 的值为 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y a 得 y= 2x+z+a， 平移直线 y= 2x+z+a， 由图象可知当直线 y= 2x+z+a 经过点 C 时，直线 y= 2x+z+a 的截距最大， 第 9 页（共 16 页） 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 C（ 5， 2）， 代入目标函数 z=2x+y a 得 z=2 5+2 a=8 得 12 a=8，则 a=4， 故答案为： 4 15已知函数 f（ x） =的一条对称轴方程为 x= ，则函数 f（ x）的最大值为 1 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性 【分析】 本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求 出 a 值，再求三角函数的最值 【解答】 解： f（ x） = ， 是对称轴， f（ 0） =f（ ）， ， ，最大值为 1 故答案为 1 16定义一种运算 ab= ，令 f（ x） =（ 3x） （ 2x+3 则函数 f（ x）的最大值是 4 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 运用分段函数的形式，求得 f（ x）的解析式，分别求得 f（ x）在两段上的最大值，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系 【解答】 解： ab= ， f（ x） =（ 3x） （ 2x+3 = ， 第 10 页（共 16 页） 当 x 时， f（ x） =3x=3（ x+1） 2 3， 可得 f（ x）在 x= 1 处取得最小值 3；在 x= 处取得最大值 ； 当 x 或 x 时， f（ x） = x+3=（ x 1） 2+4， 当 x=1 时， f（ x）取得最大值 4 综上可得， f（ x）的最大值为 4 故答案为： 4 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知 等差数列 前 n 项和，且 15， 55 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若不等式 t 对于任意的 n N*恒成立，求实数 t 的取值范围 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出 （ 2）利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d， 则由 15， ， 得 15 5+10d= 55， 解得 d=2， 15+（ n 1） 2=2n 17， 数列 通项公式为 n 17 （ 2）由（ 1）得 ， ， 对于任意的 n N*， 64 恒成立， 若不等式 t 对于任意的 n N*恒成立，则只需 t 64， 因此所求实数 t 的取值范围为（ ， 64） 18在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，且满足 （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 c=2，求 面积 S 的最大值 【考点】 正弦定理 【分析】 （ 1）由正弦定理化简已知等式可得 ，结合 0，可求 ，结合范围 0 C ，即可求得 C 的值 （ 2）由已知及余弦定理得 4=a2+合基本不等式可求 4，根据三角形的面积公式即可得解 【解答】 解：（ 1） ， 由正弦定理得 ， 0 A ， 0， 第 11 页（共 16 页） ， 0 C ， （ 2）由余弦定理得 c2=a2+2 c=2， ， 4=a2+ a 0， b 0， =a2+2 4，当且仅当 a=b=2 时等号成立， ，当且仅当 a=b=2 时等号成立， 面积 S 的最大值为 19从某大学一年级女生中，选取身高分别是 150155160165170学生各一名，其身高和体重数据如表所示： 身高 /x） 150 155 160 165 170 体重 /y） 43 46 49 51 56 （ 1）求 y 关于 x 的线性回 归方程； （ 2）利用（ 1）中的回归方程，计算身高为 168，体重的估计值 为多少？ 参考公式：线性回归方程 = x+ ，其中 = ， = 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出 a 的值，写出线性回归方程； （ 2）由回归直线方程，计算当 x=168，即可求得体重的估计值 【解答】 解：（ 1）由已知数据，可得 ， 第 12 页（共 16 页） （ 51 49） +（ 56 49） =155， ， ， y 关于 x 的线性回归方程为 y= （ 2）由（ 1）知，当 x=168 时， （ 因此，当身高为 168，体重的估计值 为 20设函数 f（ x） = a+1） x+1 （ 1）若不等式 f（ x） 解集为 x|1 x 2，求实数 a、 m 的值； （ 2）解不等式 f（ x） 0 【考点】 一元二次不等式的解法；二次函数的性质 【分析】 （ 1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关 系，即可求出实数 a、 m 的值； （ 2）不等式化为（ 1）（ x 1） 0，讨论 a=0 和 a 0、 a 0 时，求出不等式 f（ x） 0的解集即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = a+1） x+1， 不等式 f（ x） 价于 a+m+1） x+1 0， 依题意知不等式 a+m+1） x+1 0 的解集为 x|1 x 2， a 0 且 1 和 2 为方程 a+m+1） x+1=0 的两根， ， 解得 ， 实数 a、 m 的值分别为 a=1、 m=0， （ 2）不等式 f（ x） 0 可化为（ 1）（ x 1） 0， （ ）当 a=0 时，不等式 f（ x） 0 等价于 x+1 0，解得 x 1， 故原不等式的解集为 x|x 1， （ ）当 a 0 时，不等式 f（ x） 0 等价于 ， 第 13 页（共 16 页） 当 0 a 1 时 ，不等式 的解集为 ， 即原不等式的解集为 ， 当 a=1 时，不等式 的解集为 ， 即原不等式的解集为 ， 当 a 1 时 ，不等式 的解集为 ， 即原不等式的解集为 ， （ ）当 a 0 时，不等式 f（ x） 0 等价于 ， a 0， ， 不等式 的解集为 x|x 或 x 1， 即原不等式的解集为 x|x 或 x 1， 综上所述，当 a 1 时不等式 f（ x） 0 的解集为 ， 当 a=1 时不等式 f（ x） 0 的解集为 ， 当 0 a 1 时不等式 f（ x） 0 的解集为 ， 当 a=0 时不等式 f（ x） 0 的解集为 x|x 1， 当 a 0 时不等式 f（ x） 0 的解集为为 x|x 或 x 1 21已知 数列 前 n 项和，且 an+n 4 （ 1）求 值； （ 2）若 bn=1，试证明数列 等比数列； （ 3）求数列 通项公 式，并证明： + + 1 【考点】 数列与不等式的综合；等比关系的确定 【分析】 （ 1）直接令 n=1 代入计算即可； （ 2）通过 an+n 4 与 1=21+n 5 作差、变形可知 1，进而整理即得结论； （ 3）通过（ 2）放缩可知 ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论 【解答】 （ 1）解： an+n 4， 1=2 4，即 ； （ 2）证明： an+n 4， 当 n 2 时， 1=21+n 5， 两式相减得： 21+1，即 1， 第 14 页（共 16 页） 变形，得： 1=2（ 1 1）， 由（ 1）可知 b1=1=2， 故数列 首项、公比均为 2 的等比数列； （ 3）证明：由（ 2）可知 n+1， = ， + + + + = 1 22对于函数 y=f（ x），若 足 f（ =称 函数 f（ x）的一阶不动点，若 ff（ =称 函数 f（ x）的二阶不动点， （ 1）设 f（ x） =2x+3，求 f（ x）的二阶不动点 （ 2）若 f（ x）是定义在区间 D 上的增函数，且 函数 f（ x）的二阶不动点，求证： f（ x）的一阶不动点； （ 3）设 f（ x） =ex+x+a， a R，若 f（ x）在 0， 1上存在二阶不动点 实数 a 的取值范围 【考点】 函数与方程的 综合运用；函数的值