方程的根与函数的零点.doc

方程的根与函数的零点八道江区 白山市第二中学 刘庆辉【教学理念】今年是我省进入高中课改的第一年，我将力求在本节课的教学中体现新课标的要求：以学生为主体，充分发挥学生的主动性，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索，与他人合作的良好习惯，让学生体验数学发现和创造的历程。发展他们的创新意识，通过典型事例的分析，使学生理解数学概念和结论逐步形成的过程，体会其中蕴涵的函数与方程的重要数学思想方法。【教材分析】本节是选自人教版高中课程标准实验教科书A版（必修1）第三章第一节内容，是在学生系统地学习了函数的概念及性质，并且掌握了几个基本初等函数知识的基础上，在这一节结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而理解函数的零点与方程的根之间的关系；为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习算法奠定基础.【学情分析】由于初中学习了一次函数和二次函数，及高中又刚刚学习过了函数的性质，所以先由一次函数和二次函数入手，学生易于接受，也能很快掌握，通过函数图象及信息技术的应用，学生能够加深认识和理解根与零点的知识.【教学目标】 根据新课标的教学理念以及本节课的实际，教学目标设计如下：知识与技能 理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程的根之间的关系，掌握零点存在的判定条件过程与方法 探求零点存在性的判定，感知归纳总结与概括的思想方法.情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值,感受数学的美感,发展学生学习数学的热情.由于本节既有概念的教学，又有概念的应用结合其内容的知识体系以及学生的认知能力，教学重难点如下：【教学重点】 零点的概念及零点与方程的根之间的关系【教学难点】 零点存在的条件【教学方法】教师启发引导，学生讨论探究【教学程序与环节设计】：问题导入进入新课新课推进新课深入创设情境组织探究1 -例题研究 收获体会作业反馈组织探究2偿试练习 探索研究【教学过程与操作设计】：环节教学内容设置设计意图问题导入1.一枚炮弹从地面发射后,炮弹的高度随时间变化的函数关系式为 ,问炮弹经过多长时间回到地面? （1）举一个常见的简单的例子,使学生对本节的内容有一个直观的感受.（2）一是复习，二是为下面画图能顺利进行做好准备（3）教师点出课题,使学生的注意力集中于本节学习的内容之中.2一次函数,二次函数的图象如何画出,要注意哪些要点？ （幻灯片展示） 进入新课创设情境组织探究1组织探究2偿试练习探 索研 究 1我们来研究方程的根与函数的图象间的关系，问：该如何来研究？从哪开始来研究？ （教师提问）（学生会想到熟悉的一元一次方程与一次函数的图象, 一元二次方程与二次函数的图象，指数方程与指数函数的图象,教师要引导学生努力思考)1.主要是调动学生的思维，使学生的思维处于起步状态。同时，该问题设置的目的还在于培养学生从具体到一般的数学思维方法为学生在高中的后继学习做一些准备.2对于上述函数与方程，我们应先研究谁好呢？ （教师提问）（引导学生发表不同的见解，会发现一元一次方程与一次函数图象, 一元二次方程与二次函数图象，最易研究.）2.向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手去解决较复杂问题”的一般思维方法.这也是新中所提出的对学生思维的一种要求.3请学生举一些一元一次方程与相应的一次函数图象, 一元二次方程与相应的二次函数图象的例子. (幻灯片展示)（学生会举出很多例子，启发学生从这些例子中选出有代表性且能解决问题的即可.）例(1)方程与函数(2)方程与函数(学生归纳： 的根 相应函数图象与x轴的交点 的关系)(3) (4)(5) (学生归纳：二次函数），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点），方程有两相等实根二次函数的图象与轴有一个交点，），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，)4函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点 （板书）找同学说出一次函数和二次函数的零点函数图象与轴的有一个零点=二次函数），二次函数有两个零点），二次函数有一个二重零点,），二次函数无零点由一次函数和二次函数的零点归纳更为一般的结论函数零点的意义： （板书）函数的零点就是方程的（实数根）亦即函数的图象与轴交点的（横坐标）即：方程有（实数根）函数的图象与轴有（交点）函数有（零点）利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根，并指出其对应的函数的零点。（1）；（2）；5对于一次函数和二次函数的零点易求，那么对于不能用公式法求根或更一般的方程又如何找出零点呢？先来看具体的函数（零点存在性的探索）：（）观察二次函数的图象： 在区间上有零点_；_，_,_0（或） 在区间上有零点_；_0（或）（）观察下面函数的图象 在区间上_(有/无)零点；_0（或） 在区间上_(有/无)零点；_0（或）在区间c,d上_(有/无)零点；f(c)_0（或）思考：对于函数，在区间上有 0时，零点的情况？由以上探索，你可以得出什么样的结论？(学生归纳：函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么函数在（a ,b）内有零点，即存在c（a ,b），使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的根）；(由学生找出关键条件：连续不断的一条曲线，有0，那么函数在（a ,b）内有零点)。（板书）怎样利用函数零点存在性定理，判定函数在某给定区间上是否存在零点3.该问题的设置具有一定的开放性，有利于提高学生的参与意识.培养学生面对问题时的分析判断能力，选出带有典型性的解决方案。引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和X轴交点的横坐标之间的关系总结出一元一次方程的根与相应的一次函数图象与x轴的交点(x,0) 的关系，培养学生独立思考的能力，通过观察、思考、总结、概括得出结论，并积极和同学进行交流，培养与别人合作的良好的精神培养学生的归纳与总结能力:推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？这种能力的提高对于学生的学习是极为重要的,教师有意识地抓住各种机会,锻炼学生的归纳总结的能力.4引出零点的概念引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法再回到具体的函数中来加深体会.根据函数零点的意义探索研究一次函数和二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论，充分发挥学生的主体作用.目的要学生明确零点不是点而是实数.再次深化由特殊到一般的思想方法并进一步培养学生归纳概括的能力。由学生完成填空,加深方程的根与函数的零点之间的联系,突出本节学习的重点.结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定方程的根中的重要作用为下面更一般的方程的根与函数的零点的研究做准备.5.提出一个更一般的问题，激发学生的学习和探索兴趣，使学生的思维走向深化，培养其思维的深刻性.培养学生知难而进的个性品质,设计上还是从特殊到一般的方法,学生易于接受.站在学生的角度设计问题,分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考，使学生发现规律。引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号与函数的零点的存在性是否具有着某种关系结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析，充分发挥班级群体思维的互补作用。这也是本节学习的重点内容,通过学生自己总结的结论,印象深刻,让他们体会学习数学的乐趣.引导学生理解函数零点存在性定理，分析其中各条件的作用，为后面的应用做准备.例 题 研 究例1求函数的零点，并画出它的大致图象（板 演）（零点可求出，图象可借助计算机或计算器来画）例2求函数的零点个数并说出零点所在的区间. （板 演）设计问题1：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能说出该函数的零点具有什么特性？设计问题2：通过以上两个例题你能总结出函数零点的求法么？引导学生归纳： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式求根的方程或者更为复杂的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间.。引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数结合图象对函数有零点形成直观的认识例1，例2是两个类型，通过对比使学生能总结出一般的函数零点求法.强化所学重点内容,使学生对函数的零点有一个更进一步的理解.进一步培养学生的归纳概括能力及对数学问题的反思意识.培养思维的系统性和严密性.收获与体会说出方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个闭区间存在根的基本步骤（1） 函数的图像是否是一条连续的曲线（2） 计算端点处的函数值（3） 判断函数值是否异号 小节是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结（1）是检查学生的收获情况.（2）是更进一步培养学生的归纳总结能力.而这种能力对学生的高中学习是极其重要的。作业反馈求下列函数的零点：（1）（2）（3）课后思考： 如何求出函数在区间内的零点？作业是学生学习信息的反馈，也是师生互动的一种方式，教师可以发现和弥补教学中的不足学生也可以找到自身的问题并及时纠正，实现“学数学用数学”，在学用中体验成功的喜悦.板书设计: 方程的根与函数的零点一 零点的概念 四 例1二 零点的意义 例2三 零点的存在性定理 教学设计说明本节课是在新课标理念的指导下，本着“教师的主导地位与学生的主体地位相统一”的教学原则下组织本节课的教学。采取引导探究式的教学方法并配以多媒体辅助教学，通过教师的点拨，启发学生主动思考、动手操作来达到对知识的发现和接受，并形成初步的应用技能。本节课的教学过程设计为六个环节：问题导入：进入新课：新课推进：新课深入：收获与体验：作业反馈。在教学过程中我充分遵循学生的认知规律，在课前生活事例的引领下，进入新知识的学习，而直观情境又在学生积极思考的过程中激发学生的学习热情和探究欲望。在这些环节的铺垫中根与零点的知识呼之欲出。在新课推进和新课深入的两个环节中均以问题为载体，通过学生合作作图、寻求规律等一系列过程，在学生的探索与交流中解决问题，形成自己对本节课重难点的理解和掌握，从而实现重难点的突破。课堂练习和例题，由浅入深