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文档简介
曲边梯形的面积 教材分析定积分是一节重要的基础理论课。通过本节课的学习,使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法,为学习后续课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。本节内容是介绍曲边梯形面积,以此为引例,为讲定积分定义做准备。 教学目标【知识与能力目标】理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、逼近,感受在其过程中渗透的思想方法。【过程与方法目标】1.通过逐步形成知识分析问题和解决问题,进一步培养学生发散思维能力。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。 【情感态度价值观目标】培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神;体会数学中的局部与整体的辨证关系。培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度。 教学重难点【教学重点】掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、逼近(取极限)。【教学难点】对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解。 课前准备 多媒体课件。 教学过程(一)、情景引入,激发兴趣。【教师引入】我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积,这些图形都是由直线段围成的。那么,如何求曲线围成的平面图形的面积呢?这就是定积分要解决的问题。(二)、探究新知,揭示概念定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用,初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念:如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线,那么就把函数称为区间上的连续函数。(不加说明,下面研究的都是连续函数)。(三)、分析归纳,抽象概括问题:如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线的一段,我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。如何计算这个曲边梯形的面积? (四)、知识应用,深化理解例1例1:求图中阴影部分是由抛物线,直线以及轴所围成的平面图形的面积S。 思考:(1)曲边梯形与“直边图形”的区别? (2)能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题?xxx1 x1 xy1 xyy分析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲边梯形有一边是曲线段,“直边图形”的所有边都是直线段。“以直代曲”的思想的应用。 把区间分成许多个小区间,进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代取”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值。分割越细,面积的近似值就越精确。当分割无限变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。也即:用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。解:(1)分割在区间上等间隔地插入个点,将区间等分成个小区间: , 记第个区间为,其长度为分别过上述个分点作轴的垂线,从而得到个小曲边梯形,他们的面积分别记作: ,显然,(2)近似代替记,如图所示,当很大,即很小时,在区间上,可以认为函数的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点处的函数值,从图形上看,就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图)。这样,在区间上,用小矩形的面积近似的代替,即在局部范围内“以直代取”,则有 (3)求和由,上图中阴影部分的面积为=从而得到的近似值 (4)取极限分别将区间等分8,16,20,等份(如图),可以看到,当趋向于无穷大时,即趋向于0时,趋向于,从而有从数值上的变化趋势: 3求曲边梯形面积的四个步骤:第一步:分割。在区间中任意插入各分点,将它们等分成个小区间,区间的长度,第二步:近似代替,“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边梯形面积的近似值。第三步:求和。第四步:取极限。说明:1归纳以上步骤,其流程图表示为:分割以直代曲求和逼近2最后所得曲边形的面积不是近似值,而是真实值例2求围成图形面积解:1分割在区间上等间隔地插入个点,将区间等分成个小区间: , 记第个区间为,其长度为分别过上述个分点作轴的垂线,从而得到个小曲边梯形,他们的面积分别记作: ,显然, (2)近似代替,当很大,即很小时,在区间上,可以认为函数的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点处的函数值,这样,在区间上,用小矩形的面积近似的代替,即在局部范围内“以直代取”,则有 (3)求和由,上图中阴影部分的面积为=从而得到的近似值 (4)取极限 练习设S表示由曲线,x=1,以及x轴所围成平面图形的面积。(五)、归纳小结1求曲边梯形面积的四个步骤:第一步:分割。在区间中任意插入各分点,将它们等分成个小区间,区间的长度,第二步:近似代替
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