浅谈数学之美

浅谈数学之美【摘要】数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。“那里有数学，哪里就有美”，数学美不是什么虚无缥缈、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。数学美的内容是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等，都是数学美的具体内容。本文主要围绕数学美的三个特征：简洁性、和谐性和奇异性进行阐述。【关键词】数学，数学美，美学特征 数学美的表现形式是多种多样的，从外在形象上看：她有体系之美、概念之美、公式之美；从思维方式上看：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上看：她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。但这些都离不开数学美的三大特征，即：简洁性、和谐性和奇异性。1简洁性是数学美的首要特点爱因斯坦说：“美，本质上终究是简单性”，“只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美”。简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁性。数学中的基本概念、理论和公式所呈现的简单性就是一种实实在在的简洁美。数学家莫德尔说过：“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了”。数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜：钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元就可简单的构成任何数目的款项；圆的周长公式：C=2R，就是“简洁美”的典范，它概括了所有圆形的共同特性； 把一亿写成l08，把千万分之一写成10-7；二进制在计算机领域的应用化繁为简，化难为易，力求简洁、直观。数学不仅仅是在运算上要求这样，论证说明也更是如此。显然，数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一。 1.1简洁性之一：符号美实现数学的简洁性的重要手段是使用了数学符号。符号对于数学的发展来讲是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存的，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。然而，数学符号的产生、使用和流传却经历了一个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。如用表示圆周率，用e表示欧拉常数，用、等表示无限不循环的数，虚数单位用符号i表示等等。当然数学中还有许多符号，这些符号均有其独特含义，使用它们不仅方便而且简洁，比如“！”表示阶乘，“”表示求积，“”表示求和，“”表示求积分。此外，图形符号：点、线、面、体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括。1.2简洁性之二：抽象美数学的简洁性在很大的程度上源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。抽象包含两层意思：（1）不容易想象的；（2）无法体验到的。前者，是用数学去“证明”某些难以理解的事实；后者，说明数学本身具有的特征与魅力。比如，下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆，请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？初看，似难判断，具体一推算便十分清楚了。设大圆直径为，三个小半圆直径分别为、和，因，所以，即大半圆的周长为三个小半圆的周长之和（其实, 不论有多少个小半圆, 都有相同的结论）。此外，有些数字看来也许并不起眼，然而它表示的数据之大几乎让人感到吃惊!据梦溪笔谈记载，唐代高僧曾计算过围棋中不同布局的总局数：棋盘有横、竖直线各条，它们的交点有个，每点处可放白子、也可放黑子、还可空着不放子，这样每点处均有三种不同布局，则所有可能布局有(种)。这些总布局若让每秒可做亿次运算的大型高速计算机去运作（姑且认为它每秒钟可完成亿个布局），三台计算机每年可完成种布局，那么它们完成全部布局约须年，这个数比太阳系的寿命亿年要大得多。把一张厚度为mm的纸，对折30次后，其厚度为，这比珠穆朗玛峰的高度m要高得多。另外，多米诺骨牌，苍蝇的繁殖，象棋棋盘摆麦子等问题无不反映了数学中的抽象美。1.3简洁性之三：统一美统一性是指部分与部分、部分与整体、整体与整体之间的和谐、协调。表现为各种数学结构的协调一致，各种数学方法的融会贯通，各种数学分支之间的互相渗透和促进等等。笛卡儿通过解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一起来了。高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴契夫斯基几何和黎曼几何统一起来了。克莱因用变换群的观点统一了十九世纪发展起来的各种几何学。平面几何中的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理都可统一于圆幂定理中；三角形、平行四边形、梯形面积公式可统一于公式：；柱、锥、台、球的体积公式可统一于“万能体积公式”：；整数和分数统一为有理数，有理数和无理数统一在实数内，而复数又包含着实数与虚数；全部二次曲线椭圆、抛物线、双曲线都统一在圆锥里，即它们都可以通过不同平面去截圆锥面而得到，这就是一种统一美。 从上面可以看到，统一不仅是数学美的重要特征，同时它也是数学本质的一种反映。2和谐性是数学美的追求准则在数学中，毕达哥拉斯首先提出“美是和谐与比例”，“世界是严整的宇宙”，“整个天体就是和谐与数”。美与和谐是他们追求数学美的准则，也是他们建立数学理论的依据。2.1和谐性之一：和谐美和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。数学的严谨自然流露出它的和谐，为了追求严谨、追求和谐，数学家们一直在努力，以消除其中的不和谐东西。比如，1、2、3、4、5、6、7这几个数字，代表不同的音阶，就能谱出优美动人和谐的曲调，让世人在音乐中陶醉。 欧拉公式：，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间绝妙有趣的联系，包容得如此协调有序。与欧拉公式有关的棣美弗欧拉公式是。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数：三角函数与指数函数紧密地结合起来了，由他们的结合能派生出许多美的、有用的结论来。由公式得：。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去。 几何中的和谐美也到处可见，简单的点、线段、三角形、矩形、正方形，就能构造出美丽的图案，平面的，立体的，让人美不胜收。著名的黄金分割比=0.61803398是和谐美的典型。当矩形的宽与长之比是黄金分割比时，图形最和谐悦目，在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比；维纳斯的身材比是黄金分割比；报幕员在舞台上的最佳位置是舞台宽度的0.618处；公交车最安全的位置是车长的0.618处。黄金分割比在许多艺术作品中、建筑设计中都有广泛的应用。达芬奇称黄金分割比为“神圣比例”。2.2和谐性之二：对称美对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小形状和排列上具有一一对应关系。在数学中，对称的概念略有拓广，这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分。对称在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式、正（+）与负（-）、加法与减法、乘法与除法、正比与反比，函数与反函数图像的关系，线性方程组的矩阵表示等。“一切立体图形中，最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”。因为这两种形体在各个方向上都是对称的。圆是关于圆心对称的，也是关于过圆心的任一条直线对称的。球形既是点对称，又是线对称，还是面对称的。此外，象正多边形、正多面体、旋转体和圆锥曲线等都给人以完善、对称的美感。正是由于这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界。 2.3和谐性之三：形式美数学家们十分注重数学的形式美，尽管有时他们含义更加深邃，比如整齐简练的数学方程可以看成一种形式美，这是与自然规律的外在表述有关的一种形式美。寻求一种最适合表现自然规律的方法是对科学理论形式美的追求。如多角数问题，毕达哥拉斯学派的人们非常注意数的形式美，他们把数按照可用石子摆成的形状来分类，像三角数、四角数、五角数、六角数。他们发现：每个四角数是两个相继的三角数之和：；第个三角数与第个角数之和为第个角数： ；后来的数学家们，也一直关注着这种数学形式美，且从中不断地有所发现。再如幻方问题，这是一种神奇的数学游戏，也是人们追求的数字形式美的纪录。此外，数与形的结合，历来就为数学家们所推崇，形的直观常可以给出数的性质以最生动的说明。反之，数的简练又常使图形中某此难以表达的性质得以展现。解析几何学的建立，正是这种结合的最好例子。它的诞生也是人们追求的另一种美感形式美的结果。3奇异性是数学美的魅力所在奇异性是数学美的一个重要特性。奇异性包括两个方面内容：一是奇妙，二是变异。数学中的不少结论、解题方法巧妙无比，反例出人意料，令人叫绝，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点。变异有悖于人们的想象与期望，因此就更引起人们的关注与好奇。数学中许多新的分支的诞生，都是人们对于数学奇异性探讨的结果。在数学发展史上，往往正是数学自身奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索。历史上曾有过蒲丰用投针求解圆周率的近似值的奇特实验。计算的这一方法，不但因其新颖、奇妙而让人叫绝，而且开创了用偶然性方法去作确定性计算的前导，充分显示了数学方法的奇异美。正像著名数学家徐利治教授所说“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美”。 下面的两个事实也耐人琢磨、耐人寻味：方程有无数组有理解，但却没有有理解；方程有无数组有理解，但却没有有理解。它们看上去相差无几，但结果是“差之毫厘，谬之千里”！再如，数值计算经常会产生一些奇异而美妙的结果：3412333411223333341112223333333411112222 这一系列美妙的结果显示了一种规律：个3构成的数与其直接后继的积是一个2位数，其前位为，后位为2。再来让我们欣赏一组奇异的乘法等式金子塔：111111112111111112321111111111234321111111111112345432111111111111112345654321111111111111111234567654321111111111111111112345678765432111111111111111111112345678987654321这种例子举不胜举，数学美的奇异性是客观物质世界奇特性的反映。奇异的结果，很容易激发人的学习热情，会使人感到兴奋，受到吸引，产生美感，精彩之处能使人心灵震撼、心荡神驰。总言之，数学之美，还可以从更多的角