高考数学复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习.docx

第1讲直线与圆高考定位1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2018全国卷)直线xy20分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A.2，6 B.4，8C.，3 D.2，3解析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r，圆心到直线xy20的距离d2，所以圆上的点到直线的最大距离是dr3，最小距离是dr.易知A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.答案A2.(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_.解析法一设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E0，F0，故圆的方程为x2y22x0.法二设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，所以kOA1，kAB1，所以kOAkAB1，所以OAAB.所以OB为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.答案x2y22x03.(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_.解析圆C的标准方程为x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)，点C到直线yx2a的距离为d.又|AB|2，得a22，解得a22.所以圆C的面积为(a22)4.答案44.(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_.解析因为0，所以ABCD，又点C为AB的中点，所以BAD45.设直线l的倾斜角为，直线AB的斜率为k，则tan 2，ktan3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y3(x5)，又A为直线l：y2x上在第一象限内的点，联立解得所以点A的横坐标为3.答案3考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0，b0)，则1.a0，b0，2.则12，ab8(当且仅当，即a2，b4时，取“”).当a2，b4时，OAB的面积最小.此时l的方程为1，即2xy40.答案(1)B(2)A探究提高1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练1】 (1)(2018贵阳质检)已知直线l1：mxy10，l2：(m3)x2y10，则“m1”是“l1l2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_.解析(1)“l1l2”的充要条件是“m(m3)120m1或m2”，因此“m1”是“l1l2”的充分不必要条件.(2)当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.A(1，1)，B(0，1)，kAB2.两平行直线的斜率k.直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案(1)A(2)x2y30热点二圆的方程【例2】 (1)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为2，则圆C的标准方程为_.(2)(2017天津卷)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_.解析(1)设圆心(a0)，半径为a.由勾股定理得()2a2，解得a2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.(2)由题意知该圆的半径为1，设圆心C(1，a)(a0)，则A(0，a).又F(1，0)，所以(1，0)，(1，a).由题意知与的夹角为120，得cos 120，解得a.所以圆的方程为(x1)2(y)21.答案(1)(x2)2(y1)24(2)(x1)2(y)21探究提高1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_.(2)(2018日照质检)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_.解析(1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，2)，(4，0)，(4，0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，2)，(4，0).设圆的标准方程为(xm)2y2r2，则有解得所以圆的标准方程为y2.(2)圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0.则圆心C到直线2xy0的距离d，解得a2.圆C的半径r|CM|3，因此圆C的方程为(x2)2y29.答案(1)y2(2)(x2)2y29热点三直线(圆)与圆的位置关系考法1圆的切线问题【例31】 (1)过点P(3，1)，Q(a，0)的光线经x轴反射后与圆x2y21相切，则a的值为_.(2)(2018湖南六校联考)已知O：x2y21，点A(0，2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是()A.(，2)(2，)B.C.D.解析(1)点P(3，1)关于x轴的对称点为P(3，1)，所以直线PQ的方程为x(a3)ya0.依题意，直线PQ与圆x2y21相切.1，解得a.(2)易知点B在直线y2上，过点A(0，2)作圆的切线.设切线的斜率为k，则切线方程为ykx2，即kxy20.由d1，得k.切线方程为yx2，和直线y2的交点坐标分别为，.故要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是.答案(1)(2)B考法2圆的弦长相关计算【例32】(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(1)解不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足方程x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况.(2)证明BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220， 由解得x，y.所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.探究提高1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2018石家庄调研)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离(2)已知圆C的方程是x2y28x2y80，直线l：ya(x3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为_.解析(1)圆M：x2y22ay0(a0)可化为x2(ya)2a2，由题意，d，所以有a22，解得a2.所以圆M：x2(y2)222，圆心距为，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交.(2)圆C的标准方程为(x4)2(y1)29，圆C的圆心C(4，1)，半径r3.又直线l：ya(x3)过定点P(3，0)，则当直线ya(x3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因此akCPa1，a1.故所求直线l的方程为y(x3)，即xy30.答案(1)B(2)xy301.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d，弦长公式|AB|2(弦心距d).一、选择题1.(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A. B. C. D.2解析圆x2y22x8y130化为标准方程为(x1)2(y4)24，故圆心为(1，4).由题意，得d1，解得a.答案A2.(2018昆明诊断)已知命题p：“m1”，命题q：“直线xy0与直线xm2y0互相垂直”，则命题p是命题q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要解析“直线xy0与直线xm2y0互相垂直”的充要条件是11(1)m20m1.命题p是命题q的充分不必要条件.答案A3.过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2xy50 B.2xy70C.x2y50 D.x2y70解析依题意知，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点.圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k2.故过点(3，1)的切线方程为y12(x3)，即2xy70.答案B4.(2018衡水中学模拟)已知圆C：(x1)2y225，则过点P(2，1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A.10 B.9C.10 D.9解析易知P在圆C内部，最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|，最短弦的长为222，故所求四边形的面积S10210.答案C5.(2018湖南师大附中联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为()A. B.0，1C. D.解析设点M(x，y)，由|MA|2|MO|，2，化简得x2(y1)24.点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，1|CD|3，其中|CD|，1a2(2a3)29，解之得0a.答案A二、填空题6.过点(1，1)的直线l与圆(x2)2(y3)29相交于A，B两点，当|AB|4时，直线l的方程为_.解析易知点(1，1)在圆内，且直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y1k(x1)，即kxy1k0.又|AB|4，r3，圆心(2，3)到l的距离d.因此，解得k.直线l的方程为x2y30.答案x2y307.(2018济南调研)已知抛物线yax2(a0)的准线为l，若l与圆C：(x3)2y21相交所得弦长为，则a_.解析由yax2，得x2，准线l的方程为y.又l与圆C：(x3)2y21相交的弦长为，1，则a.答案8.某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线axby80与以A(1，1)为圆心的圆交于B，C两点，且BAC120，则圆C的方程为_.解析由题意，a40，b24，直线axby80，即5x3y10，A(1，1)到直线的距离为，直线axby80与以A(1，1)为圆心的圆交于B，C两点，且BAC120，r，圆C的方程为(x1)2(y1)2.答案(x1)2(y1)2三、解答题9.已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3xy10和l2：xy30的交点，求直线l的方程.解解方程组得即l1与l2的交点P(1，2).若点A，B在直线l的同侧，则lAB.而kAB，由点斜式得直线l的方程为y2(x1)，即x2y50.若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点，由两点式得直线l的方程为，即x6y110.综上所述，直线l的方程为x2y50或x6y1