基于二项树给期权定价交易策略.doc

“ 2014全国高校量化投资策略大赛”成果展示题 目: 基于二项树给期权定价交易策略 姓 名： 赖俊逸、李国文、温捷学 校： 广东石油化工学院院 （系）： 理学院专 业 年 级： 数学与应用数学（统计与金融数学）2014年 12 月 30日基于二项树给期权定价交易策略摘 要：实际市场如何降低自身风险选择合适期权，市场往往一般指标无法完全刻画出未来价格走势。我们通过研究股票价格的对数正态模型，从而扩展到期权借用二项树的数学模型方法，继续期权的定价并分析其关系。在股票价格的对数正态模型中研究了，其均值的历史数据从而估计和股票的利润的波动率，其次通过求得对数正态分布变量的均值和方差，对数正态模型随机变量的置信区间，从而进行一步分析定位。通过研究二项树对期权的定价，运用灵敏度分析等方法，计算出放弃期权的关系及得出执行边界，并通过EXCEL设计出最优执行策略。因此，利用二项树方法构建期权的定价，寻找期权合适放弃和最优策略的决策，最终做到投资组合，量化处理降低投资者的风险。此模型能够很好的评估了期权的风险问题，具有一定的准确性、可靠性和可操作性，并能够推广到实际问题上。关 键 词 对数正态模型、二项树、期权定价 SUMMARYActual market, how to reduce their risk to choose the right options markets tend to be general indicators cannot fully describe the future price movements. Through our research lognormal model of stock price, thus extended to options to borrow the mathematical model of the binomial tree method, continue to option pricing and analyze their relationship.In the stock price of lognormal model is studied, its historical data to estimate the mean and volatility of stock profits, secondly by mean and variance of logarithmic normal distribution variables is obtained, the confidence interval of lognormal model is a random variable, and step analysis positioning.Through the research of option pricing, binomial tree using the method of sensitivity analysis, calculate the abandon option and it is concluded that the relationship between boundary, and through the EXCEL to design optimal execution strategy.Therefore, the use of binomial tree method to build options pricing, looking for options suitable to give up and the optimal strategy decision, ultimately achieve portfolio, quantitative treatment lower the risk of investors. This model is good for evaluation the option risk problem, has a certain accuracy, reliability and maneuverability, and can promote to the practical problems.Keywords lognormal model, the binomial tree, option pricing1 期权的定义 我们先从一些定义人手来研究期权。买入期权为所有者提供以行权价格购买一只股票的权利。卖出期权为所有者提供以行权价格售出一只股票的权利。美式期权可以在行权日或行权日之前执行。而欧式期权只能在行权日执行。例如，我们来观察以110美元的行权价购买的 代码492 XD上汽机构3月1398A 6个月的欧式买人期权的现金流。设P代码492 为6个月的价格。那么，如果p110，买人期权的利润是0美元；如果P110，则为P一110。这是因为当P低于110美元时，我们就不会执行期权；如果P大于110美元，我们就会执行期权，以110美元的价格购买股票，并以P美元立即售出股票，从而获得P-110美元的利润。如图显示示了这种卖出期权的利润。买人利润可以写作max(0，P110)。注意当P小于行权价时，买人期权图的斜率为0；当O大于行权价时，斜率为1。如图1可以看出如果股票不存在股息，那么及早执行美式买人期权决不是最佳的。因此。对于没有股息回报的股票而言，美式和欧式期权的价值相同。现在，我们来观察以110美元的行权价购买的492 XD上汽机构3月1398A 6个月的欧式卖小期权的现金流。设P492 XD上汽机构3月1398A 6个月的价格。那么，如果P110，买入期权的利润是0美元；如果P110，则为110-P。这是因为当P低于110美元时，我们就会以P美元购买一只股票，然后以110美元立即卖出这只股票。这样就得到110-P美元的利润。如果P大于110美元，就不会花P美元来购买股票，再以P美元卖出它，所以我们就不会执行期权，以110美元价格卖出股票，如图2显示厂这种卖出期权的利润。卖出利润可以写作max(0，110一P)。注意，当P小于行权价时卖出利润的斜率为一1；当P大于行权价时，卖出利润的斜率为0。如图22股票价格的对数正态模型 资产的名义价值(或股票价格)的对数正态模型假设在很短的时间内，股票价格的变动量呈正态分布，并且有标准差 均值其中S当前股票价格。卢可以被看作股票的瞬时利润率。这个模型使股票价格产生“跳跃性”的变化，正如现实情况一样。在较短的时间周期中，股票运动的标准差将大大超过股票运动的均值。这是因为当t较小时t真要大大超过t。 在较短的时间内中，往往当前股票价格的自然对数In(S)的变化量将服从正态分布， 均值 标准差所以我们的想法是： 设时间t的股票价格。显示在时间f，ln，服从正态分布，并且有均值 标准差 我们把称为股票利润的连续复合比率。注意S的连续复合利润率小于瞬时利润。由于ln服从正态随机变量，所以我们说：该参数是对数正态随机变量。 要模拟S，需要在Risk中输入以下公式，获得In()： 因此，要获得，我们必须取这个方程的逆对数，得到 2.1 均值的历史数据估计和股票利润的波动率即如果我们取的均值，则得到的估计值。如果我们取的标准差，则得到的估汁值。折1988年一1996年的月利润数据（使用QIA国泰安数据里，此时间可以根据数据更换），我们可以估计和。如下图。我们首先估计了月对数正态过程的和。然后我们估计年度对数正态过程的，正好是(的月估计值)正好是12*(的月估计值)。estimate ofmonthlymu.5*slgma20.034572sigma0.160929DATEDELLLn(1+DELL)6/30/88monthly estimate7/29/880.106670.101353sigma0.1609298/31/88-0.228916-0.25996mu0.0475219/30/880.281250.247836annual estimate10/31/880.1585370.147158sigma0.55747411/30/88-0.0842105-0.08797mu0.57025412/30/88-0.0804598-0.083881/31/89-0.05-0.051292/28/89-0.171053-0.18763/31/89-0.0952381-0.100084/28/890.1052630.1000835/31/890.07936510.0763736/30/89-0.0735294-0.76377/31/89-0.142857-0.154158/31/890.0370370.03663689/29/890.01785710.017710/31/89-0.157895-0.1718511/30/89-0.0416667-0.0425612/29/89-0.0434783-0.04445图为月利润数据(1) 注意对于任意个月而言，(1十t个月的利润)。因此，我们把以下公式从C6复制到C7:C107。在C6:C107中计算每个月的 (2)在单元格C2中。用以下公式估计 (3)在C3中，用以下公式估计：(4)在单元格F7中，用以下公式求月对数正态过程的估汁值： 因此，当服从月对数正态分布时。我们估计，（5）在单元格F9和F10中，用以下公式求和的年度估计值： 求 求 年度估计值是=57.0%，=55.7%2.2对数正态分布变量的均值和方差 必须指出的是，并不是实际的正态随机变量均值也不是真正的标准差，假设股票服从参数为和的对数正态随机变量。设S=当前股票价格(已知)，时间f的股票价格(未知)。则的均值和方差如下： 见附件中包含的模板可以确定未来仟何时间股票价格的均值和方差。即折分析只当前价格为20元的股票492 XD上汽机构3月1398A，它服从=0.20， =0.40的对数正态随机变量。从现在起，这只股票一年后的平均价格为2443元，标准差为1018元。（具体数据可变化，详细见附件）23 对数正态随机变量的置信区间 计算未来股票价格的置信区间（见附件）。对于95的置占区间，为输入0.95等等。由图13：可知，对于当前价格为20美元，020，04的股票而言。从现在起一年后这只股票的价格在10.30美元4939美元之间的置信度为95%。S=current price20t=time1mu0.2sigma0.4aipha0.95Mean for ln S(T)3.115732Mean S(T)2.42806Sigma for ln S(T)0.4Var S(T)103.5391sigma S(T)10.17542CILower(for ln S(T)2.331748Upper (for ln S(T)3.899717Lower for lnS(T)10.29592Upper for lnS(T)49.38846 如图为股票价格的置信度和置信空间3 用套利法评估期权 套利定价(对我们而言)表示，如果一项投资没有风险，那么它应当产生无风险利润率。如果不是这种情况，我们可以创造赚钱机器或者套利机会一种如果现在花费美元，则不可能赔钱并且有可能赚钱的情况。我们可以用这种简单的观点来评估-经常复杂的金融状况； 同理(数据可以国泰安数据变化）套利 假设一只股票XD上汽机构3月1398A目前的售价是10美元。从现在起一个周期后这只股票可能涨到50美元，也可能跌到32美元，无风险利润率为11。我们便能分析行权价格为40美元的买入期权的合理价格。因为如果我们创建的投资组合由x股股票和一个空仓买入期权组成，那么对于x的某些值而言。投资组合将没有风险：这是因为股票价格上涨使所持股票的利润增加。但是会使空仓买入的价值下跌而股票价格下跌会减少所持股票的价值。但是会使空仓买人的价值上升。因此这种投资组合必定可以产生无风险利润。股票价格在周期内只能上涨或下跌一定幅度的模型称为双项式模型。 如果股票价格上涨或下跌，则首先计算投资组合的价值： 股票价格 投资组合价格 50美元 50x-1032美元 32x-10要创建无风险的投资组合。只需要把投资组合的价值设为与两八股票价格相同；即。 50x-10=32x 18x=10 X=5/9闪此由5/9股股票和个空仓买入组成的投资组合没有风险，这种投资组合必定产生无险利率。这意味着 一个周期的投资组合价值/(1+r)=投资组合的最初价值其中r=无风险利率，因此 31 在买入期权定价不当的情况下创造赚钱机器 正如上述举例为了进一步了解中的买人价必定等于的原因，我们来证明，如果买入价是其他任何价格，我们都可以用目前投资的0美元，在时间1获得正利润。在现实情况中，这种套利机会是决不存在的。如果目前的买人价(称为c)小于，则买人期权“定价过低”，卖空我们的无风险投资组合可以产生套利机会。我们将证明，如果我们购买一个买人期权，卖空股股票，并借出一c美元，则目前有0美元的现金费用，在时间1，现金头寸必定为正数。表13l显示了这些投资产生的现金流。 表13-1 各种投资产生的现金流量 动作时间0的流出量处理上升状态时，时间1的注入量处理下跌状态时，时间1的注入量购买买入股权c100卖空股票接触资金200/9-c时间0 的现金流出量是0美元。找们选择贷款的规模使之工作。如果股票达到50美元，那么当且仅当C56/9时，时间l的现金注入量才是正数。 如果股票价格下跌，则当且仅当C56/9)。在时间o，我们卖空买人期权，购买的股票并借人200/9一c美元。这种投资策略产生所示的现金流。投资策略产生的现金流量动作时间0的流出量处理上升状态时，时间1的注入量处理下跌状态时，时间1的注入量卖空股票-c-100购买股票借入资金c-200/9 时间0的现金流出量是0美元。我们门选择借人量使之工作。如果股票价格上升到50美元，那么当且仅当C56/9时，时间l的现金注入量才是正数。 如果股票价格下跌，那么当且仅当C56/9 时，时间的现金输入量才是正教。因此如果买入期权定价过高，我们就创造了赚钱机器。32 为什么股票的上涨率不影响买入价格 从我们的分析可知，影响期权价格的重要因素是股票价格的两个值。价格上涨或下跌的幅度越大，买人期权就具有价值。注意，股票上涨或下跌的概率不影响期权价格。实际上，股票的平均上涨率不影响买人期权的价值。初看上去，这似乎没什么意义。但是，如果股票价格上升的概率较大，那么由于买人期权以较高的股票价格清算，买人期权的卖出价值不应当更大吗?这个难题的答案是，股票的当前价格结合了有关股票上涨率的信息。事实上，股票价格上涨或下跌的概率包含在今天的价格中，因此它们并不影响买人期权的价值。4 使用二项树给美式期权定价思路因此，我们准备通过要确定期权的现金流，我们需要说明及早执行的概率，通常使用二项树给美式期权定价。即我们把期权的期限分成较短的时间周期(通常分成周或月)。在每个周期中，股票的价格要么上涨系数u倍，要么下跌系数d倍。我们假设d=1/u。设t等于二项树中的周期长度。每个周期上涨的概率(p)根据u和d来选择，从而使股票或期权价格按照平均无风险利率r和年波动率增长。我们设q1一p等于在每个周期下跌的概率。要执行风险中立评估，假设(已知股票不支付股息)相关资产按照对数正态随机变量增长，u无风险利率(r)。如果，是相关股票对数正态随机变量的波动率参数，则可知，通过具有以下参数的二项式模型，可以近似求解价格的对数正态运动：根据部分数据，我们模拟股票价格或期权价格的演变。然后我们从最后一个时间周期向前逆推来评估期权的价值。在每一个节点(股票价格和时间的结合点)，我们从这个点开始通过递归确定期权的价值。当我们到达目前的节点时，我们就得到了目前期权的近似值。注意，当缩短时，我们的近似值将更加精确。首先，我们评估卖出期权。因为，不支付股息股票的买人期权决不要及早执行。我们很快可以得知，美式卖出期权可以及早执行。工作在文件（AmericanXls）中。 我们给具有如下参数的5个月卖出期权定价：当前股票价格50美元行权价格50美元无风险利率二10年波动率40t1个月=0083年以上所有数据以及u、d、a、q和p的定义都被输人到电子表格区域A1：B13中。为了便于对二项树进行说明，我们使用了区域名称。4.1股票价格树 我们首先确定今后5个月可能的股票价格。B列包含目前(第0个月)的价格，C列包含第1个月的价格，等等。 (1)使用以下公式，在单元格B16中输入目前的股票价格(50美元) B3 (2)把以下公式从C16复制到D16；G16中，在不呈现下降趋势的情况下，获得每个月 u*B16 (3)要计算其他的价格，注意当我们向下移动一行时，每列中的价格和系数(d/u)相乘。同时注意在第i个月中，存在；+1个可能的价格。这样，我们就可以把以下公式从C17复制到C17：G21中，计算所有的价格： IF($A17C$15，(d/u)xCl6，“”)我们向下移动每一列时，将价格与du连续相乘。同样，公式在没有价格的位置置入“”。4.2 最优决策策略 现在我们向前工作来求解美式卖出期权的价值。首先在每一个节点处，卖出期权的价值等于卖出期权未来现金流的预计现值。所以(1) 在第5个月，期权刚好价值max(0，行权价格一目前的股票价格)。因此，我们在单元格G24中输入以下公式并把这个公式向下复制到G29： =MAX(0，$B$4一G16) (2)在第4个月(以及先前所有月份)中，任何节点上的期权价值都等于 例如，F28中的期权价值为 max(503150，(1/10083)x(507x($1464)+493x($2193)=1850美元 由于这个最大值是通过现在执行获得的，所以，如果出现这个节点，我们就要现在执行这个期权。在F26中的节点处，不执行可以获得最大值。要完成这个决策过程，需要在单元格F24中输入公式 ， IF($A24J$9，“”，IF($A1lJ$9，uxll2，(d/u)*J10)从J1l复制到C11：J19，生成每个季度的可行价格。如果没有可行价格，则不在单元格中输入内容。例如，在6个周期内不可能有7次上涨，所以H12是空白单元格。每个周期的最高可行价格是用前一个周期的最高可行价格乘以u得到的。在其他单元格中，价格的计算方法是用du乘以上一个单元格中的价格。(2)我们现在来评估不存在放弃期权的情况。当然，它的值将接近于用之前方法求解的119万美元。我们首先求8个节点的各个周期的价值。也就是max(收入值一12，0)。把公式MAX(J1l12，0)从J22复制到J23：J30，计算每一种可行的股票价格在时间2(第8个周期)的值。(3)现在计算各节点在第07个周期的值。设节点(t,j)为股票上涨了j的第t个周期的节点。设节点(2，了)之前的值等于V(t，j)。那么 其中，df贴现系数，p风险中立的上涨概率。这是因为我们在任何节点得到值V(t十l，j+1)的概率为p,得到值V(t+1,j)的概率为l-p。当然，在当前周期中，我们还必须支付50万美元。把以下公式IF($A23I$20，“”，一05+df*(p*J22+(1一p)*J23)从I23复制到B30：I23，计算所有节点值。对于没有规定值的单元格，这个公式同样会令单元格空白。 求得这种